數值級數法求解一類時滯微分方程

邱 寧

(青島理工大學琴島學院， 山東 青島 266106)

數值級數法求解一類時滯微分方程

邱 寧

(青島理工大學琴島學院， 山東 青島 266106)

采用級數形式給出半離散差分格式在網格節點處的數值解以及計算級數中的每一項遞推公式。離散后差分格式收斂性、穩定性分析表明該格式收斂且穩定，數值算例驗證該方法有效。

時滯微分方程; 數值級數法; 收斂性; 穩定性

0 引 言

延遲微分方程是描述眾多物理現象的一類方程之一，目前對延遲微分方程解析解的性質研究的文獻較多[1-8]，而對數值解的研究較少。文中利用數值級數法求解一類初邊值時滯微分方程。

(1)

(2)

對vk(xm,tn)給出遞推公式進行精確計算，在數值算例中只需取級數前8項就可以達到很高的精度。

1 數值級數法格式的構造

xm=mh

tn=nΔt

將式(1)在點(xm,t)處半離散得到

(3)

在區間[tn,t],t∈(tn,tn+1]上對式(3)積分得到

(4)

(5)

由式(5)給出遞推公式:

(6)

當m=0時，

(7)

當m=M時，

(8)

當m=1,2,…,M-1時，將t=tn,t=tn+1分別代入式(6)，利用梯形積分公式得

(9)

和

(10)

則可以得到

(11)

2 收斂性證明

(12)

寫成矩陣方程的形式為：

(13)

其中

由文獻[4]知式(11)收斂。

3 穩定性證明

定理2 數值級數格式(10)無條件收斂。

證明 在等式

(14)

(15)

根據式(11)進一步整理得

(16)

相應得出誤差關系式：

(17)

寫成矩陣方程：

(18)

進一步寫成

(19)

其中C=tridiag(r,-r)。

由文獻[4]知成立誤差估計

(20)

其中,ε0=(1+2k1τ)‖E0‖2,穩定性證畢。

4 數值算例

精確解為:

u(x,t)=x2+t2

在數值計算時取Δt=0.005,取級數前8項，計算結果見表1。

表1 數值解的相對誤差

從表1可以看出，數值級數法解決此類問題是一個有效的方法。

[1] 劉安平,肖莉,劉婷,等.拋物型時滯偏微分方程解振動的充要條件[J].純粹數學與應用數學,2003,19(3):231-233.

[2] Jin Cheng Ri, Liu Ming Zhu. A new modification of adomian decomposition meehod for solving a kind of evolution equation [J]. Appl.Math.Comput,2005,169(2):953-962.

[3] 劉安平.非線性中立雙曲型偏微分方程解的振動性質[J].應用數學與力學,2002,23(6):604-610.

[4] 劉明鼎.數值級數法求解時滯拋物型方程[J].曲阜師范大學學報：自然科學版,2014,40(1):38-41.

[5] 郭長勇,趙景軍,劉明珠.二階延遲微分方程解析解的漸近穩定性[J].黑龍江大學學報：自然科學版,2002(3):5-7.

[6] 劉麗環,常晶,高艷超.二階常微分方程邊值問題的格林函數求法[J].長春工業大學學報：自然科學版,2011，32(1):102-104.

[7] 杜穎,梅長林.一類具有分布式記憶的帶跳隨機延遲微分方程半隱式歐拉數值解的收斂性[J].工程數學學報,2014(2):215-228.

[8] 譚英賢,甘四清,王小捷.隨機延遲微分方程平衡方法的均方收斂性與穩定性[J].計算數學,2011(1):25-36.

Numerical series method for delay differential equation

QIU Ning

(Qingdao Technological University Qindao College, Qingdao 266106， China)

Numerical series is used to express the numerical solution of half-discrete differential equation and every recursion formula. Both the example and the analysis of the convergence and stability for the differential equation show that the numerical series method is feasible.

delay differential equation; numerical series method; convergence; stability.

2014-05-08

邱 寧(1980-)，女，漢族，山東煙臺人，青島理工大學琴島學院講師,碩士，主要從事非線性振動控制和穩定性分析方向研究,E-mail:524916281@qq.com.

O 175.26

A

1674-1374(2014)05-0589-04