帶有Banach代數(shù)的錐度量空間中的一類公共不動(dòng)點(diǎn)定理

黃華平，胡松林，明 巍, 周 惠

(1.湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002;2.黃石二中 數(shù)學(xué)組，湖北 黃石 435003)

帶有Banach代數(shù)的錐度量空間中的一類公共不動(dòng)點(diǎn)定理

黃華平1，胡松林1，明 巍1, 周 惠2

(1.湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002;2.黃石二中 數(shù)學(xué)組，湖北 黃石 435003)

首先介紹了帶有Banach代數(shù)的錐度量空間的相關(guān)概念，然后給出此空間中的一類公共不動(dòng)點(diǎn)定理，并且舉例說明其應(yīng)用.

錐度量空間；廣義Lipschitz常數(shù)；弱相容的

自從2007年黃龍光[1]等人引入了錐度量空間的概念，延拓了普通的度量空間，并且在此基礎(chǔ)上推廣了著名的Banach壓縮映像原理以來，許多學(xué)者致力于此空間中不動(dòng)點(diǎn)及公共不動(dòng)點(diǎn)定理的研究工作. 在此基礎(chǔ)上，如雨后春筍，近幾年已經(jīng)涌現(xiàn)出了大量的杰出的工作(見文獻(xiàn)[2～7]). 然而，從2012年開始，關(guān)于錐度量空間上的不動(dòng)點(diǎn)定理的研究已不再成為熱門課題. 究其原由，是因?yàn)樽罱延袑W(xué)者[8～9]通過作出一個(gè)從錐度量空間到度量空間的映射，證明了錐度量空間中有很多不動(dòng)點(diǎn)結(jié)果可以原封不動(dòng)地直接由度量空間中的相應(yīng)結(jié)果平移過來，也就是說，錐度量空間中的很多結(jié)果實(shí)質(zhì)上是和度量空間中的相關(guān)結(jié)果是等價(jià)的. 這一發(fā)現(xiàn)使得錐度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)的研究繼續(xù)進(jìn)行下去步履維艱.

2013年11月，劉浩[10～11]等人首次引入了帶有Banach代數(shù)的錐度量空間，證明了在此空間上的不動(dòng)點(diǎn)結(jié)果和度量空間中相應(yīng)結(jié)果并不是等價(jià)的，而且很有理論意義和現(xiàn)實(shí)意義，這使得學(xué)者們把目光投向于此空間上的不動(dòng)點(diǎn)結(jié)果的研究. 基如此，本文得到了帶有Banach代數(shù)的錐度量空間中的一類公共不動(dòng)點(diǎn)定理，并且給出例子驗(yàn)證了我們的結(jié)論是很有意義的.

定義1 設(shè)A為Banach代數(shù)，θ和e分別為A的零元和單位元，P為A的一個(gè)非空閉子集，+為非負(fù)實(shí)數(shù)集. 若滿足

1){θ,e}?P；

2)?α,β∈+?αP+βP?P；

3)P2=PP?P；

4)P∩(-P)={θ}

則稱P為A中的一個(gè)錐. 設(shè)x,y∈A, 若x≤y?y-x∈P和x?y?y-x∈intP, 則稱“≤ ”和“? ”都為A中的偏序. 如果?x,y∈A都存在常數(shù)M>0，使得

θ≤x≤y?‖x‖≤M‖y‖

則稱P為A中的正規(guī)錐. 而滿足上式最小的M稱為P的正規(guī)常數(shù).

定義2 設(shè)X為非空集，A為Banach代數(shù). 假定映射d:X×X→A滿足：

i)θ≤d(x,y)(?x,y∈X),d(x,y)=θ?x=y

ii)d(x,y)=d(y,x)(?x,y∈X)

iii)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,x)(?x,y,z∈X)

則稱d為X上的錐度量，而稱(X,d) 為帶有Banach代數(shù)的錐度量空間.

定義3 設(shè) (X,d)為帶有Banach代數(shù)A的錐度量空間， {xn}?X,x∈X， 則

2)若?θ?c,總存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，都有d(xn,xm) ?c,則稱 {xn}為X中的Cauchy列.

3)若X中的每個(gè)Cauchy列都在X中是收斂的，則稱(X,d) 是完備的.

定義4 設(shè)X為非空集，f,g:X→X為兩個(gè)映射，則

1)若?x∈X，使得y=fx=gx,則稱x為f和g的重合點(diǎn)，而稱y為f和g的耦合點(diǎn).

2)若f和g在它們的任一重合點(diǎn)x∈X處都可交換，即fgx=gfx,則稱(f,g) 是弱相容的.

引理2[5]設(shè)X為非空集，f,g:X→X為兩個(gè)映射， (f,g)是弱相容的. 若f和g在X中有唯一的耦合點(diǎn),則y也是f和g在X中唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

定理1 設(shè) (X,d)為帶有Banach代數(shù)A的錐度量空間，且A有單位元e,P為帶有正規(guī)常數(shù)M的正規(guī)錐. 假定映射f,g:X→X滿足

d(fx,fy)≤kd(gx,gy),?x,y∈X

其中k∈P為廣義Lipschitz常數(shù)，滿足ρ(k)<1. 如果f(X) ?g(X),g(X) 是X的完備子空間，那么f和g在X中有唯一的耦合點(diǎn). 并且當(dāng)(f,g) 是弱相容的，則f和g在X中有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明 ?x0∈X,由條件可作點(diǎn)列{xn}?X滿足fxn=gxn+1. 由于

d(gxn+1,gxn)=d(fxn,fxn-1)≤kd(gxn,gxn-1)≤k2d(gxn-1,gxn-2)≤…≤knd(gx1,gx0)

于是對(duì)?n>m,由引理1，有

再由P的正規(guī)性，有

‖d(gxn,gxm)‖≤M‖(e-k)-1‖·‖km‖·‖d(gx1,gx0)‖

d(gxn,fp)=d(fxn-1,fp)≤kd(gxn-1,gp)

結(jié)合P的正規(guī)性，有

‖d(gxn,fp)‖≤M‖k‖·‖d(gxn-1,gp)‖→0(n→∞)

從而d(gxn,fp)→θ(n→∞) . 又顯然d(gxn,gp)→θ(n→∞) 因此由極限的唯一性有fp=gp. 下證f和g有唯一的耦合點(diǎn).

用反證法. 假設(shè)?p′≠p,使得fp′=gp′ . 遂有

d(gp′,gp)=d(fp′,fp)≤kd(gp′,gp)≤…≤knd(gp′,gp)

再次運(yùn)用P的正規(guī)性，有

‖d(gp′,gp)‖≤M‖kn‖·‖d(gp′,gp)‖→0 (n→∞)

故d(gp′,gp)=θ, 即gp′=gp.最后由引理2即得f和g有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

定理2 設(shè)(X,d) 為帶有Banach代數(shù)A的錐度量空間，且A有單位元e,P為帶有正規(guī)常數(shù)M的正規(guī)錐. 假定映射f,g:X→X滿足

d(fx,fy)≤k[d(fx,gx)+d(fy,gy)],?x,y∈X

證明 ?x0∈X,由條件可作點(diǎn)列{xn} ?X滿足fxn=gxn+1.由于

d(gxn+1,gxn)=d(fxn,fxn-1)≤k[d(fxn,gxn)+d(fxn-1,gxn-1)]=k[d(gxn+1,gxn)+d(gxn,gxn-1)]

故d(gxn+1,gxn)≤hd(gxn,gxn-1)≤…≤hnd(gx1,gx0)

此處h=(e-k)-1k. 由引理1及譜半徑的連續(xù)性有

遂 ‖hn‖→0(n→∞). 然后類似定理1的證明得到?q∈g(X),使得gxn→q(n→∞) .由此，?p∈X,適合gp=q.因?yàn)?/p>

d(gxn,fp)=d(fxn-1,fp)≤k[d(fxn-1,gxn-1)+d(fp,gp)]

結(jié)合錐度量的連續(xù)性，上式兩端取極限可得d(gp,fp)≤kd(fp,gp),所以

d(fp,gp)≤kd(fp,gp)≤…≤knd(fp,gp)

再由P的正規(guī)性，有

‖d(fp,gp)‖≤M‖kn‖·‖d(fp,gp)‖→0 (n→∞)

于是fp=gp.下證f和g有唯一的耦合點(diǎn).

用反證法. 假設(shè)?p′≠p,使得fp′=gp′ . 遂有

d(gp′,gp)=d(fp′,fp)≤k[d(fp′,gp′)+d(fp,gp)]=θ

導(dǎo)出gp′=gp.最后由引理2即得f和g有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

定理3 設(shè)(X,d) 為帶有Banach代數(shù)A的錐度量空間，且A有單位元e,P為帶有正規(guī)常數(shù)M的正規(guī)錐. 假定映射f,g:X→X滿足

d(fx,fy)≤k[d(fx,gy)+d(fy,gx)],?x,y∈X

證明 ?x0∈X,由條件可作點(diǎn)列{xn}?X滿足fxn=gxn+1. 由于

d(gxn+1,gxn)=d(fxn,fxn-1)≤k[d(fxn,gxn-1)+d(fxn-1,gxn)]≤k[d(gxn+1,gxn)+d(gxn,gxn-1)]

故由定理2類似的方法有?q∈g(X), 使得gxn→q(n→∞) .由此，?p∈X, 適合gp=q.因?yàn)?/p>

d(gxn,fp)=d(fxn-1,fp)≤k[d(fxn-1,gp)+d(fp,gxn-1)]

結(jié)合錐度量的連續(xù)性，上式兩端取極限，所以d(gp,fp)≤kd(fp,gp). 再次由定理2類似的方法有fp=gp. 下證f和g有唯一的耦合點(diǎn).

用反證法. 假設(shè)?p′≠p, 使得fp′=gp′ .于是

d(gp′,gp)=d(fp′,fp)≤k[d(fp′,gp)+d(fp,gp′)]=2kd(gp′,gp)

因?yàn)棣?2k)=2ρ(k)<1, 所以應(yīng)用定理1類似的方法得到gp′=gp. 最后由引理2即得f和g有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

例1 設(shè)

規(guī)定乘積是通常的矩陣乘法，則A為帶有單位元e(單位矩陣)的Banach代數(shù). 設(shè)X=,定義

[1]Huang L G,Zhang X.Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,332(2): 1468～1476.

[2]Huang Huaping. Conditions of non-normality in cone metric spaces[J], Mathematica Applicata, 2012, 25(4): 894～898.

[3]韓 艷,黃國華.錐度量空間中非連續(xù)擴(kuò)張映射的公共不動(dòng)點(diǎn)定理[J]. 湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，32(1)：41～44.

[4]黃國華，石 露. 錐度量空間中擴(kuò)張映射的公共不動(dòng)點(diǎn)定理[J]. 湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，32(3)：58～62.

[5]Abbas M, Jungck M. Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity in cone metric spaces[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2008, 341: 416～420.

[6]Farajzadeh A P.Fixed point theory for generalized contractions in cone metric spaces[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2012,17:708～712.

[7]Hussain N.Common fixed point theorems for generalized contractive mappings with applications[J]. Fixed Point Theory and Applications, 2013,169:1～17.

[8]Kadelburg Z.A note on the equivalence of some metric and cone metric fixed point results[J].Applied Mathematics Letters, 2011,24:370～374.

[9]Asadi M.Some notes on the paper"The equivalence of cone metric spaces and metric spaces"[J].Fixed Point Theory and Applications, 2012,87:1～4.

[10]Liu Hao,Xu Shaoyuan.Fixed point theorems of quasicontractions on cone metric spaces with Banach algebras[J]. Abstract and Applied Analysis, 2013, 1～5.

[11]Liu Hao,Xu Shaoyuan.Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings[J]. Fixed Point Theory and Applications,2013,320:1～10.

[12]童裕孫.泛函分析教程 [M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社, 2003.

AclassofcommonfixedpointtheoremsinconemetricspaceswithBanachalgebras

HUANG Hua-ping1, HU Song-lin1，MING Wei1，ZHOU Hui2

(1. College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China;2. Mathematical Team, Huangshi No.2 Middle School, Huangshi 435003, China)

In this paper, the concept of cone metric space with Banach algebra is introduced, then a class of common fixed point theorems are given. Moreover, an example is used to support the applications.

cone metric space;generalized Lispchitz constant;weakly compatible

2013—10—05

黃華平(1978— )，男，湖北安陸人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)楹瘮?shù)論.

O177.5

A

1009-2714(2014)01- 0001- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.001