速射火炮立靶密集度序列建模

朱 凱,王 軍,薄煜明

(南京理工大學(xué) 自動化學(xué)院,南京 210094)

武器系統(tǒng)的立靶密集度是系統(tǒng)精度的重要組成部分,它分為彈道炮的立靶密集度和戰(zhàn)斗炮的立靶密集度。前者是指固定火炮身管時射彈的立靶密集度,造成射彈散布的主要原因是單發(fā)炮彈的個體差異;后者是指不固定火炮身管時射彈的立靶密集度,造成射彈散布的主要原因除了單發(fā)炮彈的個體差異外,還包括射擊沖擊載荷的影響。對于戰(zhàn)斗炮的立靶密集度,傳統(tǒng)的射擊效力分析方法中并未考慮射擊沖擊載荷的影響,即認為射彈散布為不相關(guān)的平穩(wěn)正態(tài)序列。

隨著武器系統(tǒng)射速的提高,武器身管沖擊載荷所帶來的弱相關(guān)誤差對立靶密集度的影響已經(jīng)不能被忽略。為了準(zhǔn)確分析速射火炮立靶密集度,需要記錄帶彈序的立靶密集度序列。早期的木板靶法精度很低,且射彈數(shù)較多時讀數(shù)不準(zhǔn)確;聲學(xué)靶法可以提高立靶密集度的測量精度[1],但當(dāng)火炮射速很高時會漏測;照相測量法可以克服木板法與聲學(xué)靶法的缺陷,并能進行密集度測量與彈序識別[2];隨著光電技術(shù)的發(fā)展,光電靶能更準(zhǔn)確地記錄高射速火炮立靶密集度試驗的彈序與數(shù)據(jù),文獻[3]提出了一種帶彈序的高射速火炮立靶密集度測試技術(shù),實現(xiàn)了彈丸的排序測試。在火炮立靶密集度分析中,文獻[4]用實際射擊結(jié)果證明了連發(fā)武器的射彈散布與火炮沖擊載荷有很大關(guān)系;文獻[5]建立了戰(zhàn)斗炮立靶密集度的狀態(tài)方程,并對實測脫靶量數(shù)據(jù)進行了分析,計算了一階相關(guān)系數(shù),并給出了相關(guān)系數(shù)的檢測方法。但對于高射速火炮而言,一階模型對其立靶密集度的描述具有一定的誤差。本文將時間序列建模理論運用到高炮武器系統(tǒng)的射擊效力分析領(lǐng)域,對速射火炮的立靶密集度序列建立了數(shù)學(xué)模型;模型殘差比較以及模型驗證證明了本文模型比一階誤差模型具有更高的精度。

1 時間序列建模

1.1 基礎(chǔ)理論

作為概率統(tǒng)計學(xué)中的一個重要分支,時間序列分析運用概率統(tǒng)計的方法分析和處理隨時間變化的隨機數(shù)據(jù)序列,包括模型建立、參數(shù)估計以及預(yù)測和控制等內(nèi)容。若一個時間序列{yt},t=1,2,…,N,是平穩(wěn)、0均值的,則它一定能用如下差分方程描述[6]:

yt-φ1yt-1-φ2yt-2-…-φpyt-p=
at-θ1at-1-θ2at-2-…-θqat-q

(1)

式中:yt為時間序列{yt}在t時刻的值;φi(i=1,2,…,p)與θj(j=1,2,…,q)分別表示序列的自回歸參數(shù)與滑動平均參數(shù);序列{at}則稱為殘差序列。若式(1)能準(zhǔn)確地描述該時間序列,則序列{at}為白噪聲。當(dāng)φi全為0而θj不全為0時,稱式(1)為q階滑動平均模型MA(q);當(dāng)θj全為0而φi不全為0時,稱式(1)為p階自回歸模型AR(p);若φi,θj都不全為0,此時式(1)稱為p階自回歸q階滑動平均模型,記為ARMA (p,q)模型。

1.2 時間序列的研究工具

在對時間序列進行建模之前,需要分析其性質(zhì),以判斷其是否可以建立ARMA模型。自相關(guān)和偏自相關(guān)則是重要的研究工具。

1)自相關(guān)。

構(gòu)成時間序列的每個值yt,yt-1,…,yt-k之間存在一定的相關(guān)關(guān)系,其由自相關(guān)系數(shù)rk度量,但它并不是單純的相關(guān)關(guān)系。例如測量值yt與yt-k之間存在yt-1,yt-2,…,yt-k+1這k-1個中間變量,它們會影響到這兩者之間的相關(guān)性,將其納入考慮范圍時即為自相關(guān)。yt與yt-k之間的自相關(guān)系數(shù)表示為

(2)

2)偏自相關(guān)。

如果需要把中間變量的影響因素剔除,則引入偏自相關(guān)的概念。對于時間序列yt中的2個值yt與yt-k,在給定yt-1,yt-2,…,yt-k+1這k-1個中間變量的條件下,yt與yt-k之間的條件相關(guān)關(guān)系即為偏自相關(guān),即在不考慮中間變量的前提下,其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù)φk,k來表示:

(3)

式中:rk是滯后k個間隔的自相關(guān)系數(shù),且

φk,m=φk-1,m-φk,kφk-1,k-mm=1,2,…,k-1

(4)

在對時間序列進行分析時,要綜合考慮序列的自相關(guān)與偏自相關(guān),以保證分析的準(zhǔn)確性。

1.3 平穩(wěn)性檢驗

檢驗時間序列的平穩(wěn)性通常有2種方法,即圖檢驗法和單位根檢驗法。

1)圖檢驗法。

對于一個平穩(wěn)時間序列,其均值應(yīng)始終為常數(shù)。如果時間序列的所有數(shù)據(jù)的取值始終在一個常值附近隨機變化,且變化范圍有界,則這個時間序列大致上可被認為是平穩(wěn)的;反之,如果數(shù)據(jù)有明顯的趨勢性或周期性,則大致上可判斷時間序列是非平穩(wěn)的。圖檢驗法只能做大致判斷,是一種經(jīng)驗方法,而不是一種嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)方法。

2)單位根檢驗法。

在時間序列的平穩(wěn)性檢驗中,通常使用單位根檢驗法。即對于一個時間序列,通過判定其自回歸特征方程的特征根是否都在單位圓內(nèi),來檢驗時間序列是否平穩(wěn)。在單位根檢驗中,常用的是迪基-福勒(DF)檢驗與增廣的迪基-福勒(ADF)檢驗。DF檢驗只適用于一階自回歸過程的平穩(wěn)性檢驗,p階自回歸過程的平穩(wěn)性則需要ADF檢驗[7]。單位根檢驗的具體步驟見文獻[8]。

2 立靶密集度序列建模

實測得一組53發(fā)的戰(zhàn)斗炮的立靶密集度方位落點X數(shù)據(jù),如表1所示。為了將本文模型與一階模型進行比較,這里取前45個點數(shù)據(jù)用于建模,后8個點用于做一階模型與本文模型的預(yù)測值和測量值的比較。表中,N為發(fā)射彈數(shù)。

表1 實測脫靶量方位數(shù)據(jù)

2.1 平穩(wěn)性分析

將前45個數(shù)據(jù)去除系統(tǒng)誤差,得到0均值的序列,其時間序列圖如圖1所示。

圖1 立靶密集度時序圖

從時序圖可以看出,脫靶量數(shù)據(jù)在0均值附近波動,初步判定為平穩(wěn)。利用單位根檢驗法對其進行平穩(wěn)性檢驗,EVIEWS檢驗t統(tǒng)計量的值小于各個顯著性水平下的臨界值,所以拒絕原假設(shè),認為立靶密集度序列不存在單位根,故立靶密集度序列是平穩(wěn)的。

2.2 模型的確定

使用EVIEWS軟件對立靶密集度序列的自相關(guān)和偏相關(guān)進行分析,結(jié)果如表2所示。表中,左半部分為序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)分析圖,右半部分包含5列數(shù)據(jù),其中,k為滯后期,rk為自相關(guān)系數(shù),φk,k為偏自相關(guān)系數(shù),Qs為Q統(tǒng)計量,P為相伴概率。

表2 立靶密集度的自相關(guān)與偏自相關(guān)

由自相關(guān)函數(shù)易知立靶密集度數(shù)據(jù)序列具有明顯的相關(guān)性,即傳統(tǒng)射擊效力中平穩(wěn)不相關(guān)的假定不再適用,沖擊載荷帶來的弱相關(guān)誤差必須納入考慮范圍。

1)一階模型。

在傳統(tǒng)的射擊效力分析方法中,0均值弱相關(guān)序列yt為一階平穩(wěn)弱相關(guān),有

式中:r為一階相關(guān)系數(shù),wt為白噪聲。

yt+1=ryt+at

(6)

即AR(1)模型。

對非0均值的原序列,EVIEWS一階建模結(jié)果為

2)高階模型。

根據(jù)樣本自相關(guān)與偏自相關(guān)的拖尾性與截尾性選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M行建模[9],定階的原則如表3所示。

表3 模型選定方法

由表2可知,立靶密集度序列的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的,而偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。則通過表3可以判斷,原序列的模型為AR(5),立靶密集度數(shù)據(jù)的建模結(jié)果為

3 模型比較與驗證

比較AR(1)模型與AR(5)模型的殘差,其自相關(guān)與偏自相關(guān)如表4、表5所示。

表4 AR(1)模型殘差的自相關(guān)與偏自相關(guān)

表5 AR(5)模型殘差的自相關(guān)與偏自相關(guān)

比較自相關(guān)函數(shù)可以看出:一階模型的殘差依然具有較為明顯的相關(guān)性,與白噪聲相比有比較大的差別;而AR(5)模型的殘差則可認為是白噪聲。同時比較殘差的方差,后者更小。分別用一階模型和本文模型進行預(yù)測,結(jié)果如表6所示。其中,X表示測量值;X1,X2分別表示AR(1)模型和AR(5)模型的預(yù)測值;e1,e2分別表示AR(1)模型和AR(5)模型的預(yù)測誤差。

表6 模型驗證結(jié)果

比較AR(1)模型與AR(5)模型的預(yù)測誤差,后者的方差更小,結(jié)合模型殘差的比較結(jié)果,本文的模型比一階模型更為準(zhǔn)確。

4 結(jié)論

戰(zhàn)斗炮的立靶密集度是武器系統(tǒng)射擊精度的重要組成部分,在傳統(tǒng)武器系統(tǒng)射擊效力分析中,通常假定其為平穩(wěn)不相關(guān)誤差。隨著火炮射速的提高,火炮沖擊載荷所帶來的弱相關(guān)誤差已不能被忽略,其通常用一階模型來表示。本文將時間序列分析引入立靶密集度序列分析,對實測數(shù)據(jù)建立了高階模型。比較兩者的擬合殘差以及預(yù)測誤差,結(jié)果證明了用一階模型來描述脫靶量數(shù)據(jù)精度欠佳,而本文的模型則更為準(zhǔn)確,為更好地分析武器系統(tǒng)射擊效力奠定了基礎(chǔ)。

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