淺談工科高等數學教材中的積分學理論體系

周 疆， 陳金陽， 潘繼斌

(1.新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046;(2.湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

淺談工科高等數學教材中的積分學理論體系

周 疆1， 陳金陽2， 潘繼斌2

(1.新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046;(2.湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

系統闡述了積分思想，概括各類積分的統一定義，總結了幾類積分之間的關系.

積分學;曲線積分;曲面積分

0 序言

目前,各類工科大學高等數學教材頗多,不少工科學生學了一年之后,對積分學的體系仍是概念不清,條理不明，面對各種形式的積分(定積分，重積分，曲線積分，曲面積分，第一型積分，第二型積分等)更是手足無措. 本文試圖從積分的基本思想方法談起，使學生看清積分的本質思想，繼而統一積分定義，了解各類積分之間的關系,掌握各類積分的計算.

1 積分的基本思想和統一定義

縱觀各類積分的定義，不難看出積分定義中的四個步驟：分割，近似計算，求和，取極限。分割的目的是為了化整為零，在微小局部上“非均勻”近似看成“均勻”，以“不變”(常量)代“變”(變量)，得到近似計算公式，求和取極限的作用是得到精確值，其本質概括為一句話：“局部均勻求近似，利用極限得精確”。因此，我們用“分割,求和,取極限”統一定義積分的概念.

由于概念定義的統一，導致其積分性質也相似，因此只要熟悉掌握定積分的基本性質，其他類型的積分性質也可以平行推廣，這里不再贅述.

表1 積分類型表

2 第二型曲線(面)積分與第一型曲線(面)積分的關系

如果說第一型曲線(面)積分是數量值函數的求和，即不涉及方向，那么涉及方向的第二型曲線(面)積分可以看成是向量值函數的求和,如表2.

表2 兩類積分的關系

因此兩者之間的轉化如表3.

表3 兩類積分的轉換

3 曲線(面)積分與定(重)積分的關系

了解了曲線(面)積分與定(重)積分的關系，也就掌握了各類積分的計算.

3.1曲線積分與定(重)積分的關系

對于空間曲線，以上兩類曲線積分化為定積分的方法類似(略).

定理4(Stokes公式，曲線積分化為曲面積分) 設光滑曲面S的邊界Γ是按段光滑的連續曲線,若函數P,Q,R在S(連同Γ)上連續,且有一階連續偏導,則

其中S的側面與Γ的方向按右手法則確定.

通過對定理3和定理4的比較發現，Green公式是Stokes公式的平面形式(即 (s)→(σ)).

3.2曲面積分與重積分的關系

定理6 (第二型曲面積分化重積分) 設R是定義在光滑曲面S:z=z(x,y),(x,y)∈Dxy上的連續函數,以S的上側為正側(這時S的法線方向與z軸正向成銳角),則有

類似有

定理7(Guass公式，曲面積分化為三重積分) 設空間區域V由分片光滑的雙側封閉曲面S圍成,若函數P,Q,R在V上連續,且有一階連續偏導數,則

4 微元法的應用

已知：△F=A△x+o(△x)，只需找到與△x成線性關系的A△x，且使|△F-A△x|=o(△x) ，

即△F的線性主部，或△F的與 △x成線性關系的等價無窮小.

例：求圓錐體的側面積：

圖1 圓錐體

圖2 圓錐體的側面展開圖

圖3 圓柱體積圖

5 結束語

國際數學教育委員會前主席Freudenthal H曾說過：“沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子發表出來。一個問題被解決以后，相應地發展成一種形式化技巧，結果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗”。

通過以上對積分類型的歸納總結，使學生在看到冰冷美麗的同時，引發火熱的思考.更加理解微元法的應用.

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].(上冊)(第三版).北京：高等教育出版社,2003.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].(下冊)(第三版).北京：高等教育出版社,2003.

[3]歐陽光中,姚允龍,周淵.數學分析[M].(下冊) .上海：復旦大學出版社,2011.

[4]同濟大學數學系.高等數學[M].(上冊) (第六版).北京：高等教育出版社,2007.

[5]同濟大學數學系.高等數學[M].(下冊) (第六版).北京：高等教育出版社,2007.

[6]馬知恩，王綿森.高等數學簡明教程[M].(上冊).北京：高等教育出版社,2009.

[7]王綿森，馬知恩.高等數學簡明教程[M].(下冊).北京：高等教育出版社,2009.

Introductiontointegralcalculusofhighermathematicsinengineeringtheorysystem

ZHOU Jiang1, CHEN Jin-yang2,PAN Ji-bin2

(1. School of Mathematics and System Science , Xinjiang University, Urumqi 830046,China)

(2. School of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

This paper expounds the idea of system integration, integration of various integral definition, summarizes the relationship between several types of integral.

integral;curvilinear integral;surface integral

2013—08—20

新疆大學21世紀本科高等數學教學三期教改重點項目，湖北師范學院教研項目資助(JH201125).

周疆(1968— )，男，四川安岳人，副教授，博士，研究方向為調和分析.

O17

A

1009-2714(2014)01- 0102- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.022