“理想”中的不理想

焦波+劉長英

［背景描述］

在“同課異構”校本研修活動中，一位教師在上人教版五年級上冊“等可能性”時，意想不到地出現了“理想化”的結果，就是在統計全班學生拋硬幣的結果時，出現了正、反面朝上的次數正好相等的情況。對這一突如其來的“理想化”結果，學生喝彩，執教者在震驚之后倒顯“從容”，馬上改變教學預案，刪除了展示數學家們實驗結果的環節，直接總結拋硬幣的公平性。對執教者的處理，聽課教師均為之詫異。

［片段回放］

一、……

二、動手實驗，獲取數據

１．四人小組試驗

師：這種用拋硬幣的方法決定誰先開球，到底公不公平呢？下面我們就四人一小組，一起來做一個實驗。請同學們按下列試驗要求，每人親自動手拋一拋硬幣，并填好記錄單。

試驗要求：

（1）每人拋硬幣１０次，拋硬幣時用力均勻，高度適中；

（2）以小組為單位分別統計相關數據，填入試驗記錄單；

（3）小組成員分工協作，看哪個小組合作得最好，完成得最快。

（各小組試驗填表，教師巡視指導）

２．四大組分別匯總數據

師：請各小組將填好的記錄單交給各大組的組長，由組長匯總并填好大組匯總表。

（各大組匯總填表，教師巡視指導）

３．全班匯總數據

各組長匯報，教師填寫匯總表如下：

■

三、分析數據，初步體驗

師：今天真巧，出現正、反面朝上的次數正好相等，從以上結果你能判斷這樣開球公平嗎？為什么？

生１：公平，因為出現兩個面朝上的次數相等。

生２：是公平的，因為正好是一半對一半。

師：兩個面朝上的次數相等，正反面朝上的次數剛好一半對一半，就是出現正反面朝上的可能性相等，所以是公平的。

［案例透析］

這一課，筆者上過，也聽過多節，出現這一小概率事件還是第一次。面對這一案例，教師都感到困惑多多，深感概率知識儲備不足，為此我們開展了專題研討活動。現就研討中的收獲與思考，談點認識。

思考一：學生喝彩什么？——喝彩試驗既快又對地驗證了自己的猜想。

《數學課程標準解讀》一書中指出：“統計與概率”中推理（也稱統計推理）屬于合情推理的范疇，是一種可能性的推理，與其他推理不同的是，由統計推理得到的結論無法用邏輯的方法去檢驗。那何必進行試驗呢？答案是肯定的。因為隨機現象的隨機性和統計規律性是不可分割的，且后者需從大量數據中抽象出來。這些單憑口述、思考是無法讓人接受的。因此，教材創設球賽的開球情境，實際上是讓學生通過試驗，在親歷活動中體會、理解隨機現象的特點，即“單一事件的不確定性和不可預見性，事件在經歷大量重復試驗中表現出規律性”，并不是用通過游戲的結果來猜測游戲的規則是否公平。讓學生用概率的眼光去觀察世界，用概率的頭腦去思考問題，不僅僅是以確定的，一成不變的思維方式去理解事物，這才是小學階段學習概率的目的。但在實際教學中，由于知識儲備的不足并缺乏對隨機試驗的深切體驗和深刻認識，一些教師往往會在潛意識中對試驗結果有一些錯誤的希望。如在教學“游戲規則的公平性”時，試圖用概率的統計意義（即用頻率估計概率的方法），引導學生用“猜想——驗證”的方式來讓學生理解等可能性，或證明設計的游戲規則是否公平，這是不妥當的。

學生的喝彩來自無知，但教師不能無為。正是教師的“無為”給了學生一個錯誤的概率觀，那就是使學生誤認為可能性相同就是次數完全一樣。對于這些隨機試驗的結果，教師要注意根據學生的認知水平和教學需要，結合試驗中單次試驗結果的隨機性和大量重復試驗表現出的規律性對學生進行必要的引導和說明，使學生在體驗中初步感悟統計概率是偶然性與必然性的統一。

思考二：聽課者詫異源自何方？——詫異源自執教者統計概率知識的缺失。

不少聽課教師認為，執教者不應去掉以上環節，要讓學生經歷頻率逼近■的過程，對這一小概率事件的出現可以給予肯定，但必須予以解釋。也有教師施計：可以退一步，去掉某一組的數據重新統計，就能看出正面朝上的次數和反面朝上的次數將越來越接近，也就不會讓學生誤認為可能性相同就是次數完全一樣。以上觀點都是認為“隨著試驗的次數不斷增多，硬幣落地后正面朝上的次數和反面朝上的次數將越來越接近”。

也難怪教師會有這種認識，人教版的教材培訓和蘇教版的教參中提供的說法就是如此（受小學生認知水平的限制，這種說法是學生比較容易理解的），從嚴格意義上講這是不科學的說法。根據統計數學家試驗數據的相差數就會發現，隨著次數的增加，其相差數趨于越來越大，而不是越來越接近。

■

從相差數來看，試驗結果不可能呈現出“拋硬幣的次數越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數越來越接近”。所以我們希望學生得到的數據能直觀地表現為“拋硬幣的次數越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數越來越接近”是不可能實現的。只能說數學家的千萬次試驗，出現正面朝上的頻率都非常接近，而且隨著試驗次數的不斷增多，頻率將穩定于這個常數。

為什么呢？因為一個隨機事件的發生既有隨機性（對單次試驗來說），又存在統計規律性（對大量重復試驗來說），是偶然性與必然性的統一。隨機事件的統計規律表現在：隨機事件的頻率（即事件發生的次數（頻數）與試驗總次數的比值）具有穩定性，總是在某個常數附近擺動，這個常數就叫做隨機事件的概率。概率的這種統計定義隱含著另一層意義，常常被大家忽略，那就是：我們沒有理由認為取Ｘ＋１次試驗結果的頻率會比Ｘ次試驗結果的頻率更逼近事件發生的頻率。在課堂上引入隨機試驗，既不是讓學生得出次數相等的結果，也不是要驗證、證明規則的公平性，更不是要利用試驗得到概率的估計值，而是希望學生在進行隨機試驗和收集數據的過程中，進一步體會隨機的思想，感受、領悟等可能性。

思考三：執教者“從容”出于什么？——從容出于無奈。

從以上分析看出，執教者的“從容”有其合理的一面，但這種“從容”更多的是出于無奈。結合上文所述的隨機試驗的特點，筆者認為出現上述現象的原因，是因為教師忽略了重要的一點，就是在隨機試驗中，用試驗的方法得出的頻率只是概率的估計值，要想得到近似程度較高的概率估計值，通常需要大量的試驗，在有限的課堂時間中，不容易做到。正因如此，部分教師認為，“理想化”的結果出現時，教師不必震驚，“等可能性”可以從概率的古典定義的角度去認識——因為拋的結果只有兩種可能，且兩種結果的可能性相等，所以該隨機事件的概率是■，卻不能通過試驗、游戲來驗證、證明。試驗、游戲則可以讓學生初步感悟統計概率是偶然性與必然性的統一，從而培養學生的隨機思維。

通過討論，我們的共識是“等可能性”的教學可以用“猜想——試驗——分析——推斷”的模式來進行，試驗的過程可以提到課前進行，為課堂統計數據節省大量時間，并用制條形統計圖的辦法來分析推斷比較合適。有了這些基本的認識，我們的教師就不會因自己的缺失而無奈，我們的學生也不會因教師的無奈而缺失。

（責編金鈴）

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［背景描述］

在“同課異構”校本研修活動中，一位教師在上人教版五年級上冊“等可能性”時，意想不到地出現了“理想化”的結果，就是在統計全班學生拋硬幣的結果時，出現了正、反面朝上的次數正好相等的情況。對這一突如其來的“理想化”結果，學生喝彩，執教者在震驚之后倒顯“從容”，馬上改變教學預案，刪除了展示數學家們實驗結果的環節，直接總結拋硬幣的公平性。對執教者的處理，聽課教師均為之詫異。

［片段回放］

一、……

二、動手實驗，獲取數據

１．四人小組試驗

師：這種用拋硬幣的方法決定誰先開球，到底公不公平呢？下面我們就四人一小組，一起來做一個實驗。請同學們按下列試驗要求，每人親自動手拋一拋硬幣，并填好記錄單。

試驗要求：

（1）每人拋硬幣１０次，拋硬幣時用力均勻，高度適中；

（2）以小組為單位分別統計相關數據，填入試驗記錄單；

（3）小組成員分工協作，看哪個小組合作得最好，完成得最快。

（各小組試驗填表，教師巡視指導）

２．四大組分別匯總數據

師：請各小組將填好的記錄單交給各大組的組長，由組長匯總并填好大組匯總表。

（各大組匯總填表，教師巡視指導）

３．全班匯總數據

各組長匯報，教師填寫匯總表如下：

■

三、分析數據，初步體驗

師：今天真巧，出現正、反面朝上的次數正好相等，從以上結果你能判斷這樣開球公平嗎？為什么？

生１：公平，因為出現兩個面朝上的次數相等。

生２：是公平的，因為正好是一半對一半。

師：兩個面朝上的次數相等，正反面朝上的次數剛好一半對一半，就是出現正反面朝上的可能性相等，所以是公平的。

［案例透析］

這一課，筆者上過，也聽過多節，出現這一小概率事件還是第一次。面對這一案例，教師都感到困惑多多，深感概率知識儲備不足，為此我們開展了專題研討活動。現就研討中的收獲與思考，談點認識。

思考一：學生喝彩什么？——喝彩試驗既快又對地驗證了自己的猜想。

《數學課程標準解讀》一書中指出：“統計與概率”中推理（也稱統計推理）屬于合情推理的范疇，是一種可能性的推理，與其他推理不同的是，由統計推理得到的結論無法用邏輯的方法去檢驗。那何必進行試驗呢？答案是肯定的。因為隨機現象的隨機性和統計規律性是不可分割的，且后者需從大量數據中抽象出來。這些單憑口述、思考是無法讓人接受的。因此，教材創設球賽的開球情境，實際上是讓學生通過試驗，在親歷活動中體會、理解隨機現象的特點，即“單一事件的不確定性和不可預見性，事件在經歷大量重復試驗中表現出規律性”，并不是用通過游戲的結果來猜測游戲的規則是否公平。讓學生用概率的眼光去觀察世界，用概率的頭腦去思考問題，不僅僅是以確定的，一成不變的思維方式去理解事物，這才是小學階段學習概率的目的。但在實際教學中，由于知識儲備的不足并缺乏對隨機試驗的深切體驗和深刻認識，一些教師往往會在潛意識中對試驗結果有一些錯誤的希望。如在教學“游戲規則的公平性”時，試圖用概率的統計意義（即用頻率估計概率的方法），引導學生用“猜想——驗證”的方式來讓學生理解等可能性，或證明設計的游戲規則是否公平，這是不妥當的。

學生的喝彩來自無知，但教師不能無為。正是教師的“無為”給了學生一個錯誤的概率觀，那就是使學生誤認為可能性相同就是次數完全一樣。對于這些隨機試驗的結果，教師要注意根據學生的認知水平和教學需要，結合試驗中單次試驗結果的隨機性和大量重復試驗表現出的規律性對學生進行必要的引導和說明，使學生在體驗中初步感悟統計概率是偶然性與必然性的統一。

思考二：聽課者詫異源自何方？——詫異源自執教者統計概率知識的缺失。

不少聽課教師認為，執教者不應去掉以上環節，要讓學生經歷頻率逼近■的過程，對這一小概率事件的出現可以給予肯定，但必須予以解釋。也有教師施計：可以退一步，去掉某一組的數據重新統計，就能看出正面朝上的次數和反面朝上的次數將越來越接近，也就不會讓學生誤認為可能性相同就是次數完全一樣。以上觀點都是認為“隨著試驗的次數不斷增多，硬幣落地后正面朝上的次數和反面朝上的次數將越來越接近”。

也難怪教師會有這種認識，人教版的教材培訓和蘇教版的教參中提供的說法就是如此（受小學生認知水平的限制，這種說法是學生比較容易理解的），從嚴格意義上講這是不科學的說法。根據統計數學家試驗數據的相差數就會發現，隨著次數的增加，其相差數趨于越來越大，而不是越來越接近。

■

從相差數來看，試驗結果不可能呈現出“拋硬幣的次數越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數越來越接近”。所以我們希望學生得到的數據能直觀地表現為“拋硬幣的次數越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數越來越接近”是不可能實現的。只能說數學家的千萬次試驗，出現正面朝上的頻率都非常接近，而且隨著試驗次數的不斷增多，頻率將穩定于這個常數。

為什么呢？因為一個隨機事件的發生既有隨機性（對單次試驗來說），又存在統計規律性（對大量重復試驗來說），是偶然性與必然性的統一。隨機事件的統計規律表現在：隨機事件的頻率（即事件發生的次數（頻數）與試驗總次數的比值）具有穩定性，總是在某個常數附近擺動，這個常數就叫做隨機事件的概率。概率的這種統計定義隱含著另一層意義，常常被大家忽略，那就是：我們沒有理由認為取Ｘ＋１次試驗結果的頻率會比Ｘ次試驗結果的頻率更逼近事件發生的頻率。在課堂上引入隨機試驗，既不是讓學生得出次數相等的結果，也不是要驗證、證明規則的公平性，更不是要利用試驗得到概率的估計值，而是希望學生在進行隨機試驗和收集數據的過程中，進一步體會隨機的思想，感受、領悟等可能性。

思考三：執教者“從容”出于什么？——從容出于無奈。

從以上分析看出，執教者的“從容”有其合理的一面，但這種“從容”更多的是出于無奈。結合上文所述的隨機試驗的特點，筆者認為出現上述現象的原因，是因為教師忽略了重要的一點，就是在隨機試驗中，用試驗的方法得出的頻率只是概率的估計值，要想得到近似程度較高的概率估計值，通常需要大量的試驗，在有限的課堂時間中，不容易做到。正因如此，部分教師認為，“理想化”的結果出現時，教師不必震驚，“等可能性”可以從概率的古典定義的角度去認識——因為拋的結果只有兩種可能，且兩種結果的可能性相等，所以該隨機事件的概率是■，卻不能通過試驗、游戲來驗證、證明。試驗、游戲則可以讓學生初步感悟統計概率是偶然性與必然性的統一，從而培養學生的隨機思維。

通過討論，我們的共識是“等可能性”的教學可以用“猜想——試驗——分析——推斷”的模式來進行，試驗的過程可以提到課前進行，為課堂統計數據節省大量時間，并用制條形統計圖的辦法來分析推斷比較合適。有了這些基本的認識，我們的教師就不會因自己的缺失而無奈，我們的學生也不會因教師的無奈而缺失。

（責編金鈴）

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［背景描述］

在“同課異構”校本研修活動中，一位教師在上人教版五年級上冊“等可能性”時，意想不到地出現了“理想化”的結果，就是在統計全班學生拋硬幣的結果時，出現了正、反面朝上的次數正好相等的情況。對這一突如其來的“理想化”結果，學生喝彩，執教者在震驚之后倒顯“從容”，馬上改變教學預案，刪除了展示數學家們實驗結果的環節，直接總結拋硬幣的公平性。對執教者的處理，聽課教師均為之詫異。

［片段回放］

一、……

二、動手實驗，獲取數據

１．四人小組試驗

師：這種用拋硬幣的方法決定誰先開球，到底公不公平呢？下面我們就四人一小組，一起來做一個實驗。請同學們按下列試驗要求，每人親自動手拋一拋硬幣，并填好記錄單。

試驗要求：

（1）每人拋硬幣１０次，拋硬幣時用力均勻，高度適中；

（2）以小組為單位分別統計相關數據，填入試驗記錄單；

（3）小組成員分工協作，看哪個小組合作得最好，完成得最快。

（各小組試驗填表，教師巡視指導）

２．四大組分別匯總數據

師：請各小組將填好的記錄單交給各大組的組長，由組長匯總并填好大組匯總表。

（各大組匯總填表，教師巡視指導）

３．全班匯總數據

各組長匯報，教師填寫匯總表如下：

■

三、分析數據，初步體驗

師：今天真巧，出現正、反面朝上的次數正好相等，從以上結果你能判斷這樣開球公平嗎？為什么？

生１：公平，因為出現兩個面朝上的次數相等。

生２：是公平的，因為正好是一半對一半。

師：兩個面朝上的次數相等，正反面朝上的次數剛好一半對一半，就是出現正反面朝上的可能性相等，所以是公平的。

［案例透析］

這一課，筆者上過，也聽過多節，出現這一小概率事件還是第一次。面對這一案例，教師都感到困惑多多，深感概率知識儲備不足，為此我們開展了專題研討活動。現就研討中的收獲與思考，談點認識。

思考一：學生喝彩什么？——喝彩試驗既快又對地驗證了自己的猜想。

《數學課程標準解讀》一書中指出：“統計與概率”中推理（也稱統計推理）屬于合情推理的范疇，是一種可能性的推理，與其他推理不同的是，由統計推理得到的結論無法用邏輯的方法去檢驗。那何必進行試驗呢？答案是肯定的。因為隨機現象的隨機性和統計規律性是不可分割的，且后者需從大量數據中抽象出來。這些單憑口述、思考是無法讓人接受的。因此，教材創設球賽的開球情境，實際上是讓學生通過試驗，在親歷活動中體會、理解隨機現象的特點，即“單一事件的不確定性和不可預見性，事件在經歷大量重復試驗中表現出規律性”，并不是用通過游戲的結果來猜測游戲的規則是否公平。讓學生用概率的眼光去觀察世界，用概率的頭腦去思考問題，不僅僅是以確定的，一成不變的思維方式去理解事物，這才是小學階段學習概率的目的。但在實際教學中，由于知識儲備的不足并缺乏對隨機試驗的深切體驗和深刻認識，一些教師往往會在潛意識中對試驗結果有一些錯誤的希望。如在教學“游戲規則的公平性”時，試圖用概率的統計意義（即用頻率估計概率的方法），引導學生用“猜想——驗證”的方式來讓學生理解等可能性，或證明設計的游戲規則是否公平，這是不妥當的。

學生的喝彩來自無知，但教師不能無為。正是教師的“無為”給了學生一個錯誤的概率觀，那就是使學生誤認為可能性相同就是次數完全一樣。對于這些隨機試驗的結果，教師要注意根據學生的認知水平和教學需要，結合試驗中單次試驗結果的隨機性和大量重復試驗表現出的規律性對學生進行必要的引導和說明，使學生在體驗中初步感悟統計概率是偶然性與必然性的統一。

思考二：聽課者詫異源自何方？——詫異源自執教者統計概率知識的缺失。

不少聽課教師認為，執教者不應去掉以上環節，要讓學生經歷頻率逼近■的過程，對這一小概率事件的出現可以給予肯定，但必須予以解釋。也有教師施計：可以退一步，去掉某一組的數據重新統計，就能看出正面朝上的次數和反面朝上的次數將越來越接近，也就不會讓學生誤認為可能性相同就是次數完全一樣。以上觀點都是認為“隨著試驗的次數不斷增多，硬幣落地后正面朝上的次數和反面朝上的次數將越來越接近”。

也難怪教師會有這種認識，人教版的教材培訓和蘇教版的教參中提供的說法就是如此（受小學生認知水平的限制，這種說法是學生比較容易理解的），從嚴格意義上講這是不科學的說法。根據統計數學家試驗數據的相差數就會發現，隨著次數的增加，其相差數趨于越來越大，而不是越來越接近。

■

從相差數來看，試驗結果不可能呈現出“拋硬幣的次數越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數越來越接近”。所以我們希望學生得到的數據能直觀地表現為“拋硬幣的次數越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數越來越接近”是不可能實現的。只能說數學家的千萬次試驗，出現正面朝上的頻率都非常接近，而且隨著試驗次數的不斷增多，頻率將穩定于這個常數。

為什么呢？因為一個隨機事件的發生既有隨機性（對單次試驗來說），又存在統計規律性（對大量重復試驗來說），是偶然性與必然性的統一。隨機事件的統計規律表現在：隨機事件的頻率（即事件發生的次數（頻數）與試驗總次數的比值）具有穩定性，總是在某個常數附近擺動，這個常數就叫做隨機事件的概率。概率的這種統計定義隱含著另一層意義，常常被大家忽略，那就是：我們沒有理由認為取Ｘ＋１次試驗結果的頻率會比Ｘ次試驗結果的頻率更逼近事件發生的頻率。在課堂上引入隨機試驗，既不是讓學生得出次數相等的結果，也不是要驗證、證明規則的公平性，更不是要利用試驗得到概率的估計值，而是希望學生在進行隨機試驗和收集數據的過程中，進一步體會隨機的思想，感受、領悟等可能性。

思考三：執教者“從容”出于什么？——從容出于無奈。

從以上分析看出，執教者的“從容”有其合理的一面，但這種“從容”更多的是出于無奈。結合上文所述的隨機試驗的特點，筆者認為出現上述現象的原因，是因為教師忽略了重要的一點，就是在隨機試驗中，用試驗的方法得出的頻率只是概率的估計值，要想得到近似程度較高的概率估計值，通常需要大量的試驗，在有限的課堂時間中，不容易做到。正因如此，部分教師認為，“理想化”的結果出現時，教師不必震驚，“等可能性”可以從概率的古典定義的角度去認識——因為拋的結果只有兩種可能，且兩種結果的可能性相等，所以該隨機事件的概率是■，卻不能通過試驗、游戲來驗證、證明。試驗、游戲則可以讓學生初步感悟統計概率是偶然性與必然性的統一，從而培養學生的隨機思維。

通過討論，我們的共識是“等可能性”的教學可以用“猜想——試驗——分析——推斷”的模式來進行，試驗的過程可以提到課前進行，為課堂統計數據節省大量時間，并用制條形統計圖的辦法來分析推斷比較合適。有了這些基本的認識，我們的教師就不會因自己的缺失而無奈，我們的學生也不會因教師的無奈而缺失。

（責編金鈴）

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