Hilbert空間中變分不等式與最小范數(shù)不動(dòng)點(diǎn)問題的Noor三步算法收斂性研究
2014-08-25 01:52:40胡長(zhǎng)松
王 波, 胡長(zhǎng)松
湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002
Hilbert空間中變分不等式與最小范數(shù)不動(dòng)點(diǎn)問題的Noor三步算法收斂性研究
王 波, 胡長(zhǎng)松
湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002
提出了一個(gè)Noor三步算法，該算法找到非擴(kuò)張映射下的可作為某些變分不等式解的不動(dòng)點(diǎn)。證明了一個(gè)定理并且得到作為定理的一個(gè)推論，結(jié)果推廣并改進(jìn)了最近他人的結(jié)果。
非擴(kuò)張映射；Noor三步算法；不動(dòng)點(diǎn)；變分不等式；強(qiáng)收斂
0 引言
假設(shè)H是一Hilbert空間，C為H的一非空閉凸子集。映射T:C→C稱為L(zhǎng)-lipschitzian的，即存在一常數(shù)L>0 使得
‖Tx-Ty‖≤L‖x-y‖,?x,y∈C
當(dāng)0 F(T)={x∈C,Tx=x} 我們所熟知的古典變分不等式是指找到一個(gè)x*∈C使得 <Φx*,x-x*>≥0,?x∈X (1) 其中Φ:C→H非線性映射。變分不等式(1)的解記為VI(C,Φ).變分不等式理論在純科學(xué)與應(yīng)用科學(xué)的幾個(gè)分支已被廣泛研究。事實(shí)上，變分不等式的應(yīng)用跨越許多不同的學(xué)科，諸如，微分方程，實(shí)際時(shí)間最優(yōu)控制，優(yōu)化，數(shù)學(xué)規(guī)劃，機(jī)械及金融(詳細(xì)參見[1,2]).為了解決變分不等式及其相關(guān)的最小范數(shù)的解，許多作者已經(jīng)研究了與之相關(guān)的一些算法([3-5])。 最近Sunthrayuth P等提出了如下迭代過程： xn+1=βnxn+(1-βn)PC[αnγSxn+(I-αnF)Txn],?n≥1 (2) 其中PC是H到C的度量投影算子， {αn},{βn}∈(0,1)，S:C→H是lipschitzian映射，F(xiàn):C→H是可逆正線性算子，T:C→C是非擴(kuò)張映射。該文的作者證明αn,βn在不同控制條件下，被方程(2)定義的xn強(qiáng)收斂到T的不動(dòng)點(diǎn)，并且該不動(dòng)點(diǎn)是某些變分不等式的唯一解。 深受可解決變分不等式的Noor三步算法的啟示，我們改進(jìn)了先前的一步算法為三步算法，其中包括了兩步算法。最終我們得到一個(gè)推論作為定理的特例。 定義1 假設(shè)H是一Hilbert空間，C為H的一非空閉凸子集。PC是H到C的度量投影算子，即對(duì)每個(gè)x∈H存在唯一的PC∈C使得 很容易知道，PC為非擴(kuò)張映射且滿足如下不等式： 與此同時(shí)，對(duì)所有的x∈H,z∈C，則 z=PCx? (3) (4) 引理2[8]若T:C→C非擴(kuò)張映射且F(T)≠?.如果存在序列{xn}使得xn弱收斂到x∈C，且xn-Txn強(qiáng)收斂到y(tǒng)∈C，則(I-T)x=y.特別的，若y=0，則x∈F(T). 引理3[10]假設(shè){xn},{ln} 為Banach空間中的有界序列，序列βn∈[0,1] 且滿足0 引理4[7]假設(shè){an} 是一非負(fù)實(shí)數(shù)序列使得 an+1≤(1-σn)an+σnμn,n≥0 其中序列σn∈(0,1)，μn是實(shí)數(shù)序列使得 Tnx=PC[λnγSx+(I-λnF)Tx],?x∈C ‖Tnx-Tny‖≤(1-λnδ)‖x-y‖ 其中實(shí)數(shù)序列{λn},{αn},{βn},{γn}∈(0,1)且滿足如下條件： (F2)limn→∞βn=0,limn→∞|γn+1-γn|=0; (F3)0 則序列xn強(qiáng)收斂到x*∈F(T)，且為如下變分不等式的解 <(γS-F)x*,v-x*>≤0,?v∈F(T) (6) 證明 該定理的證明分為五步。 第一步 證明序列{xn},{yn},{zn} 是有界的。令 un=Tn(yn)=PC[λnγSyn+(I-λnF)Tyn]vn=Tn(zn)=PC[λnγSzn+(I-λnF)Tzn] 又 (7) 與之相似的由(5b)，(5c)我們分別得到 (8) (9) 由于λn,γn,δ∈(0,1)，將(9)代入(8)得 (10) 由于λn,βn,δ∈(0,1)，將(10)代入(7)得 (11) 通過遞推得 同樣的由(9)及(10)我們有 所以 {xn},{yn},{zn}是有界的，并且我們有 {wn},{vn},{γSxn},{γSyn},{γSzn},{FTxn},{FTyn},{FTzn}均是有界的。 第二步 證明 (12) 為了證明(12)我們假設(shè) M≥max{‖xn‖,‖wn‖,‖vn‖,‖γSxn‖,‖γSyn‖,‖γSzn‖,‖F(xiàn)Txn‖,‖F(xiàn)Tyn‖,‖F(xiàn)Tzn‖} 由(5c)我們有下面的推導(dǎo) ‖zn+1-zn‖=‖(1-γn+1)xn+1+γn+1wn+1-(1-γn)xn-γnwn‖≤ (1-γn+1)‖xn+1-xn‖+|γn+1-γn|‖xn‖+γn+1‖wn+1-wn‖+|γn+1-γn|‖wn‖≤ (1-γn+1)‖xn+1-xn‖+2M|γn+1-γn|+γn+1‖wn+1-wn‖ (13) 由引理5得 ‖wn+1-wn‖=‖Tn+1(xn+1)-Tn(xn)‖≤ ‖Tn+1(xn+1)-Tn+1(xn)‖+‖Tn+1(xn)-Tn(xn)‖≤ (1-λn+1δ)‖xn+1-xn‖+‖PC[λn+1γSxn+(I-λn+1F)Txn]-PC[λnγSxn+(I-λnF)Txn]‖≤ (1-λn+1δ)‖xn+1-xn‖+2M|λn+1-λn| (14) 由γn+1∈(0,1)，將(14)代入(13)得 ‖zn+1-zn‖≤(1-γn+1)‖xn+1-xn‖+γn+1[(1-λn+1δ)‖xn+1-xn‖+2M|λn+1-λn|]+ 2M|γn+1-γn|≤ (1-γn+1λn+1δ)‖xn+1-xn‖+2M|λn+1-λn|+2M|γn+1-γn| (15) 同樣的由(5b)得 ‖yn+1-yn‖≤(1-βn+1)‖xn+1-xn‖+βn+1‖vn+1-vn‖+|βn+1-βn|(‖xn‖+‖vn‖)≤ (1-βn+1)‖xn+1-xn‖+βn+1‖vn+1-vn‖+2M|βn+1-βn| (16) 并且， ‖vn+1-vn‖=‖Tn+1(zn+1)-Tn(zn)‖≤ ‖Tn+1(zn+1)-Tn+1(zn)‖+‖Tn+1(zn)-Tn(zn)‖≤ (1-λn+1δ)‖zn+1-zn‖+2M|λn+1-λn| (17) 由于λn,βn,γn,δ∈(0,1)，將(15)，(17)代入(16)得 ‖yn+1-yn‖≤(1-βn+1)‖xn+1-xn‖+βn+1[(1-λn+1δ)‖zn+1-zn‖+ 2M|λn+1-λn|]+2M|βn+1-βn|≤ (1-βn+1λn+1δ)‖xn+1-xn‖+4M|λn+1-λn|+ 2M|βn+1-βn|+2M|γn+1-γn| (18) 此外因?yàn)棣薾,βn,δ∈(0,1)，由引理5得 ‖un+1-un‖=‖Tn+1(yn+1)-Tn(yn)‖≤ ‖Tn+1(yn+1)-Tn+1(yn)‖+‖Tn+1(yn)-Tn(yn)‖≤ (1-λn+1δ)‖yn+1-yn‖+|λn+1-λn}(‖γSyn‖+‖F(xiàn)Tyn‖)≤ ‖xn+1-xn‖+6M|λn+1-λn|+2M|βn+1-βn|+2M|γn+1-γn| 即 ‖un+1-un‖-‖xn+1-xn‖≤(6|λn+1-λn|+2|βn+1-βn|+2|γn+1-γn|)M (19) (20) (21) (22) (23) 觀察到 ‖xn-Txn‖≤‖xn-xn+1‖+‖(1-αn)xn+αnTn(yn)-Txn‖≤ ‖xn-xn+1‖+(1-αn)‖xn-Txn‖+αn‖Tn(yn)-Txn‖ 并且 從而 由條件F2，F(xiàn)3及(22)得 (24) 第四步：證明 lim supn→∞<γSx*-Fx*,un-x*>≤0.其中x*與(6)式一樣。 因?yàn)閧un} 有界，存在{un} 的子列{ui} 使得 lim supn→∞<γSx*-Fx*,un-x*>=lim supi→∞<γSx*-Fx*,ui-x*> 假設(shè)當(dāng)i→∞ 時(shí)，ui弱收斂到v.由(21)與(24)及引理2得v∈F(T)且 lim supn→∞<γSx*-Fx*,un-x*>=lim supn→∞<γSx*-Fx*,xn-x*>= lim supi→∞<γSx*-Fx*,xni-x*>= <(γS-F)x*,v-x*>≤0 (25) 第五步：當(dāng)n→∞，xn→x*,x*與(6)式同。令tn=λnγSyn+(I-λnF)Tyn則un=PCtn 由(3)有如下式子： (26) (27) 則(27)簡(jiǎn)化為 ‖xn+1-x*‖2≤(1-τn)‖xn-x*‖2+τnkn (28) 推論1 在定理1中假設(shè)S≡0,F≡I，其它條件不變，則序列{xn} 收斂到最小范數(shù)不動(dòng)點(diǎn)x*∈F(T). 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Thestrongconvergenceofathree-stepalgorithmforvariationalinequalitiesandminimum-normfixedpointinHilbertspaces WANG Bo, HU Chang-song (College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China) In this paper,we introduce a Noor three-step algorithm for finding a fixed point of a nonexparsive mapping T,which is a unique solution of some variational inequalities.We prove a therorem and get a corollary as a special case of our therorem.The main results in this paper exterd and inprove the recent ores annouecd by many others. nonexpansive mapping；Noor three-step method；fixed point ；variational inequality ；strong convergence；Hilbert spac 2014—04—02 王波(1988— )，男，湖北松滋人，研究方向?yàn)槌橄蟮惴ú粍?dòng)點(diǎn). O151.21 A 1009-2714(2014)04- 0068- 06 10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.0151 預(yù)備知識(shí)
2 主要結(jié)果
