脈沖隨機微分方程的 a.s.指數穩定性

劉 翙，徐麗麗

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

脈沖隨機微分方程的 a.s.指數穩定性

劉 翙，徐麗麗

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

基于It隨機微積分理論，運用Lyapunov函數的方法，Borel-Cantelli引理及隨機分析技巧得到了帶脈沖隨機微分方程零解a.s.指數穩定的條件.

隨機微分方程；脈沖； a.s指數穩定

近幾十年來，SDE在物理、力學、化學、生物學、經濟與金融學、控制理論等多個學科領域已經被廣泛研究.SDE在期權定價、人口預測和最優投資策略的確定等方面發揮著重要作用.然而，對于那些除了受Gauss白噪聲影響以外還受到一些重要因素影響的模型，我們不能用經典的隨機微分方程模型來建模.因此，為了對這一類現象進行建模，提出了帶跳的隨機微分方程.

Wu Han和Ming[1]首次提出了由一般的隨機序列 {ξk}驅動的帶跳的隨機微分方程

(1)

其中 {tk}是一個實數序列，表示脈沖時刻，即x(tk)發生劇烈變化的時刻，滿足t0

1 預備知識

本文中會用到的記號和定義如下：

1)設y為一向量， |·|表示其歐幾里得范數.

3)假設B(t)是一m維的布朗運動.

4)E=Ep表示概率測度p的期望.

考慮如下脈沖隨機微分方程：

(2)

其中

t∈[t0,∞),t0

f:[t0,∞)×n→n,f(t,0)≡0,t≥t0,

g:[0,∞)×n→n×m,g(t,0)≡0,t≥t0,

△x(t)表示x在時刻t的躍變即 △x(t)=x(t+)-x(t-)=x(t)-x(t-),

Ik:n→n,Ik(0)=0,x0是一個獨立于B(s),s>0 的隨機變量.

對于方程(2)，假設下面條件H成立：

H：存在唯一的右連左極隨機過程x(t)滿足(2)且

E|x(t,t0,x0)|p<∞,p>0,t≥t0

定義1 設p>0 若?x0∈d,x(t,x0)有負的Lyapunov指數，即

則方程(2)零解a.s. 指數穩定.

為了研究(2)的穩定性，現引進一些重要的記號.

c1,2(表示在×n上的所有對t一次可微，對x連續二次可微的非負函數v(t,x)族.對每一個v(t,x)∈c1,2(定義(2)上的一個無窮小算子Lvi,i=1,2,…,l

其中

2 主要結果

本節將討論(2)的零解a.s. 指數穩定性，在給出主要結果之前先給出一個引理.

引理1 設β(t):[t0,∞)→上的可積函數.對(2)如果存在v(t,x)∈c1,2(使得

則有

證明 令h>0 充分小，使得t,t+h∈[τk-1,τk)，由廣義It公式，有

D+m(t)表示m(t)的迪尼導數，則由上式知D+m(t)≤β(t)m(t),則

引理證畢.

定理1 設a1,a2,λ,K為正實數，λ1(t),dk(t)[t0,∞)→為 可積函數.如果存在v(t,x)∈c1,2(使得以下條件滿足

v)|xTf(t,x)|∨|g(t,x)|2≤K|x|2,t≥0,x∈Rd,t≠τk.

則方程(2)的零解a.s. 指數穩定.

證明 由iv)，存在M>0,使得

對t∈[t0,τ1)，由引理1及條件i)和iii)可得

(3)

下面證明t∈[τm-1,τm),m∈N,有

(4)

假設當t∈[τm-1,τm),m=k時(4)成立，即

(5)

當t=τk時，由ii)得

則當t∈[τk,τk+1)，由引理1，有

(6)

根據數學歸納法，由(3)(5)(6)知(4)對所有t∈[τm-1,τm),m∈N都成立，即

由i)得

即

由iv)得

代入上式可得E|x(t)|p

E|x(t)|p≤conste-λt(t≥t0)

(7)

若證得

(8)

由定義1知即證得(2)的零解 a.s.指數穩定.

若要證(8)，只要指明，對幾乎所有w∈Ω,?ε>0，有 |x(t)|p≤conste(-λ+ε)t，t充分大,取定τ>0，將以上不等式轉化為如下離散不等式：

(9)

由Chebyshev不等式

若能得出矩估計

(10)

即bnenτ(-λ+ε)≤constenτ(-λ)，則bn≤conste-nτε

對上式應用Borel-Cantelli引理得

下面將證明(10)成立。

取定τ=1，估計hn由v)、BDG不等式及(7)可得

則hn≤const·en(-λ).

又t0<τ1<τ2<…<τk<…,τk→∞,{τk} 為一可列集，其測度為零.t=τk時(8)仍然成立.

由定義1知方程(2)的零解 a.s.指數穩定.定理證畢.

[1]Wu S J,Han D,Meng X Z. p-moment stability of stochastic differential equations with jumps[J].Applied Mathematics and Computation,2004,152:505～519.

[2]Wu H T,Sun J T.p -moment stability of stochastic differential equationswith impulsive jump and Markovian switching[J].Automatica,2006,42:1753～1759.

[3]Liu B.Stability of solutions for stochastic impulsive systems via comparison approach[J].IEEE Trans Autom Control,2008,53:2128～2133.

[4]Shen L J,Sun J T.p -moment exponential stability of stochastic differential equations with impulse effect[J].Science China,2001,54:1702～1711.

[5]吳述金，韓 東.隨機脈沖隨機微分方程解的存在唯一性[J].數學學報，2008，51:1041～1052.

[6]胡適耕，黃乘明．隨機微分方程[M].北京：科學出版社，2008.

Thealmostsurelyexponentialstabilityofstochasticdifferentialequationswithimpulseeffect

LIU Hui , XU Li-li

(College of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi 435002,China)

This paper is devoted to the stability of stochastic differential equations with impulse effect.Based on the theory of It's stochastic calulus,the almost surely exponential stability of stochastic differential equations with impulse effect is addressed.By employing the method of vector Lyapunov functions, Borel-Cantelli lemma and some techinques in stochastic analysis some sufficient conditions for the almost surely exponential stability are established.

stochastic differential equations; impulse effect; almost surely exponential stability

2014—05—20

劉翙(1989— )，女，湖北襄陽人，碩士研究生，研究方向為隨機微分方程的穩定性.

O211

A

1009-2714(2014)04- 0063- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.014