帶有佩亞諾型余項的泰勒公式的新證明

姚海燕

摘要：本文用數學歸納法給出了帶有佩亞諾型余項的泰勒公式的新證明，證明過程簡潔嚴密，且便于學生理解。

關鍵詞：泰勒公式；數學歸納法；佩亞諾型余項

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0120-01

泰勒公式是一元微積分學的一個重要內容，它是分析學中研究解析函數性質的基礎，是大學一年級理工科學生必需掌握的內容。帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的證明有兩種方法：一種是多次引用柯西中值定理，可見文獻[1]中的證明；另一種是用羅爾中值定理，可見文獻[2]中定理5.18的證明。關于泰勒公式的各種余項可參見文獻[3]中的討論，在此不再贅述。文獻[4]中指出，如果f■（x）有界，當x→x0時，泰勒公式的拉格朗日型余項可換為佩亞諾型余項這樣就得到了帶有佩亞諾型余項o（（x-x0）n）的泰勒公式。此公式在文獻[4]中未給出證明，妨礙了它的使用；對數學專業學生講解時，也需要補充大量的細節才得以證明。在此，我們給出它的新證明，說明只需要存在f■（x）即可。所用的證明方法是學生熟悉的數學歸納法。文獻[3]中曾用此方法證明過該公式，但符號比較抽象，不便于學生理解，很多教科書中未采用。我們以定理的形式給出帶有佩亞諾型余項的泰勒公式：

定理：設f■（x0）存在，則

f（x）=f（x0）+■■（x-x0）i+o（（x-x0）n），（x→x0）（1）

定理中沒有出現f■（x），也就是對f■（x）的存在性及其性質均沒有要求。實際上，當n=1時，（1）式為有限增量公式，f"（x）與無關，這更使我們堅信定理的正確性。

證：只要證

■■=0

成立即可。

用數學歸納法。設f'（x0）存在，則：

■■=f'（x0）

所以：

■■=■（■-f'（x0））=0，

即當n=1時結論成立。假設存在正整數k，使當n=k時結論成立。當f■（x0）存在時，則f'（x）在x0處有k階導數，這時對f'（x）運用歸納法，有：

■■=0

再根據洛必達法則，就得到：

所以當n=k+1時結論也成立。根據數學歸納法，對一切正整數n，結論都成立。

利用歸納法證明本定理，詳盡流暢，更嚴謹，更有邏輯性，關鍵在于對f'（x）利用歸納法的講解。本定理擺脫了文獻[4]中f■（x）有界這一條件的限制，使用該定理解決一些難題將非常簡便，比如文獻[4]中總習題三帶*的第18題。現以例題的形式給出：

例：設f■（x0）存在，且f（x0）=f'（x0）=…=f■（x0）=0，證明：

f（x）=o[（x-x0）n]（x→x0）

將該題的條件代入定理，立得該題結論。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析第四版（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010：141-142.

[2]周民強.數學分析（第一冊）[M].上海科學技術出版社，2002：295-296.

[3]г.M.菲赫金哥爾茨.微積分學教程（第一卷）[M].3版.楊弢亮，葉彥謙，譯.北京：高等教育出版社，2006：207-216.

[4]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：139-142，183.endprint

摘要：本文用數學歸納法給出了帶有佩亞諾型余項的泰勒公式的新證明，證明過程簡潔嚴密，且便于學生理解。

關鍵詞：泰勒公式；數學歸納法；佩亞諾型余項

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0120-01

泰勒公式是一元微積分學的一個重要內容，它是分析學中研究解析函數性質的基礎，是大學一年級理工科學生必需掌握的內容。帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的證明有兩種方法：一種是多次引用柯西中值定理，可見文獻[1]中的證明；另一種是用羅爾中值定理，可見文獻[2]中定理5.18的證明。關于泰勒公式的各種余項可參見文獻[3]中的討論，在此不再贅述。文獻[4]中指出，如果f■（x）有界，當x→x0時，泰勒公式的拉格朗日型余項可換為佩亞諾型余項這樣就得到了帶有佩亞諾型余項o（（x-x0）n）的泰勒公式。此公式在文獻[4]中未給出證明，妨礙了它的使用；對數學專業學生講解時，也需要補充大量的細節才得以證明。在此，我們給出它的新證明，說明只需要存在f■（x）即可。所用的證明方法是學生熟悉的數學歸納法。文獻[3]中曾用此方法證明過該公式，但符號比較抽象，不便于學生理解，很多教科書中未采用。我們以定理的形式給出帶有佩亞諾型余項的泰勒公式：

定理：設f■（x0）存在，則

f（x）=f（x0）+■■（x-x0）i+o（（x-x0）n），（x→x0）（1）

定理中沒有出現f■（x），也就是對f■（x）的存在性及其性質均沒有要求。實際上，當n=1時，（1）式為有限增量公式，f"（x）與無關，這更使我們堅信定理的正確性。

證：只要證

■■=0

成立即可。

用數學歸納法。設f'（x0）存在，則：

■■=f'（x0）

所以：

■■=■（■-f'（x0））=0，

即當n=1時結論成立。假設存在正整數k，使當n=k時結論成立。當f■（x0）存在時，則f'（x）在x0處有k階導數，這時對f'（x）運用歸納法，有：

■■=0

再根據洛必達法則，就得到：

所以當n=k+1時結論也成立。根據數學歸納法，對一切正整數n，結論都成立。

利用歸納法證明本定理，詳盡流暢，更嚴謹，更有邏輯性，關鍵在于對f'（x）利用歸納法的講解。本定理擺脫了文獻[4]中f■（x）有界這一條件的限制，使用該定理解決一些難題將非常簡便，比如文獻[4]中總習題三帶*的第18題。現以例題的形式給出：

例：設f■（x0）存在，且f（x0）=f'（x0）=…=f■（x0）=0，證明：

f（x）=o[（x-x0）n]（x→x0）

將該題的條件代入定理，立得該題結論。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析第四版（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010：141-142.

[2]周民強.數學分析（第一冊）[M].上海科學技術出版社，2002：295-296.

[3]г.M.菲赫金哥爾茨.微積分學教程（第一卷）[M].3版.楊弢亮，葉彥謙，譯.北京：高等教育出版社，2006：207-216.

[4]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：139-142，183.endprint

摘要：本文用數學歸納法給出了帶有佩亞諾型余項的泰勒公式的新證明，證明過程簡潔嚴密，且便于學生理解。

關鍵詞：泰勒公式；數學歸納法；佩亞諾型余項

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0120-01

泰勒公式是一元微積分學的一個重要內容，它是分析學中研究解析函數性質的基礎，是大學一年級理工科學生必需掌握的內容。帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的證明有兩種方法：一種是多次引用柯西中值定理，可見文獻[1]中的證明；另一種是用羅爾中值定理，可見文獻[2]中定理5.18的證明。關于泰勒公式的各種余項可參見文獻[3]中的討論，在此不再贅述。文獻[4]中指出，如果f■（x）有界，當x→x0時，泰勒公式的拉格朗日型余項可換為佩亞諾型余項這樣就得到了帶有佩亞諾型余項o（（x-x0）n）的泰勒公式。此公式在文獻[4]中未給出證明，妨礙了它的使用；對數學專業學生講解時，也需要補充大量的細節才得以證明。在此，我們給出它的新證明，說明只需要存在f■（x）即可。所用的證明方法是學生熟悉的數學歸納法。文獻[3]中曾用此方法證明過該公式，但符號比較抽象，不便于學生理解，很多教科書中未采用。我們以定理的形式給出帶有佩亞諾型余項的泰勒公式：

定理：設f■（x0）存在，則

f（x）=f（x0）+■■（x-x0）i+o（（x-x0）n），（x→x0）（1）

定理中沒有出現f■（x），也就是對f■（x）的存在性及其性質均沒有要求。實際上，當n=1時，（1）式為有限增量公式，f"（x）與無關，這更使我們堅信定理的正確性。

證：只要證

■■=0

成立即可。

用數學歸納法。設f'（x0）存在，則：

■■=f'（x0）

所以：

■■=■（■-f'（x0））=0，

即當n=1時結論成立。假設存在正整數k，使當n=k時結論成立。當f■（x0）存在時，則f'（x）在x0處有k階導數，這時對f'（x）運用歸納法，有：

■■=0

再根據洛必達法則，就得到：

所以當n=k+1時結論也成立。根據數學歸納法，對一切正整數n，結論都成立。

利用歸納法證明本定理，詳盡流暢，更嚴謹，更有邏輯性，關鍵在于對f'（x）利用歸納法的講解。本定理擺脫了文獻[4]中f■（x）有界這一條件的限制，使用該定理解決一些難題將非常簡便，比如文獻[4]中總習題三帶*的第18題。現以例題的形式給出：

例：設f■（x0）存在，且f（x0）=f'（x0）=…=f■（x0）=0，證明：

f（x）=o[（x-x0）n]（x→x0）

將該題的條件代入定理，立得該題結論。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析第四版（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010：141-142.

[2]周民強.數學分析（第一冊）[M].上海科學技術出版社，2002：295-296.

[3]г.M.菲赫金哥爾茨.微積分學教程（第一卷）[M].3版.楊弢亮，葉彥謙，譯.北京：高等教育出版社，2006：207-216.

[4]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：139-142，183.endprint