網絡化控制系統魯棒H∞保性能控制研究

劉 于 之, 李 木 國, 杜 海

( 1.大連理工大學 電子信息與電氣工程學部, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024 )

?

網絡化控制系統魯棒H∞保性能控制研究

劉 于 之1,2, 李 木 國*2, 杜 海2

( 1.大連理工大學 電子信息與電氣工程學部, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024 )

針對一類含有不確定參數被控對象的網絡化控制系統(NCS),研究了網絡中存在時延與丟包情況下的魯棒H∞保性能控制問題．通過Lyapunov-Krasovskii泛函和Jensen不等式,推導出閉環NCS魯棒漸近穩定的充分條件．與已有文獻相比,該充分條件可以轉換為具有較少決策變量的LMI形式．給出了NCS魯棒H∞保性能控制律的優化設計算法．最后通過數值實例驗證了算法的有效性．

網絡化控制系統；H∞保性能控制；線性矩陣不等式；時延；數據包丟失

0 引 言

網絡化控制系統(NCS)中,不同組件之間通過共享通信介質進行信息交換,因而使系統具有布線簡單、結構靈活、易于維護等眾多優點,但網絡的引入同時也帶來諸如網絡誘導延時、數據丟包、抖動以及多包傳輸等問題,導致控制系統的性能下降甚至不穩定,給網絡控制系統的分析與設計帶來了嚴重的困難和挑戰[1]．

網絡化控制系統的研究近十幾年來已經得到眾多國內外學者的關注．文獻[2-5]中分析了 NCS的穩定性；文獻[6-9]考慮了外部干擾情況下,如何設計H∞控制器的問題；文獻[10-12]給出了NCS保性能控制器實現的充分條件．注意到以上文獻中,NCS均被建模成具有時變時滯的連續時間系統,通過時滯系統相關理論得到系統穩定的充分條件,這些充分條件通常可轉換為線性矩陣不等式(LMI)的形式．此類方法的研究重點在于如何選取合適的Lyapunov-Krasovskii泛函,以及怎樣處理泛函求導過程中出現的交叉項,從而得到保守性更小的充分條件．文獻[2]首先利用該方法對NCS建模,將網絡誘導時延和數據丟包的影響統一建模成有界分段連續的時變輸入時滯,并得到了NCS的最大允許傳輸延遲(MADB)．文獻[9]采用與文獻[2]中相同的Lyapunov-Krasovskii泛函,在求導過程中對交叉項作了更緊的界定,并利用自由權矩陣方法得到保守性更小的結果．然而以上文獻均未考慮時變時滯下限的影響．文獻[7]中構造了新的Lyapunov-Krasovskii泛函,由于構造的泛函中利用時滯下限的信息,降低了保守性．文獻[3,6,8,12]通過構造不同Lyapunov-Krasovskii泛函,在不同程度上獲得了比文獻[7]保守性更小的結果．注意到以上文獻中,為減小保守性,需要構造更為復雜的Lyapunov-Krasovskii泛函,或是引入額外的矩陣變量(自由權矩陣),因此導致了所得LMI決策變量的增加．本文在文獻[3,6,8,12]的基礎上,構造一個形式更為簡潔的Lyapunov- Krasovskii泛函,通過Jensen不等式獲得具有較少決策變量的LMI,進一步給出NCS的H∞保性能控制器存在的充分條件,并利用線性錐補算法實現控制器的優化求解．最后通過數值算例仿真驗證該方法的有效性．

1 問題描述

考慮以下線性不確定系統:

x(t0)=x0；

z(t)=Cx(t)+Du(t)

(1)

式中:x(t)∈Rn,是系統的狀態向量；u(t)∈Rm,是控制輸入；w(t)∈L2[0,+∞),是外部擾動輸入；z(t)∈Rq,是控制輸出；x(t0)∈Rn,為系統初始狀態；A、B、C、D為適維常數矩陣；ΔA(t)和ΔB(t)是反映系統模型中參數不確定性的未知矩陣,且具有以下形式:

(ΔA(t) ΔB(t))=MF(t)(EaEb)

(2)

其中F(t)是一個滿足

FT(t)F(t)≤I

(3)

的不確定矩陣；M、Ea和Eb是已知的常數矩陣,它們反映了不確定參數的結構信息．

給定對稱正定矩陣Q和R,定義性能函數

(4)

定義1對于不確定系統(1),若存在控制律u*(t),標量γ>0,J*>0,使得對所有允許的參數不確定性,閉環系統(1)滿足如下設計指標:

(1)當w(t)≡0時,系統漸近穩定；

(2)當w(t)≡0時,系統對應的性能指標(4)具有上界J*,滿足J≤J*；

(3)在零初始條件下(x(t0)=0),干擾輸入w(t)和控制輸出z(t)滿足H∞范數約束條件:

則稱u*(t)為系統(1)的一個H∞保性能控制律．

2 網絡化控制系統建模

建立被控對象由式(1)描述的NCS模型,首先可做如下合理假設:

(1)網絡數據傳輸采用單包傳送,存在有界時延與數據丟包,控制器采用線性狀態反饋控制律；

(2)傳感器節點為時間驅動,采樣周期為h；

(3)控制器節點和執行器節點采用事件驅動,當沒有新數據到來時輸出維持不變；

(4)系統完全可控,且所有狀態可測．

注1假設(3)中包含了控制器與執行器均采用零階保持器這一條件．

由以上假設,當考慮網絡延時與丟包時,可建立如下控制系統模型[10]:

z(t)=Cx(t)+Du(t);t∈[ikh+τik,ik+1h+τik+1)

u(t+)=Kx(t-τik);t∈{ikh+τik,k=1,2,3,…}

(5)

定義τ(t)=t-ikh,t∈[ikh+τik,ik+1h+τik+1),k=1,2,3,…．則系統(5)可描述為

(6)

注2在式(5)中,{i1,i2,i3,…}為{1,2,3,…}的一個子集．若ik+1=ik,說明網絡傳輸過程中沒有丟包；若ik+1>ik,說明網絡傳輸過程中出現數據包丟失現象,且連續丟包個數為ik+1-ik-1；若ik+1ik．

為定理證明需要,給出如下引理:

引理1(Jensen不等式) 設向量函數x(t)在[a,b]上具有連續一階導數,則對于任意給定正定對稱矩陣W,有以下不等式成立:

引理2設Y、M、F、E為適當維數的實矩陣,其中F(t)滿足FT(t)F(t)≤I,Y為對稱矩陣,則

Y+MF(t)E+ETFT(t)MT<0

當且僅當存在一個標量ε>0,使得

Y+ε-1ETE+εMMT<0

3 主要結果

(7)

其中

Σ1=diag{-Q-1,-R-1},

Σ3=diag{ -ε1I,-ε2I,-ε3I},

(8)

證明構造Lyapunov-Krasovskii泛函如下:

V(t)=V0(t)+V1(t)+V2(t)+V3(t)

(9)

其中

注意到τm≤τ(t)≤τM,因此由引理1可得以下不等式成立:

(10)

(11)

(12)

其中

ξ1(t)=(xT(t-τ(t)) xT(t-τM))T

ξ2(t)=(xT(t) xT(t-τ(t)))T

ξ3(t)=(xT(t-τm) xT(t-τ(t)))T

在t∈[ikh+τik,ik+1h+τik+1)上,對V(t)沿系統(6)的軌線求導并結合式(10)～(12),得

(13)

其中

ξ(t)=(xT(t) xT(t-τm) xT(t-τ(t)) xT(t-τM))T

Π22=-W2/δ, Π23=W2/δ,

Π34=W1/δ+W2/δ,

Π44=-Z-W1/δ-W2/δ,

Θ=τMW1+δW2,δ=τM-τm

若Ψ<0,則

(14)

利用Schur補定理和引理2可以得到,Ψ<0等價于

(15)

其中

Σ3=diag{-ε1I, -ε2I, -ε3I},

Γ11=(I000), Γ12=(00K0),

Γ2=(A0BK0), Γ3=(Ea0EbK0)

推論1對于系統(6),給定矩陣K,標量τm、τM滿足0≤τm<τM,若存在對稱正定矩陣P、Z、W1、W2,使得矩陣不等式

(16)

成立,則系統(6)魯棒漸近穩定．

(17)

成立,其中

證明構造Lyapunov-Krasovskii泛函(8),由定理1的證明過程可知

(18)

其中

利用與定理1中證明類似的方法,可以證明若式(17)成立,則Λ<0成立．由此可得

(19)

(20)

推論2對于系統(6),給定矩陣K,標量γ>0,τm、τM滿足0≤τm<τM,若存在對稱正定矩陣P、Z、W1、W2,使得Λ<0成立,則系統是魯棒漸近穩定的,且滿足H∞擾動衰減指標γ．

(21)

成立,其中

證明略．

；i=1,2

(22)

根據Schur補定理,式(22)等價于

；i=1,2

(23)

(24)

引入新的變量Pn、W1n、W2n、L1n、L2n,式(24)可改寫為

(25)

(26)

為進一步獲取滿足最小保性能值的控制器增益,可考慮構造以下優化問題:

minJ*

(27)

其中J*定義于式(8)．根據矩陣跡的性質,可以得到

(28)

其中

假設存在對稱矩陣T、X1、X2、F滿足

(29)

引入新的變量Zn使得

(30)

則根據Schur補定理,式(29)等價于

(31)

由式(28)、(29)可知,存在常數J0使得

J*≤tr(Φ0T)+tr(Φ1F)+ tr(Φ2X1)+tr(Φ3X2)≤J0

(32)

由此可以將定理3中的條件轉換成如下非線性優化問題的求解:

(33)

其中

若上述優化問題的解為6n,即

則式(33)中的條件有解．根據線性錐補原理(CCL),可以得到次優魯棒H∞保性能控制器求解算法如下:

算法1

步驟1設k=0, 選擇一個充分大的初始值J0>0,使得式(33)中的LMIs有可行解．

步驟2設k=1,尋找滿足式(33)中LMIs的可行解:

步驟3求解下面的優化問題

設

步驟4若步驟3中所求解滿足式(22)、(29), 則減小J0然后返回步驟2； 若所求解不滿足式(22)、(29)且k

注4在數值上獲取式(33)的最小解6n非常困難, 因此選擇式(22)、(29)作為算法終止條件．

注5算法1可以求出給定H∞干擾抑制水平γ條件下,系統的優化保性能指標J0．通過求解優化問題(33),還可以得到在給定條件下系統對外界干擾的最小抑制能力γmin．然而由于CCL算法不能保證總是找到全局最優解,通過算法1只能獲得次優解．

注6定理1和定理2中控制器的求解均可采用類似算法1的步驟實現．

4 算 例

例1考慮NCS中如下被控對象:

(34)

控制器增益K=(-3.75 -11.5). 設η=0, 通過求解推論1中的矩陣不等式, 可得τm=0時,最大允許傳輸延遲τM=1.008 1,所得結果與文獻[3,6,8]中相同,但是推論1中LMI所用決策變量個數為2(n2+n),而文獻[3,6,8]中LMI所用決策變量個數分別為2.5(n2+n)、3(n2+n)、9.5(n2+n)．進一步考慮系統中存在外部干擾的情形,式(34)可表示為

z(t)=(0 1)x(t)+0.1u(t)

(35)

設τm=0,τM=0.869 5,通過求解推論2中的矩陣不等式,可得最小H∞抑制指標γmin=1.000 5,其結果與文獻[6]中相同,而略大于文獻[8]中的結果γmin=1.00．

例2考慮NCS中如下被控對象:

(36)

設Q=diag{0.05,0.05},R=0.1,τm=0.1,τM=1.2,利用算法1可得次優保性能指標J0=0.157 6,對應的K=(-0.713 8 -2.972 8),而文獻[12]中J0=3.527 9,K=(-0.656 8 -2.411 9)．由此可見,通過算法1能得到比文獻[12]中保守性更小的結果．

例3考慮系統(35)為不確定系統的情形,其中不確定參數

系統初始狀態為x1(t)=0.3et+1,x2(t)=0,t∈[-0.8,0]．設Q=diag{0.1,0.1},R=0.5,τm=0.1,τM=0.8,γ=1,根據算法1可得H∞次優保性能指標J0=1.187 1,對應的K=(-1.023 3 -6.307 7)．

5 結 語

針對一類含有不確定參數被控對象的網絡控制系統(NCS),研究了網絡中同時存在延時與丟包情況下的魯棒H∞保性能控制問題．構造了一個形式更為簡潔的Lyapunov-Krasovskii泛函,通過Jensen不等式得到系統魯棒漸近穩定的充分條件．分別給出了NCS保性能控制器、H∞控制器以及H∞保性能控制器存在的充分條件,并利用線性錐補算法實現了H∞保性能控制器的求解．本文方法對于NCS穩定性分析及H∞控制問題,在不影響保守性的前提下,可以得到具有較少決策變量的LMI；對于NCS保性能控制問題,能獲得比已有文獻保守性更小的結果．最后通過數值算例驗證了本文方法的有效性

[1]Hespanha J P, Naghshtabrizi P, XU Yong-gang. A survey of recent results in networked control systems [J]. Proceedings of the IEEE, 2007,95(1):138-162.

[2]YUE Deng, HAN Qing-long, PENG Chen. State feedback controller design of networked control systems [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems II-Express Briefs, 2004,51(11):640-644.

[3]LI Bing, WU Jun-feng. Stability criteria of uncertain networked control systems [C] //2012International Conference on Measurement, Information and Control. Piscataway:IEEE, 2012:769-772.

[4]SUN Jian-dong, JIANG Jing-ping. Stability of uncertain networked control systems [J]. Procedia Engineering, 2011,24:551-557.

[5]ZHU Xun-lin, YANG Guang-hong. New results on stability analysis of networked control systems [C] //2008American Control Conference. Seattle:IEEE, 2008:3792-3797.

[6]JIANG X F, HAN Q L, LIU S,etal. A newH-infinity stabilization criterion for networked control systems [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2008,53(4):1025-1032.

[7]YUE Deng, HAN Qing-long, Lam J. Network-based robustH∞control of systems with uncertainty [J]. Automatica, 2005,41(6):999-1007.

[8]ZHU Xun-lin, YANG Guang-hong. Network-based robustH∞control of continuous-time systems with uncertainty [J]. Asian Journal of Control, 2009,11(1):21-30.

[9]郭亞鋒,李少遠. 網絡控制系統的H∞狀態反饋控制器設計[J]. 控制理論與應用, 2008,25(3):414-420.

GUO Ya-feng, LI Shao-yuan.H∞state-feedback controller design for networked control systems [J]. Control Theory and Application, 2008,25(3):414-420. (in Chinese)

[10]PENG Chen. Networked, guaranteed cost control for a class of industrial processes with state delay [J]. Asia-Pacific Journal of Chemical Engineering, 2007,2(6):650-658.

[11]XIE Jin-song, FAN Bing-quan, Lee Young-sam,etal. Guaranteed cost controller design of networked control systems with state delay [J]. Acta Automatica Sinica, 2007,33(2):170-174.

[12]ZHOU Gu, WANG Dao-bo, CHEN Peng,etal. Guaranteed cost control for networked control system with interval time-varying delay [C] //21st Chinese Control and Decision Conference. Guilin:IEEE, 2009:538-543.

ResearchonrobustH∞guaranteedcostcontrolfornetworkedcontrolsystems

LIU Yu-zhi1,2, LI Mu-guo*2, DU Hai2

( 1.Faculty of Electronic Information and Electrical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

RobustH∞guaranteed cost control problem for a class of uncertain networked control systems (NCS) with network-induced delay and packet dropout is investigated. A sufficient condition for robust asymptotic stability of the closed-loop NCS is derived by using Lyapunov-Krasovskii functional and Jensen′s inequality, which can be expressed as a linear matrix inequality (LMI) with fewer decision variables than those in existing literatures．An algorithm for optimization design of the robustH∞guaranteed cost control law is also presented. Numerical examples are given finally to illustrate the effectiveness of the algorithm.

networked control systems;H∞guaranteed cost control; linear matrix inequality (LMI); time delay; data packet dropout

1000-8608(2014)01-0131-08

2013-01-12；

: 2013-11-28．

國家自然科學基金資助項目(61202253).

劉于之(1986-),男,博士生,E-mail:liuyuzhi_1@163.com；李木國*(1953-),男,教授,博士生導師,E-mail:lmguo@dlut.edu.cn.

TP273

：A

10.7511/dllgxb201401020