矩陣方程X+A*X-1A+B*X-tB=I的正定解

崔曉梅, 劉麗波

(吉林化工學院 理學院, 吉林 吉林 132022)

矩陣方程X+A*X-1A+B*X-tB=I的正定解

崔曉梅, 劉麗波

(吉林化工學院 理學院, 吉林 吉林 132022)

首先給出方程有正定解的一個必要條件和充要條件,然后根據不動點理論,通過構造迭代序列,給出有解的一個充分條件。數值算例說明文中方法的有效性。

矩陣方程； 迭代序列； 正定解

0 引 言

文中研究了矩陣方程

(1)

的Hermite正定解,其中A,B是n階非奇異復方陣,A*是A的共軛轉置,I是n階單位陣,t∈(0,1]。求解非線性矩陣方程是數值代數領域研究的重要課題之一,它在控制理論、運輸理論、動態規劃、統計學和橢圓微分方程的差分方法求解等多個領域有著廣泛的應用[1-2]。近年越來越多的人對各種形式的方程取得了豐碩的成果,參見文獻[3-5]。

記‖A‖2=λmax(A*A),‖B‖2=λmax(B*B)分別為A*A和B*B的最大特征值;A>0(A≥0)表示矩陣A是(半)正定矩陣,A>B(A≥B)表示矩陣A-B是(半)正定矩陣。

1 主要結果

引理1[6]若A>B>0(A≥B>0),Aα>Bα(Aα≥Bα>0),對α∈(0,1];Aα

引理2[7]若P,Q≥bI>0,θ∈(0,1],則

定理1 如果方程有正定解X,則

證明 顯然X≤I,由引理1知I≤X-1,I≤X-t,則

由

有

即

進而

定理2 方程(1)有正定解X的充要條件是A,B有如下分解

證明 若方程(1)有正定解X,則X=W*W,W為非奇異方陣,重寫方程(1)有如下:

即

令

則

反之,將A,B,X代入方程(1)可以驗證X=W*W為方程(1)的解。

考慮以下矩陣序列:

(2)

定理3 假設矩陣A,B和0<γ<η<1滿足如下條件:

1)ηt(1-η)I≤A*A+B*B≤γ(1-γ)I；

2)tγ-(t+1)‖B‖2+γ-2‖A‖2<1。

則由2)定義的序列{Xs}對α∈[γ,η]收斂于1)正定解X且γI≤X≤ηI。

證明 因X0=αI,故γI≤X0≤ηI。假設γI≤Xs≤ηI,則

且

因此

利用定理條件1)分別縮放不等式左右兩邊有如下：

即

利用引理2,有

令

由定理條件2)知q<1,得到

進而有

故{Xs}構成巴拿赫空間Ψn×n(由n×n階正定陣Xs構成),由Schauder不動點定理,因此{Xs}有極限X。

2 數值算例

如下給出數值例子對文中給出的迭代方法進行說明。設殘差

實驗停機的條件設為

算例1:考慮方程(1),其中

任取t=0.5,經計算存在非奇異矩陣W,Y1,Y2如下:

滿足定理2條件,故方程(1)有正定解。根據迭代序列(2)任取α=0.8,迭代13次,得到

R(X)=2.428 6e-017

算例2:

任取t=0.7,經計算存在非奇異矩陣W,Y1,Y2滿足定理2條件,故方程(1)有正定解。根據迭代序列(2),任取α=0.6,計算得

R(X)=5.935 0e-016

通過算例說明文中的方法有效可行。

[1] W N Anderson, Jr T D Monley, G E Trapp. Positive solutions toX=A-BX-1B*[J]. Linear Algebra and Its Applications,1990,134:53-62.

[2] I G Ivanov, V I Hasanov, B V Minchev. On matrix equationsX±A*X-2A=I[J]. Linear Algebra Appl.,2001,326：27-44.

[3] M Salah, El-Sayed, M Asmaa Al-Dbiban. A new inversion free iteration for solving the equationX+A*X-1A=Q[J]. Journal of Computational and Applied Mathematices,2005,181:148-156.

[4] 杜仲復.矩陣方程X-A*X-αA-B*X-βB=I[J].吉林大學學報:理學版,2010,48(1):26-32.

[6] M Parodi. La localisation des valeurs caracterisiques des matrices etses application[M]. Gauthiervillars:Paris,1959.

[7] R Bhatca. Matrix analysis[M]. Berlin:Springer,1977.

Positive definite solutions of matrix equationX+A*X-1A+B*X-tB=I

CUI Xiao-mei, LIU Li-bo

(College of Sciences, Jilin Institute of Chemical Technology, Jilin 132022, China)

A necessary and sufficient condition is offered for the existence of the positive definite solution, and then a iterative sequence is estalbished based on the fixed point theory to give the sufficient condition. Numerical examples illustrates the feasibility of the algorithm.

matrix equation； iterative consequences; positive definite solutions.

2014-07-03

吉林化工學院課題(吉化院合字第2008-0812號)

崔曉梅(1981-)，女，漢族，吉林吉林人，吉林化工學院講師，吉林大學博士研究生，主要從事基礎數學研究,E-mail:cuixiaomei1981@126.com.

O 151.21

A

1674-1374(2014)06-0622-03