概率中“等量代換”方法的運用

李志紅　徐彩剛

高中學生在學習概率的時候常對“研究的個體有無區別”，以及“取出個體時講不講順序”感到困惑. 本文給出了一種較好的處理思路.

概率是高中數學中比較難的部分，對學生的分析能力，尤其是分類、分步安排事情的能力要求很高. 可以說概率學好了，那么學生的分析能力就能上一個新臺階.

高中階段的常見的概率問題之一是古典概型——即等可能性事件發生的概率. 這類題型的求解過程中有兩個重要部分：求一次試驗中所有可能的結果數目n，以及求某個事件A包含的結果數目m，很多都要涉及排列、組合知識.

因為排列與組合的定義里都強調“不同元素”，所以在求m，n的過程中常常會遇到這樣一個問題：我們要研究的個體是有區別的還是無區別的？如果有區別，那么在求m，n時我們才可以把它當作排列與組合的問題來處理，否則就不能夠這樣做.

因此，個體間有無區別是我們解題之前必須判斷的一個重要問題.

例1 一個袋中裝有8個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同. 現從袋中任意摸出5個球，用X表示摸出紅球的個數. 求P（X=3）.

題目中明確指出“這些球除顏色外完全相同”，但是以上解答過程中用了組合，可以看出答案是把這些球當作有區別來計算的.

為什么這樣？有什么道理在里面么？

現在如果要算出P（B）的話該怎么算呢？雖然同色乒乓球之間已經不再能區別開，但我們可以把他們當成有區別來計算，也就是只要求出P（A），問題就解決了.

這里的分析過程中我們就運用了等量代換的方法.

那么一般地，如果遇到一個題目，不知道個體間有沒有區別，那么我們就這樣處理：

第一步，假設題目中的個體都是有區別的，判斷一下題目結果會不會改變.

第二步，如果結果不變，那么就把他們當成有區別來計算就可以了.

另外，概率計算時有些題目中個體抽取講不講順序也會給人帶來困擾. 特別是有些題目沒說清楚時，有些人會覺得題目表達有歧義沒法做，或者費盡心思琢磨每一個文字以從中找到講順序或不講順序的確切證據. 卻不知，有部分題目講不講順序并不影響結果，沒必要區分. 兩者是等價的！

例2 有五個紙團里面分別寫了2，3，4，5，6，任抽取兩張，求其和為奇數的概率.

“任抽取兩張”，講順序嗎？題目沒說，但經過分析我們可以看出講不講順序都行.

這樣設想：讓A，B兩學生一起來做實驗，A學生按順序取出兩個紙團并求出數字之和，然后將兩個紙團打亂順序交給B學生，再次求出數字之和.

這類可有可無的順序問題，在實際求m，n時要么都講順序，要么都不講順序，不求“明察秋毫”，但求“標準統一”.

從以上的分析可以看出，有些概率問題中個體有無區別并不影響結果，抽取講不講順序也不影響結果，在兩者等價的前提下可以“等量代換”.endprint

高中學生在學習概率的時候常對“研究的個體有無區別”，以及“取出個體時講不講順序”感到困惑. 本文給出了一種較好的處理思路.

概率是高中數學中比較難的部分，對學生的分析能力，尤其是分類、分步安排事情的能力要求很高. 可以說概率學好了，那么學生的分析能力就能上一個新臺階.

高中階段的常見的概率問題之一是古典概型——即等可能性事件發生的概率. 這類題型的求解過程中有兩個重要部分：求一次試驗中所有可能的結果數目n，以及求某個事件A包含的結果數目m，很多都要涉及排列、組合知識.

因為排列與組合的定義里都強調“不同元素”，所以在求m，n的過程中常常會遇到這樣一個問題：我們要研究的個體是有區別的還是無區別的？如果有區別，那么在求m，n時我們才可以把它當作排列與組合的問題來處理，否則就不能夠這樣做.

因此，個體間有無區別是我們解題之前必須判斷的一個重要問題.

例1 一個袋中裝有8個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同. 現從袋中任意摸出5個球，用X表示摸出紅球的個數. 求P（X=3）.

題目中明確指出“這些球除顏色外完全相同”，但是以上解答過程中用了組合，可以看出答案是把這些球當作有區別來計算的.

為什么這樣？有什么道理在里面么？

現在如果要算出P（B）的話該怎么算呢？雖然同色乒乓球之間已經不再能區別開，但我們可以把他們當成有區別來計算，也就是只要求出P（A），問題就解決了.

這里的分析過程中我們就運用了等量代換的方法.

那么一般地，如果遇到一個題目，不知道個體間有沒有區別，那么我們就這樣處理：

第一步，假設題目中的個體都是有區別的，判斷一下題目結果會不會改變.

第二步，如果結果不變，那么就把他們當成有區別來計算就可以了.

另外，概率計算時有些題目中個體抽取講不講順序也會給人帶來困擾. 特別是有些題目沒說清楚時，有些人會覺得題目表達有歧義沒法做，或者費盡心思琢磨每一個文字以從中找到講順序或不講順序的確切證據. 卻不知，有部分題目講不講順序并不影響結果，沒必要區分. 兩者是等價的！

例2 有五個紙團里面分別寫了2，3，4，5，6，任抽取兩張，求其和為奇數的概率.

“任抽取兩張”，講順序嗎？題目沒說，但經過分析我們可以看出講不講順序都行.

這樣設想：讓A，B兩學生一起來做實驗，A學生按順序取出兩個紙團并求出數字之和，然后將兩個紙團打亂順序交給B學生，再次求出數字之和.

這類可有可無的順序問題，在實際求m，n時要么都講順序，要么都不講順序，不求“明察秋毫”，但求“標準統一”.

從以上的分析可以看出，有些概率問題中個體有無區別并不影響結果，抽取講不講順序也不影響結果，在兩者等價的前提下可以“等量代換”.endprint

高中學生在學習概率的時候常對“研究的個體有無區別”，以及“取出個體時講不講順序”感到困惑. 本文給出了一種較好的處理思路.

概率是高中數學中比較難的部分，對學生的分析能力，尤其是分類、分步安排事情的能力要求很高. 可以說概率學好了，那么學生的分析能力就能上一個新臺階.

高中階段的常見的概率問題之一是古典概型——即等可能性事件發生的概率. 這類題型的求解過程中有兩個重要部分：求一次試驗中所有可能的結果數目n，以及求某個事件A包含的結果數目m，很多都要涉及排列、組合知識.

因為排列與組合的定義里都強調“不同元素”，所以在求m，n的過程中常常會遇到這樣一個問題：我們要研究的個體是有區別的還是無區別的？如果有區別，那么在求m，n時我們才可以把它當作排列與組合的問題來處理，否則就不能夠這樣做.

因此，個體間有無區別是我們解題之前必須判斷的一個重要問題.

例1 一個袋中裝有8個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同. 現從袋中任意摸出5個球，用X表示摸出紅球的個數. 求P（X=3）.

題目中明確指出“這些球除顏色外完全相同”，但是以上解答過程中用了組合，可以看出答案是把這些球當作有區別來計算的.

為什么這樣？有什么道理在里面么？

現在如果要算出P（B）的話該怎么算呢？雖然同色乒乓球之間已經不再能區別開，但我們可以把他們當成有區別來計算，也就是只要求出P（A），問題就解決了.

這里的分析過程中我們就運用了等量代換的方法.

那么一般地，如果遇到一個題目，不知道個體間有沒有區別，那么我們就這樣處理：

第一步，假設題目中的個體都是有區別的，判斷一下題目結果會不會改變.

第二步，如果結果不變，那么就把他們當成有區別來計算就可以了.

另外，概率計算時有些題目中個體抽取講不講順序也會給人帶來困擾. 特別是有些題目沒說清楚時，有些人會覺得題目表達有歧義沒法做，或者費盡心思琢磨每一個文字以從中找到講順序或不講順序的確切證據. 卻不知，有部分題目講不講順序并不影響結果，沒必要區分. 兩者是等價的！

例2 有五個紙團里面分別寫了2，3，4，5，6，任抽取兩張，求其和為奇數的概率.

“任抽取兩張”，講順序嗎？題目沒說，但經過分析我們可以看出講不講順序都行.

這樣設想：讓A，B兩學生一起來做實驗，A學生按順序取出兩個紙團并求出數字之和，然后將兩個紙團打亂順序交給B學生，再次求出數字之和.

這類可有可無的順序問題，在實際求m，n時要么都講順序，要么都不講順序，不求“明察秋毫”，但求“標準統一”.

從以上的分析可以看出，有些概率問題中個體有無區別并不影響結果，抽取講不講順序也不影響結果，在兩者等價的前提下可以“等量代換”.endprint