基于雙振子差分系統的復頻檢測新方法

胡燕燕，曾芳玲，張詩桂

HU Yanyan,ZENG Fangling,ZHANG Shigui

電子工程學院 安徽省電子制約技術重點實驗室，合肥 230037 Electronic and Engineering Institute,Hefei 230037,China

1 引言

隨著混沌理論在微弱信號檢測領域的應用越來越廣泛，人們對弱正弦信號各項參數如幅值、頻率、相位的檢測研究越趨成熟。眾所周知，對幅值進行檢測之前必須先已知待測信號的頻率，因此對待測信號頻率的檢測至關重要。目前利于混沌檢測弱信號的方法中，對于頻率的研究多還是針對單頻信號的檢測，常用方法是利用間歇混沌原理來實現檢測的目的，但此方法振子數目太多，計算量大，檢測帶寬有限；另外，對復頻信號的檢測方法也不多見，所以，本文提出結合間歇混沌原理與雙Duffing振子系統利用差分方法檢測復頻信號的新方法，使檢測效率得到了有效的提高。

2 雙Duffing振子差分方程檢測原理

在檢測范圍內，特定參考頻率的Duffing振子不受其他頻率信號的外界干擾，只對其附近的一小部分特定頻率信號敏感[1]。

利用這一特性，得出有可能同時出現小幅值周期運動和間歇混沌運動的結論，這說明待測信號中除了可以檢測出單頻信號以外，有同時存在兩個不同頻率的正弦信號的可能，即復頻信號，否則，無弱正弦信號存在。

2.1 雙振子差分模型

在單Duffing振子測頻的基礎上對其進行改進，建立模型：

式（1）中兩振子相對獨立且不完全耦合，除了α不同之外，其余數值完全相同，且α≠1。由于差分作用，振子1的時域x1與振子2的時域x2有相位的差別，輸出時取其差值x1-x2，此處設α值為1.001。

調整γ1=0.826，使振子1處于臨界狀態的，α值驅動振子2進入大尺度周期狀態；加入待測周期信號后，振子1變為大尺度周期狀態，振子2仍為周期態，利用差分能抑制共模信號、放大差分信號的作用，此時系統差分輸出為一幅度很小的規則周期信號，從而判斷出微弱正弦信號的存在[2]。

2.2 差分測頻具體步驟

雙振子系統檢測頻率與傳統Duffing振子陣列法基本原理基本相同，但公比取值范圍在1.06~1.08之間[3]，具體步驟如下：

步驟1設置系統各參數，使振子1參數在混沌閾值處，使振子2處在大尺度周期狀態。

步驟2選取?ω為0.06~0.08[3]，則檢測頻率的范圍可達(0.94~1.08)ω0，建立雙Duffing振子陣列頻率檢測模型，以1.06n，n∈[1，40]或者1.08n，n∈[1，30]的數值設置各振子組的振子頻率。

步驟3將待測信號加入到系統，生成差分輸出時序圖(x2-x1)-t。

步驟4判定。（1）若某雙振子組系統輸出為一幅度很小的規則周期信號，則待測信號頻率就等于該振子的驅動力頻率；（2）若某兩相鄰雙振子組輸出為周期不同的間歇混沌，則待測信號頻率就等于這兩個振子的驅動力頻率的算術平均值；（3）若兩種現象都存在，則存在復頻信號。

具體流程圖如圖1所示。

在下面的仿真中，對單頻信號檢測?ω=0.06；對復頻信號，為了減少誤判，頻差提高到?ω=0.08。這里?ω比傳統方法0.01取值大很多，避免參考頻率因相差不大導致都在待測信號頻率附近而同時發生相變，并因此產生的誤判，在某種程度上說，提高了檢測精度[4]。

圖2 未加入周期信號前的差分系統相態圖

圖1 雙振子差分法弱信號頻率檢測流程圖

3 仿真實驗

3.1 雙振子差分法檢測弱信號

據差分原理，圖2是振子頻率ω=1 rad/s的差分系統在未加入周期信號前的相態圖如圖2。

系統分別加入弱正弦信號0.02 cos(t)和加入信噪比為 -19 dB的高斯白噪聲（之后的仿真中皆用此噪聲）0.02 cos(t)+n(t)后的相態圖，如圖3（a）和3（b）。

圖2和圖3對比，系統發生了相變，由混沌臨界狀態變為大尺度周期狀態，證明有弱周期信號存在[5]。

加入噪聲后，差分系統輸出時序圖如圖4。

從(x2-x1)-t上看，發生相變后的差分輸出為一幅值為±0.3的小幅值規則周期圖像，說明該系統對加入的周期信號敏感，發生了相變，弱正弦信號是存在的，且加入噪聲不影響判斷[6]。

3.2 雙振子差分法對單頻信號的檢測

雙Duffing振子各自構建以公比為1.06的振子陣列，第n個振子的驅動力頻率為100×1.06n-1rad/s，振子數為40[7]，初始頻率ω0為1 rad/s，在高斯白噪聲背景下，將待測信號a cos(1.105t)，a=0.5的正弦信號加入系統，待測信號頻率為110.5 rad/s，預計會在第二和第三個振子間出現間歇混沌，仿真結果如圖5。

圖3 加入周期信號和噪聲后的差分系統相態圖

圖4 加入0.02cos(t)+n(t)的差分振子時序圖

圖5 公比為1.06的差分振子陣列加入待測信號的差分序列輸出(ω 分別取值 ω0＝1.00 rad/s，ω1＝1.06 rad/s，ω2＝1.123 6 rad/s)

圖5 所示，ω0的差分序列沒有任何周期性，表現為混沌態；ω1和ω2的為穩定的間歇混沌，所以待測信號頻率為[8]：

與真實值相比，誤差為1.32 rad/s，其相對誤差為：

3.3 雙振子差分法對復頻信號的檢測

確立策動力幅值閾值為0.826，構造同上的雙Duffing振子陣列，將初始頻率ω0改為0.92 rad/s，公比改為1.08，檢測頻率范圍為(0.92~1.08)ω0，第n個振子的頻率為0.92×1.08n-1rad/s，振子數為31個。設在高斯白噪聲背景下，將復合信號 a1cos(ω1t)+a2cos(ω2t)(ω1=0.96，ω2=1.07)作為待測信號加入到差分系統里，其中，a1=0.02，a2=0.5，仿真結果如圖6。

圖6 公比為1.08的差分振子陣列加入待測信號后的差分系統輸出前三個振子組差分輸出(ω分別取值ω0=92 rad/s，ω1=99.36 rad/s，ω2=107.31 rad/s)

ω2的差分時序輸出為小幅值的規則周期圖像，幅值為±0.4 V；而ω0和ω1的時序差分輸出為間歇混沌。

據間歇混沌理論，此待測信號有一個信號頻率與ω2的頻率相同為1.0731 rad/s，與真實信號頻率的誤差為

另外ω0和ω1的差分序列也可確定一個待測信號的頻因此系統平均的相對誤差為0.883 5%。

此方法比傳統的方法更直觀易辨，若最后的仿真時序圖表示為一段直線和一段不規則波形的規律組合，則判斷系統表現為間歇混沌，如圖5的第二個波形；若一直為恒定的小幅值規則波形，則為周期運動，如圖4的第三個波形；否則為混沌運動，如圖5的第一個波形，最后結合間歇混沌原理檢測弱周期信號。

4 與傳統單個振子陣列法的比較

4.1 傳統Duffing振子陣列測頻

對傳統方法進行仿真如下：

設待測信號為s(t)=a cos(ωt)+n(t)，其中，a=0.2，ω=1.15 rad/s，將其加入傳統單個Duffing振子檢測系統，振子數為232個，檢測帶寬為(0.99~1.01)ω0，仿真結果中，尋找最大周期對應頻率為待測信號頻率[9]，如圖7。

理論上，第15個振子周期性最強，周期最大，明顯為待測頻率[10]，而圖7中，第15個振子只可以勉強與理論結果相匹配，判定為待測信號頻率為114.95 rad/s，雖然此時相對誤差很小，但是圖7中可以看出，時序圖中的周期性并不是很明顯，要判定出結果，主觀性很強，甚至容易出現誤判的情況，所以它的平均相對誤差要比新方法的大，相同SNR下，錯誤概率也相對較大。

圖8 新方法與傳統方法抗噪性能比較

圖7 系統中加入s(t)=a cos(ωt)+n(t)輸出的第13~19個振子時序圖

4.2 抗噪性能比較

仿真如下：圖 8（a）和（b）為差分振子在信噪比為-17 dB的情況下的間歇混沌，隨著待測信號幅值的不斷減小，尤其是在幅值從0.203降到0.197時，系統的間歇混沌開始變得不明顯；同理，圖8（c）和（d）為傳統方法在信噪比為 -9 dB情況下的間歇混沌，在幅值由0.3降到0.2時，系統的狀態開始難以辨認，因此可以得出：新方法的抗噪性能比傳統方法更好，更容易辨認，減小了誤判率，而且信噪比也降低了8 dB，并且更容易檢測更微小的信號。

對于Duffing振子而言，噪聲在一定范圍內（這個范圍需要考慮系統的最低信噪比門限）對系統的影響僅僅是使相軌跡變得粗糙，粗糙的程度由其方差決定，換言之由信噪比決定。當系統原有的運行軌跡發生變化時，則可以判斷最低檢測門限[11]，如表1，以方差為0.001的高斯白噪聲為例。

表1 方差為0.001時刻的系統最低檢測門限判斷

表1顯示，在 -60 dB時，系統狀態發生改變，-55 dB是狀態沒有發生變化，所以此刻最低信噪比門限為-55 dB。

其中，信噪比可定義為下式：

Ps和Pn分別表示信號功率和噪聲功率，a表示待測正弦信號的幅值，σ表示加入的高斯白噪聲的均方差。

因此，不同方差，系統的最低檢測門限是不同的[12]，相同方法得出表2。

表2 不同噪聲方差下的系統的最低檢測門限

4.3 雙振子差分法與傳統方法的其余參數比較

新方法與傳統的間歇混沌頻率檢測法比較，公比的選取也存在著很大的差異[13]，從而使振子數由232降低誤判率得到了有效的降低，抗噪性能比傳統方法優越，工作量也得到了有效的控制，具體的比較見表3。

表3中，改進的雙振子陣列差分法，振子數比傳統單個振子陣列法的振子數要少得多；檢測帶寬也比傳統方法的檢測帶寬大的多。

綜上所述，傳統測頻方法雖然也可以實現較寬頻率范圍的弱周期信號的檢測[15]，但主觀依賴性強，計算量大，有時，間歇混沌現象并不十分明顯，甚至出現誤判；而雙振子差分法，檢測結果更簡單，更直觀，從波形上就可以直接辨認出信號的運動形態，而且可以更進一步增大檢測帶寬，抗噪性能也很理想。

表3 傳統振子陣列法與雙振子陣列比較列表

5 結束語

本文將兩個Duffing振子組合成雙振子差分系統，并結合傳統方法，得出檢測弱信號頻率的新方法。根據對應的波形特征進行分析，系統輸出結果分三種情況：（1）若系統差分輸出表示為一段直線和一段不規則波形的規律組合，那么判斷為間歇混沌；（2）若一直為恒定的小幅值規則波形，則為周期運動；（3）否則為混沌運動。

最后在仿真中與傳統方法[16]進行比較，此方法比傳統的更直觀易辨，而且結果也顯示了其檢測帶寬比傳統方法有所增加，大大減小了計算量，檢測效率也有所提高，抗噪性能優越，雖然精度上與傳統方法有微小的差異，但是其平均相對誤差還是很可觀的，是一種很好的頻率檢測方法。

[1]李瑜，章新華，肖毅，等.杜芬振子陣列實現弱正弦信號頻率檢測[J].系統仿真學報，2006，18（9）：2650-2656.

[2]任志玲，劉銀報，史旭鵬.基于Duffing振子的弱正弦信號檢測的改進[J].計算機測量與控制，2011，19（6）：1301-1303.

[3]王玫，顏勇，張慧峰.基于雙Duffing振子差分的微弱信號頻率檢測[J].電路與系統學報，2010，15（2）：119-121.

[4]朱志宇，姜長生，張冰，等.基于混沌理論的微弱信號檢測方法[J].傳感器技術，2005，24（5）：65-68.

[5]李月，陸鵬，楊寶俊.用一類特定的雙耦合Duffing振子系統檢測強色噪聲背景中的周期信號[J].物理學報，2006，55（4）：1672-1677.

[6]姜萬錄，王益群，孔祥東.齒輪故障的混沌診斷識別方法[J].機械工程學報，1999，35（6）：44-47.

[7]李月，楊寶俊，石要武，等.納伏級正弦信號的混沌檢測方法研究[J].通信學報，2003，24（3）：25-30.

[8]呂金虎，陸安君.混沌時間序列分析及應用[M].武漢：武漢大學出版社，2005.

[9]Wang Guanyu，Chen Dajun，Lin Jianya，et al.The application of chaotic oscillators to weak signal detection[J].IEEE Transactions on Industrial Electrons，1999，46（2）：440-444.

[10]葉亦能，王林澤.基于Duffing振子的噪聲背景下微弱周期信號檢測[J].機電工程，2009，26（4）：97-100.

[11]聶春燕.基于混沌相平面變化的弱信號檢測方法研究[J].長春大學學報，1999，9（4）：1-4.

[12]李月，楊寶俊，石要武.色噪聲背景下微弱正弦信號的混沌檢測[J].物理學報，2003，52（3）：526-530.

[13]李瑜，章新華，肖毅，等.杜芬振子陣列實現弱正弦信號頻率檢測[J].系統仿真學報，2006，18（9）：2650-2656.

[14]王永生，姜文志，趙建軍，等.一種Duffing弱信號檢測新方法及仿真研究[J].物理學報，2008，57（4）：2053-2058.

[15]衣文索，石要武，聶春燕.混沌態杜芬振子與弱正弦信號參量估計[J].計量學報，2006，27（2）：156-159.

[16]周暢，張建科.一類非線性極小極大問題的粒子群-鄰近點算法[J].計算機工程與應用，2012，48（36）：19-22.