第二型曲面積分的計算方法

周三章+趙大方

摘 要 本文從化歸的角度，介紹利用高斯公式和合一投影法簡化第二型曲面積分的計算，并結合實例予以說明。

關鍵詞 第二型曲面積分 高斯公式 合一投影法

中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A

Methods of Computing the Second Surface Integral

ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2]

（[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002；

[2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002）

Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical example.

Key words the second surface integral； Gauss formula； projection

高等數學的學習中，第二型曲面積分的計算是一個難點。 計算第二型曲面積分方法比較多，計算的難易程度也不同。 如果運用化歸的思想，通常可以達到事半功倍的效果。 化歸的思想具體表現在運用合一投影法，高斯公式簡化求解過程。 本文以幾例具體來說明以上兩種計算方法。

1 利用高斯公式轉化為三重積分計算

引理[1]：設空間閉區域 是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數（），（），（）在 具有一定階連續偏導數，則有

（ + + ） = + + ，

或

（ + + ） = （ + + ）。

這里的是 的整個邊界曲面的外側，、、是在點（）的法向量的方向余弦。

2 合一投影法計算（即把不同面的投影通過關系式轉化到同一個面上計算）

引理：以平面向平面轉化為例：

由曲面積分的基本關系可得：

（） = []，

（） = []，

。

由以上基本關系可得：

= ，

所以， = （）. = （）。

由以上推論可以得出[2]：若光滑的曲面表示為 = （），（（）），其中是在平面上投影區域，（）在上有連續偏導數，又（），（），（）均在上連續。則

+ + = €？ （（）） + （（）） + （）。

其中取上側時取“+”號，當取下側時取“”號。 其他的結論可以仿照以上推理過程得出。

3 舉例

例1： = + + ，其中為錐面 = + 介于 = 0和 = 兩平面間部分取外側。

解：方法1：合一投影法

由的方程 = （0≤≤），投影到面上計算比較方便。 投影區域是：：≤。這里取下側。 于是 = [ （）+ （）+ ]。由的方程，可得：

= ， = 。

= [ （）+ （）+ ]

= + （ + ） = 0 = 0。

注：由此可知參考文獻[2]中的解答有誤。

方法2：運用高斯公式

分析：由于所給的曲面不是封閉曲面，故不能直接運用高斯公式。 需要進行“加蓋”處理。

若設錐面被截的部分為，為 = 的上側，則由高斯公式可得：

+ + = 3 = 。

由于為 = ，所以

+ + = = ，

因此

= + +

= + + + +

= = 0。

例2：計算曲面積分 = + + ，其中是曲面 = （>0）的上側。

解：方法1：運用高斯公式

因曲面不是封閉曲面，故不能直接利用高斯公式。 設為 = 0方向朝下，則與一起構成一個封閉曲面。由高斯公式可得：

= + +

= （2· + 2· + 3·）

= 6（ + + ）

= 6·（ + ） = 2

由于為 = 0，所以

= + +

= 3·（） = 。

因此

= + + = + + + + = 。

方法2：合一投影法

設曲面在平面上的投影區域： + ≤1。

由 = ，可得： = ， = 。

= [（）+ （）+]

= （ + + ）

= [ + + 6（ + ）]。

由輪轉對稱性可得： = ，即

= 14 + 6 6（ + ） = + = 。

例3： = + ，其中為上半球面 + + = （≥0）的上側。

解：顯然運用合一投影法求解比較簡便。曲面在平面上的投影區域： + ≤，由 + + = 可得 = 。從而 = [（） + ] = （ + ）。

因為關于軸對稱，且被積函數是關于的奇函數，所以 = 。設 = ， = ，可得： = = 。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學（下冊）（6版）[M].北京：高等教育出版社，2007：220-229.

[2] 李正元.高等數學輔導（上下冊合訂本）[M].北京：國家行政學院出版社，2012：471-476.

[3] 許洪范.考研微積分500例[M].北京：國防工業出版社，2009：260-261.endprint

摘 要 本文從化歸的角度，介紹利用高斯公式和合一投影法簡化第二型曲面積分的計算，并結合實例予以說明。

關鍵詞 第二型曲面積分 高斯公式 合一投影法

中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A

Methods of Computing the Second Surface Integral

ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2]

（[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002；

[2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002）

Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical example.

Key words the second surface integral； Gauss formula； projection

高等數學的學習中，第二型曲面積分的計算是一個難點。 計算第二型曲面積分方法比較多，計算的難易程度也不同。 如果運用化歸的思想，通常可以達到事半功倍的效果。 化歸的思想具體表現在運用合一投影法，高斯公式簡化求解過程。 本文以幾例具體來說明以上兩種計算方法。

1 利用高斯公式轉化為三重積分計算

引理[1]：設空間閉區域 是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數（），（），（）在 具有一定階連續偏導數，則有

（ + + ） = + + ，

或

（ + + ） = （ + + ）。

這里的是 的整個邊界曲面的外側，、、是在點（）的法向量的方向余弦。

2 合一投影法計算（即把不同面的投影通過關系式轉化到同一個面上計算）

引理：以平面向平面轉化為例：

由曲面積分的基本關系可得：

（） = []，

（） = []，

。

由以上基本關系可得：

= ，

所以， = （）. = （）。

由以上推論可以得出[2]：若光滑的曲面表示為 = （），（（）），其中是在平面上投影區域，（）在上有連續偏導數，又（），（），（）均在上連續。則

+ + = €？ （（）） + （（）） + （）。

其中取上側時取“+”號，當取下側時取“”號。 其他的結論可以仿照以上推理過程得出。

3 舉例

例1： = + + ，其中為錐面 = + 介于 = 0和 = 兩平面間部分取外側。

解：方法1：合一投影法

由的方程 = （0≤≤），投影到面上計算比較方便。 投影區域是：：≤。這里取下側。 于是 = [ （）+ （）+ ]。由的方程，可得：

= ， = 。

= [ （）+ （）+ ]

= + （ + ） = 0 = 0。

注：由此可知參考文獻[2]中的解答有誤。

方法2：運用高斯公式

分析：由于所給的曲面不是封閉曲面，故不能直接運用高斯公式。 需要進行“加蓋”處理。

若設錐面被截的部分為，為 = 的上側，則由高斯公式可得：

+ + = 3 = 。

由于為 = ，所以

+ + = = ，

因此

= + +

= + + + +

= = 0。

例2：計算曲面積分 = + + ，其中是曲面 = （>0）的上側。

解：方法1：運用高斯公式

因曲面不是封閉曲面，故不能直接利用高斯公式。 設為 = 0方向朝下，則與一起構成一個封閉曲面。由高斯公式可得：

= + +

= （2· + 2· + 3·）

= 6（ + + ）

= 6·（ + ） = 2

由于為 = 0，所以

= + +

= 3·（） = 。

因此

= + + = + + + + = 。

方法2：合一投影法

設曲面在平面上的投影區域： + ≤1。

由 = ，可得： = ， = 。

= [（）+ （）+]

= （ + + ）

= [ + + 6（ + ）]。

由輪轉對稱性可得： = ，即

= 14 + 6 6（ + ） = + = 。

例3： = + ，其中為上半球面 + + = （≥0）的上側。

解：顯然運用合一投影法求解比較簡便。曲面在平面上的投影區域： + ≤，由 + + = 可得 = 。從而 = [（） + ] = （ + ）。

因為關于軸對稱，且被積函數是關于的奇函數，所以 = 。設 = ， = ，可得： = = 。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學（下冊）（6版）[M].北京：高等教育出版社，2007：220-229.

[2] 李正元.高等數學輔導（上下冊合訂本）[M].北京：國家行政學院出版社，2012：471-476.

[3] 許洪范.考研微積分500例[M].北京：國防工業出版社，2009：260-261.endprint

摘 要 本文從化歸的角度，介紹利用高斯公式和合一投影法簡化第二型曲面積分的計算，并結合實例予以說明。

關鍵詞 第二型曲面積分 高斯公式 合一投影法

中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A

Methods of Computing the Second Surface Integral

ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2]

（[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002；

[2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002）

Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical example.

Key words the second surface integral； Gauss formula； projection

高等數學的學習中，第二型曲面積分的計算是一個難點。 計算第二型曲面積分方法比較多，計算的難易程度也不同。 如果運用化歸的思想，通常可以達到事半功倍的效果。 化歸的思想具體表現在運用合一投影法，高斯公式簡化求解過程。 本文以幾例具體來說明以上兩種計算方法。

1 利用高斯公式轉化為三重積分計算

引理[1]：設空間閉區域 是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數（），（），（）在 具有一定階連續偏導數，則有

（ + + ） = + + ，

或

（ + + ） = （ + + ）。

這里的是 的整個邊界曲面的外側，、、是在點（）的法向量的方向余弦。

2 合一投影法計算（即把不同面的投影通過關系式轉化到同一個面上計算）

引理：以平面向平面轉化為例：

由曲面積分的基本關系可得：

（） = []，

（） = []，

。

由以上基本關系可得：

= ，

所以， = （）. = （）。

由以上推論可以得出[2]：若光滑的曲面表示為 = （），（（）），其中是在平面上投影區域，（）在上有連續偏導數，又（），（），（）均在上連續。則

+ + = €？ （（）） + （（）） + （）。

其中取上側時取“+”號，當取下側時取“”號。 其他的結論可以仿照以上推理過程得出。

3 舉例

例1： = + + ，其中為錐面 = + 介于 = 0和 = 兩平面間部分取外側。

解：方法1：合一投影法

由的方程 = （0≤≤），投影到面上計算比較方便。 投影區域是：：≤。這里取下側。 于是 = [ （）+ （）+ ]。由的方程，可得：

= ， = 。

= [ （）+ （）+ ]

= + （ + ） = 0 = 0。

注：由此可知參考文獻[2]中的解答有誤。

方法2：運用高斯公式

分析：由于所給的曲面不是封閉曲面，故不能直接運用高斯公式。 需要進行“加蓋”處理。

若設錐面被截的部分為，為 = 的上側，則由高斯公式可得：

+ + = 3 = 。

由于為 = ，所以

+ + = = ，

因此

= + +

= + + + +

= = 0。

例2：計算曲面積分 = + + ，其中是曲面 = （>0）的上側。

解：方法1：運用高斯公式

因曲面不是封閉曲面，故不能直接利用高斯公式。 設為 = 0方向朝下，則與一起構成一個封閉曲面。由高斯公式可得：

= + +

= （2· + 2· + 3·）

= 6（ + + ）

= 6·（ + ） = 2

由于為 = 0，所以

= + +

= 3·（） = 。

因此

= + + = + + + + = 。

方法2：合一投影法

設曲面在平面上的投影區域： + ≤1。

由 = ，可得： = ， = 。

= [（）+ （）+]

= （ + + ）

= [ + + 6（ + ）]。

由輪轉對稱性可得： = ，即

= 14 + 6 6（ + ） = + = 。

例3： = + ，其中為上半球面 + + = （≥0）的上側。

解：顯然運用合一投影法求解比較簡便。曲面在平面上的投影區域： + ≤，由 + + = 可得 = 。從而 = [（） + ] = （ + ）。

因為關于軸對稱，且被積函數是關于的奇函數，所以 = 。設 = ， = ，可得： = = 。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學（下冊）（6版）[M].北京：高等教育出版社，2007：220-229.

[2] 李正元.高等數學輔導（上下冊合訂本）[M].北京：國家行政學院出版社，2012：471-476.

[3] 許洪范.考研微積分500例[M].北京：國防工業出版社，2009：260-261.endprint