考慮關節間隙的五桿機構動力學建模

衛江，王庚祥

(1.陜西工商職業學院，陜西西安710119；2.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，陜西西安710048)

0 引言

關節運動副是構成機構多體系統的重要組成部分。由于關節元素之間的磨損，局部變形以及裝配和制造誤差導致運動副中存在間隙，為了保證關節元素相對運動，間隙的存在也是不可避免的。關節中間隙的存在不僅改變了運動副構件之間的自由度和受力狀態，而且當關節元素處于分離狀態時，產生的碰撞與沖擊力將造成磨損加劇、噪聲以及震動，導致機構喪失了精度和降低了使用效率與壽命［1］。

目前對平面機構(一般為曲柄滑塊機構與四桿機構)中間隙鉸的研究居多，其間隙模型一般分為4類:經典碰撞模型、連續接觸碰撞力模型、間隙有限元模型以及連續接觸模型［2］。眾多學者利用該4類模型來研究平面機構中的關節間隙效應。Olivier［3］基于間隙有限元模型，在考慮關節間隙、潤滑與柔性的情況下，研究了曲柄滑塊機構的動力學性能，通過數值分析討論了由間隙產生的耗散力對機構精度的影響。秦志英［4］基于經典碰撞模型推導了恢復系數與模型參數之間的關系，統一了動態接觸理論和古典碰撞理論，并通過對一個單球碰撞系統驗證了該模型的有效性。Tsai［5］基于螺旋理論運用靜力學平衡方程研究了平面四桿機構的關節傳遞性能，并利用無質量桿連續接觸模型研究了四桿機構中多間隙對其傳遞性能的影響。P.Flores［6］利用連續接觸碰撞力模型，建立了曲柄滑塊機構含關節間隙的動力學模型，并與無間隙機構的運動學和運動副反力進行了對比分析。Wang［7］提出了一種混合降維的方法減小了隨機間隙量對曲柄滑塊機構精度的影響，并通過數值方法證明了該方法在運算方面的高效率。Muvengei［8］在不考慮關節摩擦力的情況下，用連續接觸碰撞力模型研究了間隙大小對機構精度的影響，并討論了機構在不同驅動速度下，機構的運動特性由周期性轉為混沌。Bai［9］以一種新的接觸力模型建立了平面四桿機構轉動關節間隙的碰撞接觸力模型，并通過數值分析研究了關節間隙的大小與摩擦效應對該機構動力學性能的影響。

平面五桿機構的研究多數停留在對理想機構的分析。對于考慮機構關節效應的研究并不多見，文獻［10-11］在考慮關節摩擦的情況下研究了該機構的動力學特性與控制策略。文獻［12］基于軌跡規劃提出了一種避免關節間隙的拆分方法，并利用該方法研究平面五桿機構的動力學性能。

基于以上研究背景，文章采用一種以彈簧阻尼系統代替接觸區域復雜變形的近似簡化方法——連續接觸碰撞力模型。該模型不僅考慮接觸碰撞過程中的局部變形，而且假定變形限制在接觸區的臨域；從而認為接觸碰撞力是由碰撞體的局部接觸變形產生的。以修正的Coulomb摩擦力模型描述了接觸碰撞過程的切向碰撞力，通過第二類拉格朗日方程建立平面五桿機構的完整動力學模型；并通過數值分析證明了該分析方法的正確性，為該機構的設計提供參考和依據。

1 五桿機構間隙副模型

圖1所示的含間隙平面五桿機構中轉動副B處存在徑向間隙r=R2-R1(R1、R2分別為小圓軸銷與大圓軸套的半徑)，軸銷與軸套中心距離為中心距e，其連線與X軸的夾角為間隙方位角θ。各桿桿長與質量分別為l1，l2，l3，l4，l5，m1，m2，m3，m4，各桿的質心與位置角分別為 S1，S2，S3，S4，φ1，φ2，φ3，φ4；lSi為各桿質心到回轉軸的距離，Ji為各桿件繞通過質心且與回轉軸平行的軸的轉動慣量(i=1，2，3，4)。xSi，ySi為各構件質心Si在坐標系oxy中的橫縱坐標。為了正確描述軸銷與軸套由于間隙發生碰撞時的能量損失和撞擊深度，選擇連續接觸碰撞力模型［2］［6］。圖 1 中所示的 Fn，Ft為含間隙關節元素之間發生碰撞時的法相接觸力與切向接觸力。Fx，Fy為碰撞力在坐標系oxy中沿x，y方向的分量。該機構的結構參數見表1。

表1 平面五桿機構的結構參數

1.1 碰撞接觸條件

根據軸銷與軸套之間的幾何關系定義碰撞解除條件為:

且變形量為δ=e-r。

不妨設中心距e在x，y方向的分量為ex，ey，間隙方位角θ為軸銷與軸套中心連線與x軸的夾角。如圖1所示，該機構含鉸間隙的位置方程為

其中:

式(3)中

由式(2)可知間隙方位角為

發生接觸時，軸銷相對軸套的切向速度和法向速度為

1.2 運動學分析

要建立含關節間隙的五桿機構動力學方程，必須知道各構件的角速度和質心速度。所以必須先進行系統的運動學分析。

由于該機構在鉸點B處存在間隙，所以該機構的自由度由2變為4。相對應的系統廣義坐標為 q=[φ1，φ4，ex，ey]T。其中各桿質心的坐標為:

[l1cosφ1+l2cosφ2+l3cosφ3+lS4cosφ4+ex，lS4sinφ4]，根 據以上結論與式(2)可以寫出該系統的運動學一般表達式:

將式(6)求導，即可得出構件i的角速度和質心Si在坐標系oxy中的速度、；它們均為廣義坐標qi=[φ1，φ4，ex，ey]T和廣義速度的函數

質心Si的速度為:

1.3 連續接觸碰撞力模型

關節間隙元素在連續接觸碰撞過程中的接觸碰撞力模型是含間隙機構動力學分析必須考慮的內容。一般接觸碰撞力模型為Hertz接觸模型，該模型通常適用于運動副含有大間隙小載荷的接觸碰撞問題，且該模型忽略了碰撞過程中的能量損失。為了考慮關節間隙元素在碰撞過程中的能量損失，本文采用Lankarani-Nikravesh模型［13］，該模型是基于Hertz接觸力表達公式并能描述碰撞過程中的能量損失。其表達式為:

式中，Kδn代表碰撞過程的彈性變形描述了碰撞過程中的能量損失，K為碰撞體的接觸剛度系數，D為碰撞過程中的阻尼系數，n為非線性彈簧接觸力系數。

式中:v和E分別表示為泊松比和楊氏模量。

式中:ce為恢復系數( )-為撞擊點的初始相對速度。

把式(10)與式(11)代入式(9)得到間隙鉸接觸碰撞力模型為

1.4 間隙副的摩擦力模型

間隙鉸切向接觸特性可以通過切向摩擦力模型來描述，含間隙關節元素在接觸碰撞時會產生一個與切向相對碰撞速度相反的切向摩擦力。考慮的摩擦模型為不考慮潤滑的干摩擦模型，為了能夠準確的描述間隙關節元素間的干摩擦行為和相對低速下出現的粘質和微滑現象，以及避免數值計算中切向速度變化時出現摩擦力突變。采用由Ambrósio［14］提出的修正Coulomb摩擦力模型圖 2，該模型中引入了動態修正系數cd，因此其切向摩擦力除了與滑動摩擦系數μd有關外，還與動態修正系數cd有關。該摩擦力模型是一種動態摩擦力。

圖2 修正Coulomb摩擦力模型

式中:cd的表達式為:

式中:v0和vm為接觸表面相對切向速度的極限值。

根據以上分析結論，將Fn，Ft向x，y方向分解為

2 五桿機構的動力學模型

為建立含關節間隙的多體系統動力學模型，系統將應用第二類拉格朗日方程

式中:qi(i=1，2，3，4)為系統廣義坐標，Fi為系統廣義外力，E為系統動能，U為系統勢能，D為系統耗散能。

1)對于平面五桿機構系統動能為:

2)系統勢能為:

3)系統耗散能為:

式中:當 δ＞0 時，K=K0；當 δ≤0 時，K=0；K0為軸銷與軸套間的接觸剛度。Cφi，Cθ，Cxi，Cyi為系統對應變量的當量阻尼系數。

4)對應系統的4個廣義坐標，其對應的廣義力［15］。

該系統所受外力分別為:

F1=m1gj，F2=m2gj，Fc=Fxi+Fyj

F3=m3gj，F4=m4gj

該系統所受外力分別對應的矢徑為:

系統的廣義力為:

把式(17)、(18)、(19)、(21)代入式(16)可以得到系統的動力學方程:

其中:系統質量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K均為4×4的方陣，系統廣義外力Q為4×1的列陣。

3 動態特性分析

仿真參數見表2。

表2 動力學仿真參數

圖3是通過表1與表2中的參數利用ADAMS軟件建立的考慮關節間隙的五桿機構模型。

圖3 含關節間隙的五桿機構模型

3.1 仿真結果

通過ADAMS軟件對含關節間隙(B關節)的五桿機構進行了動態仿真，得到了圖4。從圖(a)(l2與l3的相對角位移)可知關節間隙對構件角位移幾乎沒有影響。從圖(b-c)(l3質心的速度)可知關節間隙對構件速度的影響不太明顯，基本與理想機構的速度保持一致。從圖(d-e)(l3質心的加速度)可知關節間隙對構件加速度的影響極其顯著，引起了系統的高頻振蕩。從圖(f)(間隙關節的接觸力與理想關節反力的對比圖)可知理想關節反力與間隙關節接觸力相比幾乎趨近于0。從圖(g)(曲柄l1的驅動力矩)可知關節間隙對該機構的驅動力矩具有明顯的影響，且呈數量級跳動，導致理想機構下的驅動力矩與含關節間隙下驅動力矩對比時趨近于0。

圖4 仿真結果

4 結論

1)以五桿機構為研究基礎，考慮了其中一個轉動副的間隙，列出了該機構含間隙時的位置方程，并對其進行了運動分析，導出了接觸體之間的相對切向與法向接觸速度。基于Lankarani-Nikravesh接觸力模型建立了間隙關節的法向接觸力模型，并利用修正的Coulomb摩擦力模型建立了間隙關節的切向接觸力模型。最后通過接觸力與廣義外力之間的關系把間隙關節的接觸力模型嵌入到該機構的第二類拉格朗日方程中。

2)利用ADAMS動力學仿真軟件對該機構含關節間隙的動態性能進行了分析，得到關節間隙對機構的位移幾乎沒有影響，對機構速度特性具有較小影響，而對機構的加速度與關節反力的影響最明顯。機構的驅動力矩也明顯受關節間隙的影響。由此可得，關節間隙對五桿機構動態性能的影響不容忽視。

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