組合KdV方程的Hamilton系統

呂書強+++蔡春+++馬青華

【 摘 要 】 本文根據KdV方程的Hamilton系統，構造并證明了組合KdV方程的Hamilton系統。

【 關鍵詞 】 組合KdV方程；Hmailton算子；Hmailton系統

1 引言

KdV和mKdV 方程是發現最早且最具代表性的非線性發展方程，在數學、物理、工程等領域，都有十分重要的應用前景。近些年來，對它們的可積性質的研究不斷增多，得到一些結論。

本文考慮組合KdV方程

ut = δuxxx+auux+bu2ux （δ，a，b為實常數）

它可看作一維非線性晶格傳播波的模型，也可作為流體力學中的一個模型方程，組合KdV方程是KdV和mKdV方程的復合，既包含有非線性效應，又包含頻散作用。

對于組合KdV方程，已經得到了一些精確解。下面討論它的Hmailton系統。

19世紀20年代Hmailton在描述幾何學時發現了Hmailton系統，成為力學上與Lagrange力學等價的又一種力學描述方式。由于這類系統廣泛存在于數理科學、生命科學以及社會科學的各個領域，特別是天體力學、航天科學以及生物工程中的很多模型都以Hmailton系統（或它的擾動系統）的形式出現，因此該領域的研究多年來成為人們關注的研究方向。

2 相關的定義及定理

定義1 對任意函數f（t，x，u），g（t，x，u），定義內積

=f（t，x，u）g（t，x，u）dx

定理1 線性算子D：Am→Am為Hmailton算子，若其滿足：

（ⅰ）反對稱性：D*=-D ；

（ⅱ）Jacobi恒等式：++=0，p，q，r為任意向量函數。

定義2 一對算子D1，D2稱相容的，若它們的線性組合aD1+bD2也是Hmailton算子，a，b為任意常數。

定義3 若非線性演化方程ut=K（u），K（u） ∈Am

可以表示成ut=D

其中D是Hmailton算子，是泛函∈的變分導數，則稱其為一個Hmailton系統。

定義4 若非線性演化方程ut=K（u），K（u） ∈Am

可以表示成ut=K（u）=D1=D2

其中1，2為相應的Hmailton泛函，而且D1，D2為相容的Hmailton算子對，則稱其具有雙Hmailton系統。

定理2 若H（u）∈F，且H'=（H'）*，則

H=， =dλ

其中是微分函數的全體，H是Hmailton函數，H'是H的Frechét導數，（H'）*是H的共軛。

3 組合KdV方程的Hmailton系統

對于組合KdV方程

ut = δuxxx+auux+bu2ux （δ，a，b為實常數）

可以寫成ut = x （δuxx+u2 +u3 ）=D1

即存在D1=x ，1=（uuxx+u3 +u4 ）dx，

使等式 ut =D1

成立，因此組合KdV方程是一個Hmailton系統。

證明：首先證明1存在，即1=（uuxx+u3 +u4 ）dx，取H1=δuxx+u2 +u3 ，則H1' =au+bu2+δ2x，（H1'）*=au+bu2+δ2x，

即 H1' =（H1'）*

由定理2可得

1=dλ=

=（ δλuuxx+ λ2u3 +λ3u4）dλdx

=（uuxx+u3 +u4 ）dx

其次證明D=x為Hmailton算子。

因為 （i）D*=-x=-D，滿足反對稱性；

（ii）對于p，q，r為任意向量函數，

D1'[D1q]=0 ， D1'[D1r]=0 ， D1'[D1p]=0

∴ + + =0

滿足Jacobi恒等式，因此D=x為Hmailton算子，從而組合KdV方程是一個Hmailton系統。

另外，當b=2a=4δ時，組合KdV方程變為

ut = δ（uxxx+2uux+4u2ux）

可以寫成 ut = （3x +ux +ux ）（4δu）=D2=D1

即存在 D1=x ，1=δ（uuxx+u3 +u4）dx ，

D2=3x +ux +ux ， 2=（2δu2）dx ，

使等式 ut =D2 =D1成立，并且算子D1，D2稱相容的，因此組合KdV方程在b=2a=4δ時，是一個雙Hmailton系統。

證明：首先證明2存在，即2=（2δu2）dx

取H2=4δu，則H'2=4δ， （H'2）*=4δ， 即 H'2= （H'2）*

由定理2可得

2=

dλ=

=（ 4δλu2 ）dλdx =（2δu2 ）dx

其次證明D2=3x +ux +ux為Hmailton算子。

因為（i）D*2=-3x -xu +ux =-3x -ux -ux=-D2，滿足反對稱性；

（ii）對于p，q，r為任意向量函數，

Q D2q=qxxx+uqx+uxq ， D'2[v]=vx+vx

∴D'2[ D2q]r=q3xrx+uqxrx+uxqrx+q4xr+uxqxr+uqxxr+uxxqr

∴pD'2[ D2q]r +qD'2[ D2r]p+rD'2[ D2p]q

=pq3xrx+upqxrx+uxpqrx+pq4xr+uxpqxr+upqxxr+uxxpqr

+qr3xpx+uqrxpx+uxqrpx+qr4xp+uxqrxp+uqrxxp+uxxqrp

+rp3xqx+urpxqx+uxrpqx+rp4xq+uxrpxq+urpxxq+uxxrpq

=[（pxxqr+pqxxr+pqrxx）x-（pxxqrx+pxqxxr+pqxrxx）+u（pqr）x+ux（pqr）]x

∴++=0

滿足Jacobi恒等式，因此D2=3x +ux +ux為Hmailton算子。

最后證明算子D1，D2稱相容的，只需證明aD1+bD2也是Hmailton算子，a，b為任意常數。

令D=aD1+bD2=ax+b（3x +ux +ux）

因為（i）D*=-ax+b（-3x -xu+ux）=-ax+b（-3x -ux-ux）=-D*，滿足反對稱性；

（ii）對于p，q，r為任意向量函數，

Q Dq=aqx+b（qxxx+uqx+uxq） ， D'[v]=bvx+bvx

∴D'[Dq]r=abqxrx+b2（q3xrx+uqxrx+uxqrx）+abqxxr+b2（q4xr+uxqxr+uqxxr+uxxqr）

∴pD'[ Dq]r +qD'[ Dr]p+rD'[ Dp]q

=abpqxr+b2（pq3xrx+upqxrx+uxpqrx）+abpqxxr +b2（pq4xr+uxpqxr+upqxxr+uxxpqr）

+abqrxp+b2（qr3xpx+uqrxpx+uxqrpx）+abqrxxp +b2（qr4xp+uxqrxp+uqrxxp+uxxqrp）

+abrpxq+b2（rp3xqx+urpxqx+uxrpqx）+abrpxxxq+b2（rp4xq+uxrpxq+urpxxq+uxxrpq）

={ab（pqr）x）+b2[（pxxqr+pqxxr+pqrxx）x-（pxxqrx+pxqxxr+pqxrxx）+u（pqr）x+ux（pqr）]}x

∴++=0

滿足Jacobi恒等式，因此D2=3x +ux +ux為Hmailton算子。

從而組合KdV方程具有雙Hmailton系統。

參考文獻

[1] 王明亮.非線性發展方程與孤立子[M].蘭州：蘭州大學出版社，1990.

[2] 谷超豪等.孤立子理論與應用[M].浙江：浙江科技出版社，1995.

[3] 李翊神.孤子與可積系統[M].上海：上海科技教育出版社，1999.

[4] 陳登遠.孤子引論[M].北京：科學出版社，2006.

[5] 王艷紅，王振輝，毛星星. KdV-mKdV方程的精確解[J]. 河南理工大學學報（自然科學版），2013，32（1）：118-121.

[6] 陳金蘭，李向正，王躍明.組合KdV方程的精確解[J].蘭州理工大學學報，2005，31（3）：140-142.

基金項目：

2013年國內訪問學者項目，北京聯合大學新起點計劃項目資助（zk10201412）；北京市屬高等學校高層次人才引進與培養計劃項目（CIT&TCD201404080和CIT&TCD201304089）。

作者簡介：

呂書強（1971-），男， 河南泌陽人，中國礦業大學（北京） ，碩士研究生，副教授，主要從事應用數學的教學和科研工作；主要研究方向和關注領域：為非線性方程。

取H2=4δu，則H'2=4δ， （H'2）*=4δ， 即 H'2= （H'2）*

由定理2可得

2=

dλ=

=（ 4δλu2 ）dλdx =（2δu2 ）dx

其次證明D2=3x +ux +ux為Hmailton算子。

因為（i）D*2=-3x -xu +ux =-3x -ux -ux=-D2，滿足反對稱性；

（ii）對于p，q，r為任意向量函數，

Q D2q=qxxx+uqx+uxq ， D'2[v]=vx+vx

∴D'2[ D2q]r=q3xrx+uqxrx+uxqrx+q4xr+uxqxr+uqxxr+uxxqr

∴pD'2[ D2q]r +qD'2[ D2r]p+rD'2[ D2p]q

=pq3xrx+upqxrx+uxpqrx+pq4xr+uxpqxr+upqxxr+uxxpqr

+qr3xpx+uqrxpx+uxqrpx+qr4xp+uxqrxp+uqrxxp+uxxqrp

+rp3xqx+urpxqx+uxrpqx+rp4xq+uxrpxq+urpxxq+uxxrpq

=[（pxxqr+pqxxr+pqrxx）x-（pxxqrx+pxqxxr+pqxrxx）+u（pqr）x+ux（pqr）]x

∴++=0

滿足Jacobi恒等式，因此D2=3x +ux +ux為Hmailton算子。

最后證明算子D1，D2稱相容的，只需證明aD1+bD2也是Hmailton算子，a，b為任意常數。

令D=aD1+bD2=ax+b（3x +ux +ux）

因為（i）D*=-ax+b（-3x -xu+ux）=-ax+b（-3x -ux-ux）=-D*，滿足反對稱性；

（ii）對于p，q，r為任意向量函數，

Q Dq=aqx+b（qxxx+uqx+uxq） ， D'[v]=bvx+bvx

∴D'[Dq]r=abqxrx+b2（q3xrx+uqxrx+uxqrx）+abqxxr+b2（q4xr+uxqxr+uqxxr+uxxqr）

∴pD'[ Dq]r +qD'[ Dr]p+rD'[ Dp]q

=abpqxr+b2（pq3xrx+upqxrx+uxpqrx）+abpqxxr +b2（pq4xr+uxpqxr+upqxxr+uxxpqr）

+abqrxp+b2（qr3xpx+uqrxpx+uxqrpx）+abqrxxp +b2（qr4xp+uxqrxp+uqrxxp+uxxqrp）

+abrpxq+b2（rp3xqx+urpxqx+uxrpqx）+abrpxxxq+b2（rp4xq+uxrpxq+urpxxq+uxxrpq）

={ab（pqr）x）+b2[（pxxqr+pqxxr+pqrxx）x-（pxxqrx+pxqxxr+pqxrxx）+u（pqr）x+ux（pqr）]}x

∴++=0

滿足Jacobi恒等式，因此D2=3x +ux +ux為Hmailton算子。

從而組合KdV方程具有雙Hmailton系統。

參考文獻

[1] 王明亮.非線性發展方程與孤立子[M].蘭州：蘭州大學出版社，1990.

[2] 谷超豪等.孤立子理論與應用[M].浙江：浙江科技出版社，1995.

[3] 李翊神.孤子與可積系統[M].上海：上海科技教育出版社，1999.

[4] 陳登遠.孤子引論[M].北京：科學出版社，2006.

[5] 王艷紅，王振輝，毛星星. KdV-mKdV方程的精確解[J]. 河南理工大學學報（自然科學版），2013，32（1）：118-121.

[6] 陳金蘭，李向正，王躍明.組合KdV方程的精確解[J].蘭州理工大學學報，2005，31（3）：140-142.

基金項目：

2013年國內訪問學者項目，北京聯合大學新起點計劃項目資助（zk10201412）；北京市屬高等學校高層次人才引進與培養計劃項目（CIT&TCD201404080和CIT&TCD201304089）。

作者簡介：

呂書強（1971-），男， 河南泌陽人，中國礦業大學（北京） ，碩士研究生，副教授，主要從事應用數學的教學和科研工作；主要研究方向和關注領域：為非線性方程。

取H2=4δu，則H'2=4δ， （H'2）*=4δ， 即 H'2= （H'2）*

由定理2可得

2=

dλ=

=（ 4δλu2 ）dλdx =（2δu2 ）dx

其次證明D2=3x +ux +ux為Hmailton算子。

因為（i）D*2=-3x -xu +ux =-3x -ux -ux=-D2，滿足反對稱性；

（ii）對于p，q，r為任意向量函數，

Q D2q=qxxx+uqx+uxq ， D'2[v]=vx+vx

∴D'2[ D2q]r=q3xrx+uqxrx+uxqrx+q4xr+uxqxr+uqxxr+uxxqr

∴pD'2[ D2q]r +qD'2[ D2r]p+rD'2[ D2p]q

=pq3xrx+upqxrx+uxpqrx+pq4xr+uxpqxr+upqxxr+uxxpqr

+qr3xpx+uqrxpx+uxqrpx+qr4xp+uxqrxp+uqrxxp+uxxqrp

+rp3xqx+urpxqx+uxrpqx+rp4xq+uxrpxq+urpxxq+uxxrpq

=[（pxxqr+pqxxr+pqrxx）x-（pxxqrx+pxqxxr+pqxrxx）+u（pqr）x+ux（pqr）]x

∴++=0

滿足Jacobi恒等式，因此D2=3x +ux +ux為Hmailton算子。

最后證明算子D1，D2稱相容的，只需證明aD1+bD2也是Hmailton算子，a，b為任意常數。

令D=aD1+bD2=ax+b（3x +ux +ux）

因為（i）D*=-ax+b（-3x -xu+ux）=-ax+b（-3x -ux-ux）=-D*，滿足反對稱性；

（ii）對于p，q，r為任意向量函數，

Q Dq=aqx+b（qxxx+uqx+uxq） ， D'[v]=bvx+bvx

∴D'[Dq]r=abqxrx+b2（q3xrx+uqxrx+uxqrx）+abqxxr+b2（q4xr+uxqxr+uqxxr+uxxqr）

∴pD'[ Dq]r +qD'[ Dr]p+rD'[ Dp]q

=abpqxr+b2（pq3xrx+upqxrx+uxpqrx）+abpqxxr +b2（pq4xr+uxpqxr+upqxxr+uxxpqr）

+abqrxp+b2（qr3xpx+uqrxpx+uxqrpx）+abqrxxp +b2（qr4xp+uxqrxp+uqrxxp+uxxqrp）

+abrpxq+b2（rp3xqx+urpxqx+uxrpqx）+abrpxxxq+b2（rp4xq+uxrpxq+urpxxq+uxxrpq）

={ab（pqr）x）+b2[（pxxqr+pqxxr+pqrxx）x-（pxxqrx+pxqxxr+pqxrxx）+u（pqr）x+ux（pqr）]}x

∴++=0

滿足Jacobi恒等式，因此D2=3x +ux +ux為Hmailton算子。

從而組合KdV方程具有雙Hmailton系統。

參考文獻

[1] 王明亮.非線性發展方程與孤立子[M].蘭州：蘭州大學出版社，1990.

[2] 谷超豪等.孤立子理論與應用[M].浙江：浙江科技出版社，1995.

[3] 李翊神.孤子與可積系統[M].上海：上海科技教育出版社，1999.

[4] 陳登遠.孤子引論[M].北京：科學出版社，2006.

[5] 王艷紅，王振輝，毛星星. KdV-mKdV方程的精確解[J]. 河南理工大學學報（自然科學版），2013，32（1）：118-121.

[6] 陳金蘭，李向正，王躍明.組合KdV方程的精確解[J].蘭州理工大學學報，2005，31（3）：140-142.

基金項目：

2013年國內訪問學者項目，北京聯合大學新起點計劃項目資助（zk10201412）；北京市屬高等學校高層次人才引進與培養計劃項目（CIT&TCD201404080和CIT&TCD201304089）。

作者簡介：

呂書強（1971-），男， 河南泌陽人，中國礦業大學（北京） ，碩士研究生，副教授，主要從事應用數學的教學和科研工作；主要研究方向和關注領域：為非線性方程。