垂足曲線與反垂足曲線

吳利斌，詹 鴻

(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 公共課部，湖北 武漢 403205)

垂足曲線與反垂足曲線

吳利斌，詹 鴻

(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 公共課部，湖北 武漢 403205)

利用平面曲線的垂足曲線與反垂足曲線的概念，給出平面上幾種特殊曲線的垂足曲線與反垂足曲線的例子，并將這兩個(gè)概念推廣到三維歐氏空間中去.

垂足曲線；反垂足曲線;三維歐氏空間

1 平面曲線的垂足曲線與反垂足曲線

定義1 平面上一定點(diǎn)P0對(duì)曲線C上各點(diǎn)的切線作垂線的垂足所形成的曲線C*稱為曲線C對(duì)點(diǎn)P0的垂足曲線，而曲線C稱為曲線C*的反垂足曲線.

文獻(xiàn)[1]中給出了以下兩個(gè)定理：

(1)

定理2 在平面極坐標(biāo)系下，若垂足曲線C*的方程為ρ=ρ(θ)，則反垂足曲線C的方程為

(2)

由定理1易得下面幾個(gè)推論：

(3)

(4)

其中s為曲線C的自然參數(shù).

(5)

其中s為曲線C的自然參數(shù).

2 幾種特殊平面曲線的垂足曲線

由推論1容易得到平面上幾種特殊曲線的垂足曲線.

例1 圓 (x-a)2+y2=a2(或x=a(1+cosθ),y=asinθ)對(duì)原點(diǎn)O(0,0) (即圓上一點(diǎn))的垂足曲線為心臟線

(6)

(7)

(8)

注1 由上面三個(gè)例子知圓、拋物線和等邊雙曲線分別是心臟線、蔓葉線和雙紐線關(guān)于原點(diǎn)的反垂足曲線.

3 空間曲線的垂足曲線與反垂足曲線

平面曲線的垂足曲線與反垂足曲線的概念可以很自然地推廣到三維歐氏空間中去，即

定義2 在空間曲線C的切線所組成的曲面上，與一定點(diǎn)P0的連線均與曲線C的切線垂直相交的動(dòng)點(diǎn)軌跡C*稱為曲線C對(duì)點(diǎn)P0的垂足曲線，而曲線C稱為曲線C*的一條反垂足曲線.

注2 也可以類似定義1來定義空間曲線的垂足曲線與反垂足曲線.

z(t)} ，則曲線C對(duì)點(diǎn)P0的垂足曲線C*的方程為

(9)

(10)

(11)

且過點(diǎn)P0與切線T垂直相交的直線N的方程為

(12)

其中

(13)

由(11)得

(14)

由(12)和(13)得

(15)

將(14)和(15)代入(11)得切線T與直線N的交點(diǎn)的徑矢，即得曲線C對(duì)點(diǎn)P0的垂足曲線C*的方程為

(16)

(17)

(18)

(19)

聯(lián)立方程(18)和(19)消去λ，即得曲線C對(duì)點(diǎn)P0的垂足曲線C*的方程為

(20)

(21)

或

(22)

(23)

(24)

[1] 陳朝光，唐余勇，吳鴻業(yè). 微分幾何及其在機(jī)械工程中的應(yīng)用[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1998.

[2] 梅向明，黃敬之. 微分幾何(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

Keywords: pedal curve;antipedal curve;3-euclidean space

Pedalcurveandantipedalcurve

WU Li-bin,ZHAN Hong

(Public Course Department, Wuhan Vocational College of Software and Engineering,Wuhan 430205,China)

The document [1] puts forward the concepts of pedal curve and antipedal curve in plane curves, and gives simple applications to them. This paper gives some examples of pedal curve and antipedal curve in special curve and extends the two concepts to 3-Euclidean space.

2013—06—15

吳利斌(1966— )，女，湖北天門人，副教授

O186.1

A

1009-2714(2014)01- 0115- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.025