橢球膨脹法在高原長距離工程中的應(yīng)用

張 辛，姜本海，李志鵬，羅洪波

(長江勘測規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，湖北 武漢 430010)

橢球膨脹法在高原長距離工程中的應(yīng)用

張 辛，姜本海，李志鵬，羅洪波

(長江勘測規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，湖北 武漢 430010)

對5種橢球膨脹方法進(jìn)行系統(tǒng)的理論推導(dǎo)與分析，并在云南滇中引水這一典型的高原長距離工程中應(yīng)用。研究獲取橢球長半軸變化量、基準(zhǔn)點(diǎn)大地坐標(biāo)變化量、測區(qū)端點(diǎn)高斯坐標(biāo)變化量與長度變形值等測算數(shù)據(jù)，并分析各種橢球膨脹方法數(shù)據(jù)結(jié)果的差異性與合理性。結(jié)果表明，平面解析法與廣義微分法更適合作為高原長距離工程的橢球膨脹方法。

橢球膨脹；高原；獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)；平面解析法；廣義微分法

對于高原長距離工程，存在測區(qū)遠(yuǎn)離中央子午線與平均高程較大的問題，若使用國家坐標(biāo)系統(tǒng)會(huì)導(dǎo)致測距邊的長度變形擴(kuò)大，難以滿足工程的精度要求，因而需要建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)[1-2]。獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)建立時(shí)，常使用橢球變換的方式縮小投影變形[3-5]。橢球變換方法包括橢球膨脹法、橢球平移法和橢球變形法等，其中橢球膨脹法在工程實(shí)踐中應(yīng)用廣泛[6]。

1 橢球膨脹方法理論

橢球膨脹法的基本原理：保持橢球中心與橢球扁率不變，使橢球膨脹放大到所需的投影面高度。如圖1 所示，P0為地面上的基準(zhǔn)點(diǎn)，其在基礎(chǔ)橢球E1上的對應(yīng)點(diǎn)為P1，E1沿P0的法線方向P0P1膨脹Δh到所定義的投影面Fh，形成膨脹后的橢球E2，E2上的對應(yīng)點(diǎn)為P2；其中Δh為P1到P2點(diǎn)的距離，即Fh為投影面在基礎(chǔ)橢球E1上的大地高。橢球膨脹前后，橢球的長半軸發(fā)生變化，而針對其變化量存在多種計(jì)算方式[7-10]。

圖1 橢球膨脹示意圖

1.1 直接法

直接法是直接將投影面大地高定為橢球長半軸的變化量，即Δa=Δh。

1.2 平均曲率半徑法

該方法近似認(rèn)為橢球膨脹過程是沿著P1點(diǎn)處的平均曲率半徑的方向。

(1)

式中：R1，R2分別為基準(zhǔn)點(diǎn)在基礎(chǔ)橢球與膨脹橢球上的平均曲率半徑；M，N為基礎(chǔ)橢球的子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑；a1，a2分別為基礎(chǔ)橢球和膨脹橢球的長半軸；e為橢圓的第一偏心率；B1，B2分別是基準(zhǔn)點(diǎn)在基礎(chǔ)橢球與膨脹橢球的大地緯度。由式(1)推得

(2)

由于B1≈B2，因此可求得長半軸的變化量為

(3)

1.3 卯酉曲率半徑法

由于基礎(chǔ)橢球是沿著法線P0P1的方向進(jìn)行膨脹；假設(shè)膨脹后的橢球E2在P2處的法線與P0P1重合，則投影面的大地高等于卯酉圈曲率半徑N的變化量，即ΔN=Δh，再由

(4)

得出

(5)

同樣由B1≈B2，可以得到長半軸的變化量為

(6)

1.4 平面解析法

上述幾種方法均存在近似的推導(dǎo)過程，如卯酉圈曲率半徑法是在假設(shè)橢球膨脹前后的法線重合，并且有B1≈B2時(shí)實(shí)現(xiàn)。但由于橢球面具有各向異性，所以橢球膨脹后法線的方向可能變化，并且基準(zhǔn)點(diǎn)的緯度也可能不同。因此，需要用更嚴(yán)密的解析法推導(dǎo)橢球長半軸的變化量。

如圖2所示，在子午平面直角坐標(biāo)系中，基礎(chǔ)橢球在P1處的法線方向仍是P1P2，并延長交橢球短半軸于n1點(diǎn)，即P1n1為P1點(diǎn)在基礎(chǔ)橢球E1上的卯酉圈曲率半徑；而膨脹橢球E2在P2點(diǎn)的法線方向?yàn)镻2n2，即P2n2為P2點(diǎn)在膨脹橢球E2上的卯酉圈曲率半徑。在此平面坐標(biāo)系統(tǒng)中，P1點(diǎn)的坐標(biāo)(X1,Y1)與P2點(diǎn)的坐標(biāo)(X2,Y2)分別為

X1=P1n1·cos (B1)=N1·cos (B1)，

Y1=P1Q1·sin (B1)=N1·(1-e2)·sin (B1);

(7)

X2=P2n2·cos (B2)=N2·cos (B2)，

Y2=P2Q2·sin (B2)=N2·(1-e2)·sin (B2).

(8)

再由P1P2=Δh，也可推得P2點(diǎn)的坐標(biāo)為

X2=P2n1·cos (B1)=(N1+Δh)·cos (B1)，

Y2=P2Q1·sin (B1)=N1·(1-e2)·

sin (B1)+Δh·sin (B1).

(9)

由式(8)、式(9)得

(10)

由式(10)變換，求得tan (B2)表達(dá)式為

(11)

由式(11)可知，膨脹橢球的大地緯度B2總是大于等于B1；并可由此式求得B2。再由式(8)與式(9)中X2的表達(dá)式，可得N2的表達(dá)式為

(12)

綜合式(5)中a2的表達(dá)式，及式(11)與式(12)，可得到膨脹橢球E2的長半軸a2與Δh的關(guān)系式。

圖2 橢球膨脹平面解析法

1.5 廣義微分法

該方法是利用廣義大地坐標(biāo)微分公式確定橢球長半軸變化量。對于廣義橢球的變換模型，廣義大地坐標(biāo)微分公式為

(13)

代入不同的平移參數(shù)(dX0,dY0,dZ0)、旋轉(zhuǎn)參數(shù)(εX,εY,εZ)、橢球幾何要素(da,d?)和尺度因子Δm，可以計(jì)算得出橢球變換后的大地坐標(biāo)變化量。由于橢球膨脹法不改變橢球的定位、定向、尺度和扁率，因此微分公式中包含空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的8個(gè)參數(shù)項(xiàng)全部可以忽略，僅保留橢球長半軸的變化量，化簡后可得到P點(diǎn)從基礎(chǔ)橢球E1的大地坐標(biāo)(B1,L1,H1)到膨脹橢球E2的變化量為

(14)

式中：M為子午圈曲率半徑。在橢球膨脹過程中，投影面與E2橢球面越接近，吻合程度越好，若要投影面與E2橢球面重合，則有

(15)

進(jìn)而得到長半軸的變化量為

(16)

2 工程應(yīng)用實(shí)例分析

本文使用云南滇中引水工程的分段干線數(shù)據(jù)對多種橢球膨脹方法分別進(jìn)行分析。滇中引水工程全長共約850 km ，其中東西跨度約400 km ，南北跨度約545 km ，引水線路從海拔2 064 m至海拔1 401 m,是典型的高原長距離大型線性工程。

2.1 國家3°帶測區(qū)分析

滇中引水工程干渠線路從東經(jīng)99°～103°，跨越了兩個(gè)國家3°投影帶，本文只選取分段的102°中央子午線區(qū)域進(jìn)行分析。該測段從東經(jīng)100°30′延伸至103°29′，基本在中央子午線兩側(cè)平均分布。因此，在進(jìn)行橢球膨脹時(shí)，選擇的膨脹基準(zhǔn)點(diǎn)為經(jīng)度L0=102°處。此外，該測段的平均正常高為1800 m，區(qū)域高程異常為29.933 m，所以得到投影面高程Δh=1 829.933 m。再使用上述介紹的橢球膨脹方法分別計(jì)算橢球長半軸的變化量，如表1所示。其中，平均曲率半徑法的變化量最大，卯酉曲率半徑法變化量最小，而居中的3個(gè)變化量中，平面解析法與廣義微分法的變化量極為接近，僅有1.7×10-6m的差值。

由橢球長半軸的變化量能夠獲取膨脹后的橢球參數(shù)，從而獲取新橢球上各點(diǎn)的大地坐標(biāo)。此處針對基準(zhǔn)點(diǎn)，分別求取經(jīng)度、緯度與高程的變化量，見表2。其中，各種方法的經(jīng)度變化均為零，緯度變化均是正值，這與廣義微分法獲取的式(14)吻合，并且，也能看到膨脹前后的基準(zhǔn)點(diǎn)緯度差異較為明顯，平均曲率半徑法與卯酉曲率半徑法忽略了這種緯度差，模型不嚴(yán)密。

此外，不同方法的高程變化差異較大，這反映采用不同方法進(jìn)行膨脹后，投影面與膨脹橢球E2的吻合度有所差異；高程變化的數(shù)值越小，吻合程度越好。因此，無高程差異的平面解析法是吻合程度最好的，其次是廣義微分法，有2×10-6m的微小差值；而平均曲率半徑法與卯酉曲率半徑法的吻合效果較差，高程吻合度均不如直接法。

從上述分析可知，使用不同方法對滇中引水測區(qū)進(jìn)行橢球膨脹，會(huì)造成顯著的橢球長半軸差值與基準(zhǔn)點(diǎn)高程變化差值。由于工程要求進(jìn)行高斯投影變換，則投影變換后的坐標(biāo)差異仍有待探求。本文對測區(qū)的西端點(diǎn)(L=100°30′)與東端點(diǎn)(L=103°29′)，使用不同的橢球膨脹方法，分別進(jìn)行高斯投影變換，并統(tǒng)計(jì)端點(diǎn)的平面距離，再與原始橢球的坐標(biāo)與距離求差值。如表3所示，分別列出兩端點(diǎn)的ΔX,ΔY及平面距離差。其中，使用平均曲率半徑法獲取的高斯投影坐標(biāo)值最大，相應(yīng)的端點(diǎn)平面距離最長；使用卯酉曲率半徑法獲取的坐標(biāo)值最小，端點(diǎn)平面距離也最??；端點(diǎn)坐標(biāo)差值最大達(dá)2.236 m，平面距離差值最大為0.310 m，差異較為明顯。由于滇中引水工程線路較長，計(jì)劃使用1°的高斯投影方式控制投影變形；因此，本文也繼續(xù)使用1°帶測區(qū)進(jìn)行橢球膨脹方法的比較分析。

2.2 國家1°帶測區(qū)分析

為了與上述的3°帶測區(qū)結(jié)果形成對比，本文在1°帶測區(qū)中也選擇102°中央子午線區(qū)域進(jìn)行分析。該測段從西端點(diǎn)(L=101°30′)延伸至東端點(diǎn)(L=102°30′)，均勻分布在中央子午線兩側(cè)。因此，選擇的橢球膨脹基準(zhǔn)點(diǎn)仍為經(jīng)度L0=102°處；投影面高程仍是Δh=1 829.933 m。使用不同的橢球膨脹方法獲取的長半軸變化量與基準(zhǔn)點(diǎn)大地坐標(biāo)變化量與3°帶測區(qū)相同。因此，只在1°帶測區(qū)內(nèi)對端點(diǎn)進(jìn)行高斯投影變換，統(tǒng)計(jì)端點(diǎn)的平面距離，并仍與原始橢球的坐標(biāo)及距離求差值，具體數(shù)據(jù)如表4所示。

其中，端點(diǎn)坐標(biāo)差值最大仍能達(dá)2.213 m，而平面距離差值最大為0.060 m?？梢?，即使在1°帶測區(qū)內(nèi)，不同膨脹方法帶來的高斯坐標(biāo)差異仍較大。兩端點(diǎn)的平面距離差值雖有大幅下降，但這是基于測區(qū)從3°范圍減小為1°范圍而引起的。為了更準(zhǔn)確地分析不同橢球膨脹方法的差異，本研究進(jìn)一步進(jìn)行單位長度的變形分析。如表5所示，是針對各種橢球膨脹方法分別計(jì)算兩端點(diǎn)的高斯投影變形量與高程歸化變形量[7]。由表中數(shù)據(jù)分析可知，各膨脹方法的高斯投影變形相同，這是由于各點(diǎn)的Y值變化很小(見表4)，高斯變形量變化甚微。各方法帶來的高程變形差異較大，最大差值可達(dá)0.08 cm/km,這種變形差異正是來自于投影面與膨脹橢球的吻合度差異，如前面針對表2數(shù)據(jù)的分析，吻合度最好的平面解析法與廣義微分法計(jì)算的高程歸化變形值一致。

表1 橢球長半軸的變化量 m

表2 膨脹橢球上基準(zhǔn)點(diǎn)大地坐標(biāo)變化量

表3 橢球膨脹后3°帶高斯投影比較 m

表4 橢球膨脹后1°帶高斯投影比較 m

表5 橢球膨脹后1°帶長度變形 cm/km

3 橢球膨脹方法的適用性分析

綜上分析，在滇中引水這一典型的高原長距離工程中，使用不同的橢球膨脹方法構(gòu)建坐標(biāo)系統(tǒng)后，計(jì)算得到的點(diǎn)位坐標(biāo)與高程有較大差異。因此選擇合適的橢球膨脹方法對工程坐標(biāo)系統(tǒng)的建立尤為重要。

直接法是簡化的模型方法，其理論基礎(chǔ)不完善，不推薦在大型工程中應(yīng)用。

平均曲率半徑法將橢球膨脹方向近似為橢球的平均曲率方向，并忽略膨脹前后基準(zhǔn)點(diǎn)的緯度差異。在滇中引水工程計(jì)算時(shí)，其點(diǎn)位坐標(biāo)、高程值與其它模型方法差異較大，應(yīng)避免在長距離工程中使用。但該方法在局部區(qū)域能一定程度地削弱橢球面不平行造成的誤差，可考慮在小范圍工程中使用[8]。

4 結(jié)束語

在各種方法中，理論最嚴(yán)密的是平面解析法與廣義微分法。前者是利用平面解析幾何的方式推導(dǎo)詳細(xì)的膨脹橢球長半軸計(jì)算公式，后者是基于廣義大地坐標(biāo)微分公式確定橢球長半軸變化量；兩種方法在滇中引水工程計(jì)算中的結(jié)果互為印證，是本工程推薦使用的橢球膨脹方法。但這兩種方法中，平面解析法模型構(gòu)建復(fù)雜，使用不太便利；而廣義微分法在投影面與橢球的吻合度上有微小誤差(如表2所示)，均有進(jìn)一步改進(jìn)的空間。

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[責(zé)任編輯：張德福]

Ellipsoid expansion methods in highland long-distance project

ZHANG Xin，JIANG Ben-hai，LI Zhi-peng，LUO Hong-bo

(Changjiang Institute of Survey, Planning, Design and Research, Wuhan 430010，China)

Five kinds of ellipsoid expansion methods are systematically analyzed and applied to the water diversion project in Central Yunnan, as the typical high altitude long-distance project.Firstly, this research obtains the semi-major axis of ellipsoid, geodetic coordinate variation of reference points, gauss coordinate variation of endpoints, and length variation.Then, the difference and rationality of all the ellipsoid expansion methods are analyzed.The results indicate the plane analytic method and generalized differential method are more suitable as the ellipsoid expansion methods of high altitude long-distance project.

ellipsoid expansion; highlands; independent coordinate system; plane analytic method; generalized differential method

2014-02-24

湖北省博士后創(chuàng)新崗位基金資助項(xiàng)目

張 辛(1983-)，男，博士后，工程師.

P221

：A

：1006-7949(2014)09-0040-05