一類SIQR傳染病模型在無尺度網絡上的傳播行為分析*

葉志勇,劉 原,趙彥勇

(重慶理工大學數學與統計學院，重慶 400054)

一類SIQR傳染病模型在無尺度網絡上的傳播行為分析*

葉志勇,劉 原,趙彥勇

(重慶理工大學數學與統計學院，重慶 400054)

研究了無尺度網絡中的具有隔離項的SIQR傳染病模型，利用平均場理論對疾病的傳播進行了研究分析，經過計算得到了疾病傳播的臨界條件R0，證明了最終疾病的消失或者爆發是由臨界值來決定的。然后，通過計算機仿真表明降低感染狀態的感染率和提高染病節點的隔離率可以有效地控制該類傳染病的傳播。

SIQR傳染病模型;傳播閾值;平衡點

1 引言

縱觀人類社會，現實中許多網絡都可以用復雜網絡[1]來描述，如：因特網、神經網絡和交通信息系統等。無尺度網絡[2]上的傳播行為：如傳染病在人群中的傳播、計算機病毒在網絡中的蔓延、謠言在人群中的散播等，成為當前人們研究的熱點問題。研究接觸性網絡對于傳染病的理解和控制有很大的作用，網絡中的節點表示系統中的元素即個體或組織，邊表示各元素之間的相互作用或者聯系，這有效地模擬了傳染病在人類社會中的傳播機制。在復雜網絡中研究傳染病的傳播規律已經成為一種新的趨勢，并且取得了一定的成果[3～5]。在無尺度網絡模型中，人們較多采用SIS、SIR、SEIR等模型。如文獻[6]是在SIS模型上考慮具有媒介傳播的傳染病動力學模型，定義了基本再生術，證明了無病平衡點的穩定性。文獻[7]研究了復雜網絡上標準SIRS模型的傳播行為。本文研究了小世界網絡中對傳染病采取隔離措施加以控制的SIQR模型，計算得到傳播閾值R0，證明了當R0<1時，系統存在唯一的無病平衡點，疾病經過一段時間的傳播后，系統最終將收斂于該平衡點，疾病消失；當R0>1時，系統存在唯一的地方性平衡點，疾病經過一段時間的傳播后，系統最終將收斂于該平衡點，即發展為地方病。本文利用Matlab軟件對其模型的傳播特性進行了模擬，結果表明降低感染狀態的感染率和提高傳染病節點的隔離率可以有效地控制該類傳染病的傳播。

2 SIQR模型的建立

2.1 無尺度網絡模型的構造算法

考慮到實際網絡的增長特性和優先連接特性，無尺度網絡模型的算法構造如下：

(1)增長性：從m0個節點的網絡開始，每一時間步引入一個新節點連接到原有網絡中已存在的m個節點上，m≤m0。

2.2 SIQR傳染病模型的建立

Figure 1 State conversion relationship of SIQR model in scale-free networks圖1 無尺度網絡SIQR模型中各狀態之間的轉換關系

其中,δ表示染病節點被隔離的概率，ε表示隔離節點被治愈的概率，γ表示染病節點被治愈的概率，a表示免疫節點喪失免疫重新進入易感狀態的概率。在該模型中，處于易感狀態的節點如果與某個處于染病狀態的節點相連時，則以kβ的概率感染成染病節點，因此在t時刻，度為k的易感節點以kβ的概率感染成染病節點。又因為此時易感節點所占的比例為Sk(t)，所以在t時刻，度為k的易感節點被感染成染病節點的比例為kβSk(t)。同時，移出的免疫節點以a的概率重新變為易感狀態的節點，由此可得，在t時刻易感節點占總節點的概率變化為-kβSk(t)+aRk(t)。同理，染病節點、隔離節點、免疫節點的概率變化分別為kβSk(t)-γIk(t)-δIk(t),δIk(t)-εQk(t),εQk(t)+γIk(t)-aRk(t)。根據平均場理論，可以得到無尺度網絡中SIQR模型的傳播動力學方程式：

(1)

3 SIQR模型的平衡點及其穩定性分析

令方程組(1)的右端各式為零，可以得到：

由于Sk(t)+Ik(t)+Qk(t)+Rk(t)=1，則有：

當t趨于無窮時，求出方程組(1)的穩態解：

(2)

顯然，β(∞)=0是方程(2)的一個平凡解，此時方程組(1)有唯一的平衡點E0=(1,0,0,0)。此時，系統中只存在易感人群，稱E0為無病平衡點。

假設f(β(∞))是連續可微的，容易得到f(β(∞))關于β(∞)是嚴格單調遞增的，當f′(β(∞))|β(∞)=0>1時，式(2)存在一個非平凡解且β(∞)≤1。即要滿足：

從而有：

定理1在無尺度網絡中，SIQR傳染病模型存在臨界閾值R0。當R0<1時，系統存在唯一的無病平衡點，疾病經過一段時間的傳播后，系統最終將收斂于該平衡點，疾病消失。

于是可以解得：

從而可以得到：

于是點E*=(S(∞),I(∞),Q(∞),R(∞))稱為地方性平衡。

定理2SIQR傳染病模型在無尺度網絡中，當R0>1時，系統存在唯一的地方性平衡點，疾病經過一段時間的傳播后，系統最終將收斂于該平衡點，疾病發展為地方病。

4 數值模擬

根據以上的討論，本節用計算機Matlab軟件進行數值模擬，研究給定的SIQR模型在無尺度網絡中的傳播特性。構建一個無尺度網絡，取定參數N=5000，m=3，固定a=0.1,δ=0.45,ε=0.6,γ=0.55,當取β0=0.1、0.3、0.5時E的變化曲線的仿真如圖2所示；固定a=0.1,ε=0.6,γ=0.55,β0=0.5，當取δ=0.2、0.4、0.6時E的變化曲線的仿真如圖3所示。實驗中的每個數據點的值是25次網絡傳播結果的平均值。

Figure 2 Curves of E when β0 changes圖2 取不同β0時E的變化曲線

Figure 3 Curves of E when δ changes圖3 取不同δ時E的變化曲線

通過圖2可以看出，對于不同的β0值，對應易感狀態節點密度S(t)的曲線不同，當β0增大時，S(t)的密度曲線偏低，這表明降低感染狀態的感染率有助于疾病的控制傳播；通過圖3可以看出，當δ增大時，S(t)的密度曲線偏高，這表明提高染病節點隔離的概率有助于疾病的控制傳播。由此可知，降低感染狀態的感染率和提高染病節點的隔離率可以有效地控制該類傳染病的傳播。另外,在生態極限下〈k2〉→∞，所以臨界閾值為0，在實驗中可以看出，無尺度網絡中的SIQR傳染病模型存在一個非常小的閾值，這是由于網絡規模的有限尺度造成的。

5 結束語

[1] Xia Cheng-yi，Liu Zhong-xin，Chen Zeng-qiang，et al. Transmission dynamics in complex networks[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2009,4(5):392-397.(in Chinese)

[2] Wu Yue-wen, Yan Hua-yun. Unifying model for Sierpinski networks with scale-free small-world properties[J]. Computer Engineering and Applications,2009,45(1):99-102.(in Chinese)

[3] Li Tao,Guan Zhi-hong,Wu Zheng-ping. The spread of the virus in scale-free networks and control simulation[J]. Computer Application Research,2007, 24(12):177-182.(in Chinese)

[4] Colizza V,Vespignani A. Epidemic modeling in metapopula-

tion systems with heterogeneous coupling pattern:Theory and simulations[J].Journal of Theoretical Biology,2008,251(3):450-467.

[5] Zhou Tao,Yang Rui,Ren Jie. The analysis of the behavior of having the same ability to infect virus propagation model [C]∥Proc of the Complex Network Conference,2006:1.(in Chinese)

[6] Yin Li-shou, Yan Xi-hong. Stability analysis on SIS model with infective medium in complex network[J].Journal of Changchun University, 2010,20(4)：8-10.(in Chinese)

[7] Li Guang-zheng,Shi Ding-hua. The analysis of SIRS epidemic model in the complex networks[J]. Progress in Natural Science,2006,16(4):508-512.(in Chinese)

附中文參考文獻：

[1] 夏承遺,劉忠新,陳增強,等. 復雜網絡上的傳播動力學及其新進展[J].智能系統學報,2009,4(5):392-397.

[2] 吳月文，嚴華云.無尺度、小世界Sierpinski網絡統一模型[J].計算機工程與應用,2009 45(1):99-102.

[3] 李濤,關治洪,吳正平.病毒在無尺度網絡上的傳播及控制仿真研究[J].計算機應用研究,2007,24(12):177-182.

[5] 周濤,楊銳,任捷，等.具有相同感染能力的病毒傳播模型行為分析[C]∥全國復雜網絡學術會議論文集,2006:1.

[6] 尹禮壽,閆喜紅.復雜網絡中具有媒介傳播SIS模型的穩定性分析[J].長春大學學報,2010,20(4)：8-10.

[7] 李光正,史定華.復雜網絡上SIRS類疾病傳播行為分析[J].自然科學進展,2006,16(4):508-512.

YEZhi-yong,born in 1966,PhD,professor,his research interests include differential equations, and dynamical systems.

劉原(1988-),女，湖南岳陽人，碩士生，研究方向為微分方程與動力系統。E-mail:ly3398382@126.com

LIUYuan,born in 1988,MS candidate,her research interests include differential equations, and dynamical systems.

趙彥勇(1987-),男，山東青島人，碩士生，研究方向為應用數理統計。E-mail:zhaoyanyong1987@163.com

ZHAOYan-yong,born in 1987,MS candidate,his research interest includes applied mathematical statistics.

TheanalysisofaSIQRepidemicmodelinscale-freecomplexnetworks

YE Zhi-yong,LIU Yuan,ZHAO Yan-yong

(School of Mathematics and Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China)

A SIQR epidemic model with quarantine in scale-free complex networks is investigated.by means of the mean-field theory,the spread of the disease is studied.ThresholdR0is obtained by calculation,and it is proved that the disappearance or eruption of the disease is determined by thresholdR0. .Computer simulation indicates that reducing infection rate and improving the isolation rate of infected nodes can effectively control the spread of infectious diseases.

SIQR model;threshold;equilibrium

1007-130X(2014)08-1524-04

2012-10-26;

：2013-04-15

重慶市教委資助項目組(KJ080622)

：劉原(ly3398382@126.com)

TP393.08

：A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.08.017

葉志勇(1966-),男，四川富順人，博士，教授，研究方向為微分方程與動力系統。E-mail:757511497@qq.com

通信地址：400054 重慶市重慶理工大學數學與統計學院

Address:School of Mathematics and Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,P.R.China