用傅里葉定律分析無限大平行平板中的準穩(wěn)態(tài)

羅 宏

(蘇州科技學院 數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009)

1 引 言

準穩(wěn)態(tài)法測量材料的熱物性是一種較精確的動態(tài)測量方法，在各類固、液以及納米材料的熱物性測量中得到了應用[1-4]. 其特點是效率高，所得數(shù)據(jù)較多. 準穩(wěn)態(tài)實驗作為測量比熱容和導熱系數(shù)的方法也引入了大學物理實驗教學中[5-6]，作為一種應用動態(tài)方法的實驗，開闊了學生的思路和視野.

2 無限大平行平板中準穩(wěn)態(tài)分析

在實驗中常采用第二類邊界條件下的無限大平板模型作為準穩(wěn)態(tài)實驗的基礎[1,3-5]. 導熱系數(shù)及比熱容的計算式由平板的溫度分布函數(shù)導出[5，7]. 進一步了解溫度分布函數(shù)的推導過程則涉及到解第二類邊界條件下的熱傳導微分方程:

(1)

用到分離變量法，以及傅里葉分析等[8].

將以上方法應用到實驗教學中，存在2個問題，其一是對大部分學生而言理論基礎要求過高，其二是公式的推導過程并沒有幫助學生了解準穩(wěn)態(tài)是怎樣的物理過程及其特點.

本文根據(jù)一維情況下的傅里葉定律

(2)

結合比熱容的定義

dQ=cmdt,

(3)

分析了實驗系統(tǒng)中的準穩(wěn)態(tài)物理過程及其物理特征，并推出導熱系數(shù)的計算公式，得到了與解偏微分方程一致的結果.

如圖1所示，無限大各向同性的均勻平行平板厚度為d，一個表面絕熱，另一個表面的熱流密度-qc為常量，此處負號是考慮其方向為負. 假設平板的導熱系數(shù)λ、比熱容c和密度ρ不隨溫度變化. 建立如圖1所示坐標，使x軸垂直于平行平面，原點位于絕熱表面上.

圖1 恒熱流密度下的無限大平行平板

由系統(tǒng)的對稱性知，熱流密度必然與x軸平行，并且x相同的位置，熱流密度相同，熱流密度是x的一維函數(shù). 平板被持續(xù)加熱，其溫度必然不斷升高. 但由于流入的熱流密度始終為常量，可以合理猜想流入的熱量被平板各處均勻吸收. 當然這是經(jīng)過初始過渡過程之后，達到“穩(wěn)定”的狀態(tài)，即準穩(wěn)態(tài)時的情況. 由以上分析，假設平板中的熱流密度為

q=ax+b,

(4)

以下由微元法，通過物理過程說明這正是系統(tǒng)“穩(wěn)定”后的狀況，并求出常量a，b.

將平板沿平行于表面的方向分為無窮多個等厚的薄層，薄層厚度Δx趨向于無窮小. 任取相鄰的2個薄層Vi+1，Vi+2，如圖2所示. 圖中所示熱流密度為箭頭所指面上所流過的熱流密度. 因薄層為任取，以下的討論具有普遍性.

圖2 平板中的2個薄層微元

研究Vi+1，由熱容式(3)及能量守恒知，時間dτ內(nèi)，流入流出的熱量差等于溫度變化而吸收的熱量

ΔQ=(qi-qi+1)Adτ=cΔmdti+1,

(5)

由Δm=ρAΔx(ρ為板的密度)，式(5)變?yōu)?/p>

(6)

當Δx趨向于無窮小，等式左端即熱流密度的導數(shù)dq/dx. (6)式以及(2)式描述了熱量在板內(nèi)流動、吸收的情況，限定了熱流密度和溫度的關系，是熱流密度和溫度必須滿足的等式.

以下類比力學中穩(wěn)定平衡的概念，通過說明(4)式所代表的狀態(tài)是平衡且穩(wěn)定的，來說明這種狀態(tài)會自發(fā)、持續(xù)存在.

首先說明(4)式代表“平衡”的狀態(tài)，即可以持續(xù)存在的狀態(tài). 由(6)式可看出，等式左側熱流密度對空間的導數(shù)處處為常量時[熱流密度為空間的線性函數(shù)，即(4)式]，等式右側所有薄層中溫度對時間導數(shù)為常量. 當各處溫度的時間導數(shù)為常量時，其空間梯度必為時不變函數(shù)，則由(2)式，要求熱流密度為時不變函數(shù). (4)式滿足這一要求. 同時也要求外加熱流密度為常量，這正是假設的條件. 由此(4)式滿足了(2)和(6)式，同時是時不變的狀態(tài)，可以持續(xù)存在. 此時，熱流密度線性變化，各薄層吸熱速率相同，導致溫升速率相同. 相同的溫升速率說明溫度梯度不隨時間變化，又保證了此熱流密度不發(fā)生改變，狀態(tài)持續(xù)存在. 溫升速率相同，是準穩(wěn)態(tài)的特征，此狀態(tài)為準穩(wěn)態(tài).

接下來，說明其是“穩(wěn)定平衡”，也就是如果系統(tǒng)不在此狀態(tài)，會自發(fā)地向此狀態(tài)演化. 需要考慮2個相鄰的薄層，分析熱流密度偏離上述狀態(tài)之后，系統(tǒng)如何自我調(diào)節(jié). 如果qi-qi+1>qi+1-qi+2，則由(6)式知ti+1升高的速率大于ti+2，導致兩薄層間的溫度差加大，由(2)式知qi+1將增大，其結果是qi-qi+1減小，qi+1-qi+2增大，上面不等式兩端的差距縮小. 若qi-qi+1

由以上文中分析可以得出，無限大平行平板系統(tǒng)趨向且穩(wěn)定于熱流密度隨x線性變化的狀態(tài). 此時，所有部分溫升速率相同，這正是準穩(wěn)態(tài)的特征.

根據(jù)邊界條件及(4)式，q(0)=b=0，q(d)=-qc=ad，則b=0，a=-qc/d,代入(4)式得：

(7)

將(7)式代入傅里葉定律(2)式，

(8)

將上式從0到x積分，得到x處溫度

(9)

可見溫度場為拋物線函數(shù). 若x=d，則可得

(10)

式中Δt=t(d)-t(0),為平板2個表面的溫度差，上面已經(jīng)說明，其為常量. 此式為準穩(wěn)態(tài)下，利用無限大平行平板測量導熱系數(shù)的計算公式. (9)和(10)兩式與用熱傳導微分方程(1)推導出的結果相同[7]，驗證了結果正確.

3 結束語

準穩(wěn)態(tài)下的平行平板問題在熱物性參量的測量中常被用到. 本文從熱流密度著手，這正是從準穩(wěn)態(tài)的特點出發(fā). 準穩(wěn)態(tài)的特點是物體中所有點的溫升速率都相等，由傅里葉定律知，這就導致空間中的熱流密度不隨時間變化. 從不變量著手可以更容易地解決問題，所以從熱流密度著手有其合理性. 熱傳導微分方程(1)式本身就是建立在傅里葉定律和比熱容定義式基礎之上. 所以本文的方法和傳統(tǒng)的方法有相同的基礎. 只是本文的方法更強調(diào)物理的概念和過程. 相對于解偏微分方程的方法，更簡單易懂，利于教學. 學生反復應用物理的概念、分析物理過程，有利于學生熟悉物理概念、建立物理直覺.

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