基于先驗知識和Kullback-Leibler距離的超分辨率圖像重建

劉婉軍, 王宏志

(長春工業大學 計算機科學與工程學院， 吉林 長春 130012)

基于先驗知識和Kullback-Leibler距離的超分辨率圖像重建

劉婉軍, 王宏志*

(長春工業大學 計算機科學與工程學院， 吉林 長春 130012)

由給定觀測模型和先驗模型組合得到潛在高分辨率圖像后驗分布逼近值,將其作為先驗知識進行迭代獲得更多的后驗逼近值。根據高分辨率圖像分布情況得到一特定逼近值以最大程度減小后驗分布與Kullback-Leibler距離之差。同時也進行了文中算法與其它超分辨率重建方法的對比研究，實驗表明，本算法重建效果較好。

超分辨率; 先驗信息; 貝葉斯模型; Kullback-Leibler距離

0 引 言

超分辨率(SR)圖像重建就是從一系列超分辨率圖像中重建一個高分辨率圖像(HR)的過程。SR的基本原理是利用由于運動模糊引起的低分辨率圖像(LR)附加信息的變化，從一系列LR觀察圖片中重建一個HR圖像[1]。

SR圖像重建仍是一個開闊而廣泛的研究領域。當然，同重建問題一樣，在重建過程中，先驗知識的選取是至關重要的。在近代圖像重建中，也已經有結合先驗知識的嘗試[2]。文中提出了一種新的算法，即在SR圖像重建中將變分貝葉斯算法與先驗知識結合。雖然這個算法已經很普遍[3]，但文中提出只是為了將稀疏先驗知識與非稀疏先驗知識做一個聯合。同時也表明這個算法作為一個特殊情況在文獻[4]中也同樣適用。

1 問題的公式化

假設圖像的成像過程是從一幅HR圖像x生成L幅LR圖像yk(k=1,2,3,…,L)。LR圖像yk的像素為N，HR圖像x的像素為PN。在重建中，需P為大于1的整數。文中用矩陣向量表示法分別將LR圖像yk表示為N×1矩陣，將HR圖像x表示為PN×1矩陣[5]。成像過程一般包括扭曲(變形)、模糊和降采樣過程。我們給出模型如下：

(1)

式中：A----N×PN的降采樣矩陣;

Hk----PN×PN的模糊矩陣;

Dk----PN×PN的扭曲矩陣;

nk----噪聲。

假設模糊矩陣Hk和降采樣矩陣Dk是一致的。將Hk,Dk,A矩陣對圖像造成的影響統一成一個N×PN的系統函數Bk。由式(1)可看出超分辨率重建的過程，就是利用關于噪聲{nk}和HR圖像的先驗知識從LR圖像{yk}中得到HR圖像的估計值[6]。

2 分層貝葉斯模型

提出一個獨特的描述方法來模仿未知部分。利用模型(1)，假設nk是零均值高斯白噪聲。如果nk的逆方差為βk,則LR圖像yk的條件分布函數為：

(2)

假設LR圖像之間是獨立的，則一系列的LR圖像y關于x和β(β1,β2,…,βL)的條件概率為：

(3)

正如引言中解釋的一樣，文中只是簡單的將稀疏先驗知識、TV模型、非稀疏先驗知識和自回歸模型(SAR)結合在一起。需要提出的是，稀疏和非稀疏模型也曾在其它環境中提出過，詳見文獻[7]。TV先驗知識在邊緣保護和增強光滑度方面突出，這里我們定義它為：

(4)

這里c是一個常數，并且

(5)

同時也定義SAR的先驗知識為：

(6)

C是拉普拉斯算子，用這個先驗知識可以比TV先驗知識更好的保留圖像細節信息。

需要注意的是，理論上我們需考慮如下這個先驗知識模型：

(7)

但是，由于式(7)中有分配函數z(α1,α2)，所以p(x|(α1,α2)的估計值也將不存在[8]。

參數{αi}和{βk}的數值將決定SR算法的表現，故參數{αi}和{βk}用伽馬分布建模如下：

(8)

式中:w----超參數，且w>0。

最后，聯合式(3)和式(8)獲得聯合分布：

(9)

3 變貝葉斯推理

將所有未知設置為Θ={Ω，α},α=(α1,α2)。貝葉斯推理也是基于后驗分布p(Θ|y)表示的[9]。我們提出了一種最小化Kullback-Leibler(KL)凸集線性組合距離的分布，去近似這個分布p(Θ|y)：

(10)

(11)

其中Kullback-Leibler距離分布為：

(12)

λ1,λ2參數都不給出。

但在實驗中，我們將給出一個非退化的組合，λ1,λ2>0，這個非退化模型將優于退化模型，考慮到上式可化為：

(13)

則式(10)可簡化為：

(14)

不幸的是，由于TV模型的局限，無法直接得到式(14)的最小值[10]。用最小優化接近方案(MM)來解決這個問題,而這個最小優化方案的主要原理就是找到式(9)的聯合分布界限，使式(14)的最小化更易處理。考慮函數M(α1,x,w)。

(15)

w∈(R+)PN,由wi,i=1,2,…,PN構成。

可以發現，函數M(α1,x,w)是圖像先驗知識p(x|α1)的一個下界函數，圖像的更多信息還是保存在式(9)中。也就是說

(16)

而這個下界函數可以用來找到一個下界的聯合分布(由式(9)改進)：

(17)

這就導致生成了一個KL距離的上界函數：

(18)

在求最小化結果時，結果是由位置輔助變量x經迭代獲得的，而式(18)是二次的，因此，它可以評價分析。

在計算出后驗結果之前，先來總結一下q(αi)，i=1,2。因為需要觀察一下現有重建分布的分歧處所在,所以可以寫出下式：

(19)

(20)

隨后再估計未知參數q(ξ)，ξ∈Ω，這里需要顧忌到每一個分歧：

(21)

式中：Θξ----Θ的集合。

以下做估計，引用多元高斯：

(22)

式(15)可估計簡化為：

(23)

在算法的最后一步，q(α1)，q(α2)，q(βk)都是伽馬分布。則

(24)

(25)

(26)

在算法(Algorithm1)中，計算HR圖像和超參數的初始估計值時：

1)HR圖像分布估計，見式(22);

2)空間適應性向量w，見式(23);

3)超參數α1，α2，βk的估計，見式(24)、(25)和(26)。

4 實驗結果

將文中算法ALG1與其它算法的處理效果相比較：

1)雙三次差值(Bicubic);

2)基于中值濾波的反向投影SR算法(ZMT，文獻[11]中提出)；

3)基于雙邊全變分SR算法(RSR，文獻[12]中提出)；

4)SAR；

5)VSR。

選用條碼圖像和Lenna圖像，分別經過扭曲、旋轉和2倍下采樣獲得4幅LR圖像，采用加性高斯白噪聲分別在信噪比水平5,15,25 dB的情況下，采用上述方法進行圖像處理，數據結果見表1和表2。

表1 不同信噪比下，條碼圖像經各SR算法處理后的平均PSNR值

表2 不同信噪比下，Lenna圖像經各SR算法處理后的平均PSNR值

由表1和表2可知，文中算法在不同信噪比水平下的表現都最為突出,效果如圖1所示。

(a) Bicubic (b) ZMT (c) RSR

(d) SAR(e) VSR(f) ALG 1

條碼圖像在15 dB情況下，文中算法較其它算法顯著地減少了振鈴效應，并對圖像邊緣處理效果更佳。

15 dB信噪比下，條碼圖像在不同λ1值下的PSNR情況如圖2所示。

圖2 15 dB信噪比下，條碼圖像在不同λ1值下的PSNR情況

由圖2可以看出，在λ1=0.9時，PSNR值最高，處理效果最佳。

5 結 語

提出了一種結合圖像先驗知識的SR圖像重建新方法。新方法是基于目前的HR圖像分布給出了觀測模型，最大限度地減小每一觀察與先驗模型相關聯的Kullback-Leibler距離分歧。新方法是一種線性凸組合,經與其它文獻中提出的方法相比較，可以與其它SR重建方法想媲美，其優越性比各先驗知識單獨使用時更顯著。

[1] A K Katsaggelos, R Molina, J Mateos. Super resolution of images and video[M]. [S.l.]: Morgan and Claypool,2007.

[2] A K Katsaggelos, R Molina, Eds. Super resolution (special issue)[J]. The Computer Journal,2009,52:395-396.

[3] P Milanfar. Super-resolution imaging[C]//ser. Digital Imaging and Computer Vision. Taylor&Francis/CRC Press (Ed.).2010.

[4] G Chantas, N Galatsanos, R Molina, et al. Variational bayesian image restoration with a spatially adaptive product of total variation image priors[J]. IEEE Trans. Image Process.,2010,19(2):351-362.

[5] S D Babacan, R Molina, A K Katsaggelos. Total variation super resolution using a variational approach[C]//IEEE Inter. Conf. on Image Process.2008.

[6] R Molina, M Vega, J Abad, et al. Parameter estimation in bayesian high-resolution image reconstruction with multisensors[J]. EEE Trans. Image Process.,2003,12(12):1655-1667.

[7] J Starck, M Elad, D Donoho. Image decomposition via the combination of sparse representation and a variational approach[J]. IEEE Trans. Image Process.,2005,14(10):1570-1582.

[8] G Hinton. Training products of experts by minimizing contrastive divergence[J]. Neural Computation,2002,14(8):1771-1800.

[9] S D Babacan, R Molina, A Katsaggelos. Parameter estimation in TV image restoration using variational distribution approximation[J]. IEEE Trans. Image Process.,2008(3):326-339.

[10] L C Pickup, D P Capel, S J Roberts, et al. Bayesian methods for image super-resolution[J]. The Computer Journal,2009,52(1):101-113.

[11] A Zomet, A Rav-Acha, S Peleg. Robust super-resolution[C]//IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern(CVPR 2001).2001:645-650.

[12] S Farsiu, M D Robinson, M Elad, et al. Fast and robust multiframe super resolution[J]. IEEE Trans. Image Process.,2004,13(10):1327-1344.

Super-resolution image reconstruction based on prior knowledge and Kullback-Leibler distance

LIU Wan-jun, WANG Hong-zhi*

(School of Computer Science & Engineering, Changchun University of Technology, Changchun 130012， China)

An observation model and the priori model are combined to get the posterior distribution approximation values of the potential high resolution images. The posterior knowledge is iterated to obtain more posterior approximations in which a fixed one is chosen is used to reduce the distance between posterior distribution and Kullback-Leibler. The algorithm is compared with other reconstruction methods in simulation, and results show that it is with good reconstruction quality.

super-resolution; priori information; bayesian model; Kullback-Leibler distance.

2014-05-25

吉林省教育廳“十二五”計劃基金資助項目(2013136)

劉婉軍(1989-)，女，漢族，吉林長春人，長春工業大學碩士研究生，主要從事圖像處理方向研究,E-mail:liuwanjun03220042@126.com. *通訊作者：王宏志(1961-)，男，漢族，黑龍江牡丹江人，長春工業大學教授，博士，主要從事信號處理方向研究,E-mail:wanghongzhi@mail.ccut.edu.cn.

TP 317.4

A

1674-1374(2014)06-0645-05