巧用數形結合 培養思維能力

陳彩虹

“數缺形時少知覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休?！边@是數學家華羅庚先生對數形結合的重要性的形象生動概括。數形結合思想是重要的數學思想，也是學生在解決數學問題過程中常用的一種思維方法，可以通過“以形助數”、“以數賦形”使某些抽象的數學問題直觀化、生動化、形象化、簡單化。因此，在小學數學教學中應注重運用數形結合思想，培養學生的思維能力和數學素養。下面結合教學實踐，談談如何使用教材對數形結合思想進行有效滲透，從而培養學生的思維能力。

一、巧用數形結合，培養思維的形象性

形象思維又稱直感思維，是指以具體的形象或圖像為思維內容的思維形態。在數學中，數學概念具有抽象性，數量關系具有復雜性，這給學生的理解帶來了困難，但我們可以發揮圖形的直觀作用，溝通圖形與數學語言之間的關系，使之形象化、直觀化，幫助學生形象地理解抽象的概念或數量關系，培養學生的形象思維能力。

如在教學“分數乘分數”時，課始先創設情境：我們學校暑假期間粉刷了部分教室（出示粉刷墻壁的畫面），裝修工人每小時粉刷這面墻的■，■小時可以粉刷這面墻的幾分之幾？

教師采用三步走的策略。

１．學生操作、交流

師：請大家準備好一張長方形紙，如果把它看做要粉刷的一面墻，你怎樣表示出它的■呢？（學生動手操作）

師：說說你是怎樣得到的？（把這張紙平均分成５份，涂出其中的一份）涂出的一份表示什么？（１小時粉刷的面積）

２．小組討論，再次操作

師：剛才我們通過折、量、涂得到了１小時粉刷墻壁的面積，那么■小時能刷這面墻的幾分之幾，在此基礎上該如何表示呢？

（學生討論、匯報）

師（及時點撥）：要將已涂出的這一份再平均分成４份，然后涂出其中的１份，這一份就是■小時粉刷的面積。

師：求■小時粉刷這面墻的幾分之幾，就是求■的■是多少。

３．課件演示，理解算理

師：根據涂色的結果，你能說出■的■是多少嗎？回想一下，你是怎樣得出結果的？

學生討論后匯報交流，教師根據學生回答的情況用多媒體演示涂色過程，并歸納：先把這張紙看作“１”，平均分成５份，１份是這張紙的■，又把涂色部分的■平均分成４份，也就是把這張紙平均分成５×４＝２０份，因此１份就是這張紙的■。

這樣讓學生親身經歷、體驗，可以很直觀地得出■的■是■，由此寫出計算過程：■×■=■＝■?！耙詳蒂x形”，“數形結合”的過程，也就是讓學生看到圖形能聯想到算式，看到算式就聯想到圖形，從而理解分數乘分數的算理。

二、巧用數形結合，培養思維的靈活性

思維的靈活性指思維活動的靈活程度。在數學教學中適當地把數與形有機地結合起來，可幫助學生克服思維定式；借助圖形直觀，可引導學生進行大膽合理的想象，提出符合實際的解決問題的新設想、新方案和新方法。

如在教學分數、百分數、比的整理與復習中，設計了題目：

根據給出的線段圖，你能聯想到哪些分數或百分數、比。

■

學生充分想象后，匯報整理如下：

（１）男生占全班人數的■（６０％）；

（２）女生占全班人數的■（４０％）；

（３）男生人數相當于女生人數的■（１５０％）；

（４）女生人數相當于男生人數的■；

（５）女生人數比男生人數少■；

（６）男生人數比女生人數多■（５０％）；

（７）女生與男生人數的比是２∶３，男生與女生人數的比是３∶２；

（８）男生與全班人數的比是３∶５，女生與全班人數的比是２∶５；

……

引導學生結合想到的分數給題目補充一個條件，再用不同的方法解決下面問題：

（１）六（５）班有學生４０人，。六（５）班男女生各有多少人？

（２）六（５）班有男生２４人，。六（５）班有女生多少人？

……

任何思維，不論是多么抽象，多么理論，都是從分析材料開始的。因此，教師借助一條線段圖，“以形助數”，通過讓學生在想象、設計、計算等活動中找到了知識內在的聯系，不僅讓學生系統地掌握了知識，還有利于培養學生思維的靈活性。

三、巧用數形結合，培養思維的創造性

學生的創造性思維是指在解決問題的過程中，能獨立地發現問題，善于做出與眾不同、富有創見的設想和別出心裁解決問題的方法的思維方式。在教學中，教師要選用合適的題目，通過數形結合，引發學生產生創造的沖動，培養學生思維的獨創性。

如在教學“圓的面積”的公式推導時，先要求學生拿出事先分割成１６等份的圓形紙片，運用割補、拼湊、轉化等方法，把手中１６等份的圓形紙片轉化成已學的圖形，并寫出計算方法。學生動手的興致很高，有的學生擺出類似課本例題的長方形，得出長方形的長是■，高是ｒ，面積是Ｓ＝■×ｒ。有的卻擺出三角形、梯形和平行四邊形，如下圖：

■

學生思維活躍，方法各異，最后都簡化得出面積運算公式?？梢?，通過數形結合，引導學生積極動手操作，不僅能培養學生解決實際問題的能力，而且有助于學生創造性思維的發展。

四、巧用數形結合，培養思維的發散性

發散思維是學生思維能力的核心。發散思維具有流暢、變通、獨特三個特點，它要求學生在思維活動中靈活迅速、觸類旁通、隨機應變，不限于某一方面，不受消極思維定式的束縛，能夠從前所未有的角度和觀念去認識事物、反映事物，從而產生超常的構想，提出獨特的見解。因此我們教師要引導學生進行數與形的轉換，洞察每一個研究對象的實質，以及揭示這些對象之間的相互關系，進而激發學生從不同角度去分析、去思考，尋求不同的解題策略。

例如在教學長方體的體積公式時，我組織學生進行了三次實踐活動。

第一次活動，用１２個棱長為１厘米的小正方體擺一個任意的長方體。（如下圖）

■

引導學生初步感知長方體體積與它的長、寬、高的關系。一方面，這一活動具有較強的開放性，只要求學生用１厘米的小正方體擺一個長方體，沒有規定怎樣擺，擺什么樣的長方體，充分體現了學生活動的自主性，培養了學生的發散性思維。另一方面，在擺完后讓學生充分地進行交流，既有利于進一步的比較與分析，還可以啟發學生把長方體的體積與它的長、寬、高聯系起來，從中發現規律。

第二次活動，引導學生仍用這１２個棱長為１厘米的小正方體，憑借想象，擺出一個比１２立方厘米大的長方體。這時給出一個富有挑戰性的問題激發學生的好奇心與疑問：能擺出這樣的長方體嗎？學生個個躍躍欲試，小組內同學相互交流，互相啟發，嘗試擺出了許多不同的圖形：

■

學生的思維火花在操作與交流中迸發，學生的發散思維和空間想象能力也得到了發展。

第三次活動，讓學生用這１２個棱長為１厘米的小正方體再擺一個體積更大的虛擬的長方體，這時學生已不再困惑，擺出圖形：

這時，教師及時在電腦上演示，使學生對長方體的體積和它的長、寬、高之間的關系有了一個清楚的認識。

最后，教師出示一個長方體圖形：

讓學生計算它的體積。學生根據給出的圖形，結合前面的操作活動，很快算出體積：８×４×５＝１６０立方厘米。

通過數形結合，學生對長方體里含有的體積單位數正好是它的長、寬、高的乘積有了一個清晰的理解，真正做到知其然又知其所以然。

總之，在小學數學教學中，數形結合思想滲透在數學教學的每一個領域，只要我們根據教學內容的需要，運用恰當的形象圖形，將抽象的數學概念直觀化，復雜的數量關系具體化，無形的解題思路形象化，就有利于學生學習興趣的培養，更有利于培養學生的思維能力。

（責編金鈴）

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“數缺形時少知覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休?！边@是數學家華羅庚先生對數形結合的重要性的形象生動概括。數形結合思想是重要的數學思想，也是學生在解決數學問題過程中常用的一種思維方法，可以通過“以形助數”、“以數賦形”使某些抽象的數學問題直觀化、生動化、形象化、簡單化。因此，在小學數學教學中應注重運用數形結合思想，培養學生的思維能力和數學素養。下面結合教學實踐，談談如何使用教材對數形結合思想進行有效滲透，從而培養學生的思維能力。

一、巧用數形結合，培養思維的形象性

形象思維又稱直感思維，是指以具體的形象或圖像為思維內容的思維形態。在數學中，數學概念具有抽象性，數量關系具有復雜性，這給學生的理解帶來了困難，但我們可以發揮圖形的直觀作用，溝通圖形與數學語言之間的關系，使之形象化、直觀化，幫助學生形象地理解抽象的概念或數量關系，培養學生的形象思維能力。

如在教學“分數乘分數”時，課始先創設情境：我們學校暑假期間粉刷了部分教室（出示粉刷墻壁的畫面），裝修工人每小時粉刷這面墻的■，■小時可以粉刷這面墻的幾分之幾？

教師采用三步走的策略。

１．學生操作、交流

師：請大家準備好一張長方形紙，如果把它看做要粉刷的一面墻，你怎樣表示出它的■呢？（學生動手操作）

師：說說你是怎樣得到的？（把這張紙平均分成５份，涂出其中的一份）涂出的一份表示什么？（１小時粉刷的面積）

２．小組討論，再次操作

師：剛才我們通過折、量、涂得到了１小時粉刷墻壁的面積，那么■小時能刷這面墻的幾分之幾，在此基礎上該如何表示呢？

（學生討論、匯報）

師（及時點撥）：要將已涂出的這一份再平均分成４份，然后涂出其中的１份，這一份就是■小時粉刷的面積。

師：求■小時粉刷這面墻的幾分之幾，就是求■的■是多少。

３．課件演示，理解算理

師：根據涂色的結果，你能說出■的■是多少嗎？回想一下，你是怎樣得出結果的？

學生討論后匯報交流，教師根據學生回答的情況用多媒體演示涂色過程，并歸納：先把這張紙看作“１”，平均分成５份，１份是這張紙的■，又把涂色部分的■平均分成４份，也就是把這張紙平均分成５×４＝２０份，因此１份就是這張紙的■。

這樣讓學生親身經歷、體驗，可以很直觀地得出■的■是■，由此寫出計算過程：■×■=■＝■。“以數賦形”，“數形結合”的過程，也就是讓學生看到圖形能聯想到算式，看到算式就聯想到圖形，從而理解分數乘分數的算理。

二、巧用數形結合，培養思維的靈活性

思維的靈活性指思維活動的靈活程度。在數學教學中適當地把數與形有機地結合起來，可幫助學生克服思維定式；借助圖形直觀，可引導學生進行大膽合理的想象，提出符合實際的解決問題的新設想、新方案和新方法。

如在教學分數、百分數、比的整理與復習中，設計了題目：

根據給出的線段圖，你能聯想到哪些分數或百分數、比。

■

學生充分想象后，匯報整理如下：

（１）男生占全班人數的■（６０％）；

（２）女生占全班人數的■（４０％）；

（３）男生人數相當于女生人數的■（１５０％）；

（４）女生人數相當于男生人數的■；

（５）女生人數比男生人數少■；

（６）男生人數比女生人數多■（５０％）；

（７）女生與男生人數的比是２∶３，男生與女生人數的比是３∶２；

（８）男生與全班人數的比是３∶５，女生與全班人數的比是２∶５；

……

引導學生結合想到的分數給題目補充一個條件，再用不同的方法解決下面問題：

（１）六（５）班有學生４０人，。六（５）班男女生各有多少人？

（２）六（５）班有男生２４人，。六（５）班有女生多少人？

……

任何思維，不論是多么抽象，多么理論，都是從分析材料開始的。因此，教師借助一條線段圖，“以形助數”，通過讓學生在想象、設計、計算等活動中找到了知識內在的聯系，不僅讓學生系統地掌握了知識，還有利于培養學生思維的靈活性。

三、巧用數形結合，培養思維的創造性

學生的創造性思維是指在解決問題的過程中，能獨立地發現問題，善于做出與眾不同、富有創見的設想和別出心裁解決問題的方法的思維方式。在教學中，教師要選用合適的題目，通過數形結合，引發學生產生創造的沖動，培養學生思維的獨創性。

如在教學“圓的面積”的公式推導時，先要求學生拿出事先分割成１６等份的圓形紙片，運用割補、拼湊、轉化等方法，把手中１６等份的圓形紙片轉化成已學的圖形，并寫出計算方法。學生動手的興致很高，有的學生擺出類似課本例題的長方形，得出長方形的長是■，高是ｒ，面積是Ｓ＝■×ｒ。有的卻擺出三角形、梯形和平行四邊形，如下圖：

■

學生思維活躍，方法各異，最后都簡化得出面積運算公式。可見，通過數形結合，引導學生積極動手操作，不僅能培養學生解決實際問題的能力，而且有助于學生創造性思維的發展。

四、巧用數形結合，培養思維的發散性

發散思維是學生思維能力的核心。發散思維具有流暢、變通、獨特三個特點，它要求學生在思維活動中靈活迅速、觸類旁通、隨機應變，不限于某一方面，不受消極思維定式的束縛，能夠從前所未有的角度和觀念去認識事物、反映事物，從而產生超常的構想，提出獨特的見解。因此我們教師要引導學生進行數與形的轉換，洞察每一個研究對象的實質，以及揭示這些對象之間的相互關系，進而激發學生從不同角度去分析、去思考，尋求不同的解題策略。

例如在教學長方體的體積公式時，我組織學生進行了三次實踐活動。

第一次活動，用１２個棱長為１厘米的小正方體擺一個任意的長方體。（如下圖）

■

引導學生初步感知長方體體積與它的長、寬、高的關系。一方面，這一活動具有較強的開放性，只要求學生用１厘米的小正方體擺一個長方體，沒有規定怎樣擺，擺什么樣的長方體，充分體現了學生活動的自主性，培養了學生的發散性思維。另一方面，在擺完后讓學生充分地進行交流，既有利于進一步的比較與分析，還可以啟發學生把長方體的體積與它的長、寬、高聯系起來，從中發現規律。

第二次活動，引導學生仍用這１２個棱長為１厘米的小正方體，憑借想象，擺出一個比１２立方厘米大的長方體。這時給出一個富有挑戰性的問題激發學生的好奇心與疑問：能擺出這樣的長方體嗎？學生個個躍躍欲試，小組內同學相互交流，互相啟發，嘗試擺出了許多不同的圖形：

■

學生的思維火花在操作與交流中迸發，學生的發散思維和空間想象能力也得到了發展。

第三次活動，讓學生用這１２個棱長為１厘米的小正方體再擺一個體積更大的虛擬的長方體，這時學生已不再困惑，擺出圖形：

這時，教師及時在電腦上演示，使學生對長方體的體積和它的長、寬、高之間的關系有了一個清楚的認識。

最后，教師出示一個長方體圖形：

讓學生計算它的體積。學生根據給出的圖形，結合前面的操作活動，很快算出體積：８×４×５＝１６０立方厘米。

通過數形結合，學生對長方體里含有的體積單位數正好是它的長、寬、高的乘積有了一個清晰的理解，真正做到知其然又知其所以然。

總之，在小學數學教學中，數形結合思想滲透在數學教學的每一個領域，只要我們根據教學內容的需要，運用恰當的形象圖形，將抽象的數學概念直觀化，復雜的數量關系具體化，無形的解題思路形象化，就有利于學生學習興趣的培養，更有利于培養學生的思維能力。

（責編金鈴）

endprint

“數缺形時少知覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”這是數學家華羅庚先生對數形結合的重要性的形象生動概括。數形結合思想是重要的數學思想，也是學生在解決數學問題過程中常用的一種思維方法，可以通過“以形助數”、“以數賦形”使某些抽象的數學問題直觀化、生動化、形象化、簡單化。因此，在小學數學教學中應注重運用數形結合思想，培養學生的思維能力和數學素養。下面結合教學實踐，談談如何使用教材對數形結合思想進行有效滲透，從而培養學生的思維能力。

一、巧用數形結合，培養思維的形象性

形象思維又稱直感思維，是指以具體的形象或圖像為思維內容的思維形態。在數學中，數學概念具有抽象性，數量關系具有復雜性，這給學生的理解帶來了困難，但我們可以發揮圖形的直觀作用，溝通圖形與數學語言之間的關系，使之形象化、直觀化，幫助學生形象地理解抽象的概念或數量關系，培養學生的形象思維能力。

如在教學“分數乘分數”時，課始先創設情境：我們學校暑假期間粉刷了部分教室（出示粉刷墻壁的畫面），裝修工人每小時粉刷這面墻的■，■小時可以粉刷這面墻的幾分之幾？

教師采用三步走的策略。

１．學生操作、交流

師：請大家準備好一張長方形紙，如果把它看做要粉刷的一面墻，你怎樣表示出它的■呢？（學生動手操作）

師：說說你是怎樣得到的？（把這張紙平均分成５份，涂出其中的一份）涂出的一份表示什么？（１小時粉刷的面積）

２．小組討論，再次操作

師：剛才我們通過折、量、涂得到了１小時粉刷墻壁的面積，那么■小時能刷這面墻的幾分之幾，在此基礎上該如何表示呢？

（學生討論、匯報）

師（及時點撥）：要將已涂出的這一份再平均分成４份，然后涂出其中的１份，這一份就是■小時粉刷的面積。

師：求■小時粉刷這面墻的幾分之幾，就是求■的■是多少。

３．課件演示，理解算理

師：根據涂色的結果，你能說出■的■是多少嗎？回想一下，你是怎樣得出結果的？

學生討論后匯報交流，教師根據學生回答的情況用多媒體演示涂色過程，并歸納：先把這張紙看作“１”，平均分成５份，１份是這張紙的■，又把涂色部分的■平均分成４份，也就是把這張紙平均分成５×４＝２０份，因此１份就是這張紙的■。

這樣讓學生親身經歷、體驗，可以很直觀地得出■的■是■，由此寫出計算過程：■×■=■＝■?！耙詳蒂x形”，“數形結合”的過程，也就是讓學生看到圖形能聯想到算式，看到算式就聯想到圖形，從而理解分數乘分數的算理。

二、巧用數形結合，培養思維的靈活性

思維的靈活性指思維活動的靈活程度。在數學教學中適當地把數與形有機地結合起來，可幫助學生克服思維定式；借助圖形直觀，可引導學生進行大膽合理的想象，提出符合實際的解決問題的新設想、新方案和新方法。

如在教學分數、百分數、比的整理與復習中，設計了題目：

根據給出的線段圖，你能聯想到哪些分數或百分數、比。

■

學生充分想象后，匯報整理如下：

（１）男生占全班人數的■（６０％）；

（２）女生占全班人數的■（４０％）；

（３）男生人數相當于女生人數的■（１５０％）；

（４）女生人數相當于男生人數的■；

（５）女生人數比男生人數少■；

（６）男生人數比女生人數多■（５０％）；

（７）女生與男生人數的比是２∶３，男生與女生人數的比是３∶２；

（８）男生與全班人數的比是３∶５，女生與全班人數的比是２∶５；

……

引導學生結合想到的分數給題目補充一個條件，再用不同的方法解決下面問題：

（１）六（５）班有學生４０人，。六（５）班男女生各有多少人？

（２）六（５）班有男生２４人，。六（５）班有女生多少人？

……

任何思維，不論是多么抽象，多么理論，都是從分析材料開始的。因此，教師借助一條線段圖，“以形助數”，通過讓學生在想象、設計、計算等活動中找到了知識內在的聯系，不僅讓學生系統地掌握了知識，還有利于培養學生思維的靈活性。

三、巧用數形結合，培養思維的創造性

學生的創造性思維是指在解決問題的過程中，能獨立地發現問題，善于做出與眾不同、富有創見的設想和別出心裁解決問題的方法的思維方式。在教學中，教師要選用合適的題目，通過數形結合，引發學生產生創造的沖動，培養學生思維的獨創性。

如在教學“圓的面積”的公式推導時，先要求學生拿出事先分割成１６等份的圓形紙片，運用割補、拼湊、轉化等方法，把手中１６等份的圓形紙片轉化成已學的圖形，并寫出計算方法。學生動手的興致很高，有的學生擺出類似課本例題的長方形，得出長方形的長是■，高是ｒ，面積是Ｓ＝■×ｒ。有的卻擺出三角形、梯形和平行四邊形，如下圖：

■

學生思維活躍，方法各異，最后都簡化得出面積運算公式?？梢?，通過數形結合，引導學生積極動手操作，不僅能培養學生解決實際問題的能力，而且有助于學生創造性思維的發展。

四、巧用數形結合，培養思維的發散性

發散思維是學生思維能力的核心。發散思維具有流暢、變通、獨特三個特點，它要求學生在思維活動中靈活迅速、觸類旁通、隨機應變，不限于某一方面，不受消極思維定式的束縛，能夠從前所未有的角度和觀念去認識事物、反映事物，從而產生超常的構想，提出獨特的見解。因此我們教師要引導學生進行數與形的轉換，洞察每一個研究對象的實質，以及揭示這些對象之間的相互關系，進而激發學生從不同角度去分析、去思考，尋求不同的解題策略。

例如在教學長方體的體積公式時，我組織學生進行了三次實踐活動。

第一次活動，用１２個棱長為１厘米的小正方體擺一個任意的長方體。（如下圖）

■

引導學生初步感知長方體體積與它的長、寬、高的關系。一方面，這一活動具有較強的開放性，只要求學生用１厘米的小正方體擺一個長方體，沒有規定怎樣擺，擺什么樣的長方體，充分體現了學生活動的自主性，培養了學生的發散性思維。另一方面，在擺完后讓學生充分地進行交流，既有利于進一步的比較與分析，還可以啟發學生把長方體的體積與它的長、寬、高聯系起來，從中發現規律。

第二次活動，引導學生仍用這１２個棱長為１厘米的小正方體，憑借想象，擺出一個比１２立方厘米大的長方體。這時給出一個富有挑戰性的問題激發學生的好奇心與疑問：能擺出這樣的長方體嗎？學生個個躍躍欲試，小組內同學相互交流，互相啟發，嘗試擺出了許多不同的圖形：

■

學生的思維火花在操作與交流中迸發，學生的發散思維和空間想象能力也得到了發展。

第三次活動，讓學生用這１２個棱長為１厘米的小正方體再擺一個體積更大的虛擬的長方體，這時學生已不再困惑，擺出圖形：

這時，教師及時在電腦上演示，使學生對長方體的體積和它的長、寬、高之間的關系有了一個清楚的認識。

最后，教師出示一個長方體圖形：

讓學生計算它的體積。學生根據給出的圖形，結合前面的操作活動，很快算出體積：８×４×５＝１６０立方厘米。

通過數形結合，學生對長方體里含有的體積單位數正好是它的長、寬、高的乘積有了一個清晰的理解，真正做到知其然又知其所以然。

總之，在小學數學教學中，數形結合思想滲透在數學教學的每一個領域，只要我們根據教學內容的需要，運用恰當的形象圖形，將抽象的數學概念直觀化，復雜的數量關系具體化，無形的解題思路形象化，就有利于學生學習興趣的培養，更有利于培養學生的思維能力。

（責編金鈴）

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