帶跳隨機延遲微分方程半隱式Euler方法的均方指數穩定性

徐麗麗，劉 翙

(湖北師范學院 數學與統計學院， 湖北 黃石 435002)

帶跳隨機延遲微分方程半隱式Euler方法的均方指數穩定性

徐麗麗，劉 翙

(湖北師范學院 數學與統計學院， 湖北 黃石 435002)

研究帶跳隨機延遲微分方程半隱式Euler方法的均方指數穩定性.將半隱式Euler方法應用到維納過程和泊松過程驅動下的非線性隨機延遲微分方程上進行討論,給出了半隱式Euler方法的均方指數穩定性的條件.

非線性帶跳隨機延遲微分方程;半隱式Euler方法;均方指數穩定

1 引言及預備知識

當前由于帶跳隨機延遲微分方程與確定性模型問題比較,往往能夠更加真實地模擬科學實際中的問題,因此它已被廣泛地應用于經濟學、物理、化學、控制論、金融學、神經網絡、生態學等各個研究領域.而由于考慮噪聲環境和時間滯后對系統的影響，隨機延遲微分方程能夠更準確地描述客觀事物的狀態和變化規律，因而對帶跳隨機微分方程穩定性的研究很有必要.

對于帶跳隨機延遲微分方程數值方法的穩定性研究是一件很有意義的工作,但已有文獻并不多見,而且都只是討論線性方程的情形.在[1]中介紹了隨機微分方程系統兩類數值方法的穩定性; [2]介紹非線性隨機延遲積分方程數值方法的均方指數穩定性;[3]，[4]分別介紹了帶跳和不帶跳的隨機延遲微分方程數值解的a.s.指數穩定性;[5]介紹了帶跳隨機延遲微分方程數值方法的均方穩定性;[6]介紹了帶跳隨機延遲微分方程半隱式Milstein數值方法的均方穩定性.本文在他們的基礎上研究了非線性帶跳隨機延遲微分方程半隱式Euler方法的均方指數穩定性.

(1)

其中W(t) 是一維標準Wiener過程,N(t)是強度為λ的泊松過程.

2 主要結果及其證明

對于方程(1)應用半隱式Euler方法

(2)

量△Wn=W(tn+1)-W(tn) 是一列服從N(0,△t)正態分布且相互獨立隨機變量,增量△Nn=N(tn+1)

-N(tn) 是服從泊松分布的隨機變量.Xn為解析解X(tn) 相應的數值解,即Xn≈X(tn) .

定義1 對給定的步長△t,如果存在正常數μ和H與n無關,使得對任意的初始值φ(tn),n=-m,-m+1,…,0有

E|xn|2≤HE‖φ‖2e-μtn

(3)

成立,則稱數值解序列Xn均方指數穩定.

XTf(t,X,0)≤-a|X|2

(4)

(5)

|f(t,X,Y)|2≤α1|X|2+α2|Y|2

(6)

|g(t,X,Y)|2≤β1|X|2+β2|Y|2

(7)

|h(t,X,Y)|2≤γ1|X|2+γ2|Y|2

(8)

(9)

則當 △t<△t*,其中

時,半隱式Euler方法(2)是均方指數穩定的.

證明 我們有

|Xn+1-θ△tf(tn+1,Xn+1,Xn-m+1)|2=

|Xn+(1-θ)△tf(tn,Xn,Xn-m)+g(tn,Xn,Xn-m)△Wn+h(tn,Xn,Xn-m)△Nn|2

從而有

|Xn+1|2=|Xn|2+|(1-θ)△tf(tn,Xn,Xn-m)|2+|g(tn,Xn,Xn-m)△Wn|2+ |h(tn,Xn,Xn-m)△Nn|2-|θ△tf(tn+1,Xn+1,Xn-m+1)|+ 2θ△t+ 2(1-θ)△t+2+ 2+ 2(1-θ)△t+ 2(1-θ)△t+ 2

(10)

根據(4)～(5),我們有

2=2+

≤

-2a|Xn+1|2+2|Xn+1||f(tn+1,Xn+1,Xn-m+1)-f(tn+1,Xn+1,0)|≤

-2a|Xn+1|+2|Xn+1|(b2|Xn-m+1|)≤

-2a|Xn+1|2+b2(|Xn+1|2+|Xn-m+1|2)=(-2a+b2)|Xn+1|2+b2|Xn-m+1|2

(11)

同樣的有

2≤(-2a+b2)|Xn|2+b2|Xn-m|2

(12)

將(6)、(11)和(12)代入(10)并重排可得

(1+θ△t(2a-b2))|Xn+1|2≤|Xn|2+(1-θ)2△t2(α1|Xn|2+α2|Xn-m|2)+

|g(tn,Xn,Xn-m)△Wn|2+|h(tn,Xn,Xn-m)△Nn|2+θ△tb2|Xn-m+1|2+

(1-θ)△t[(-2a+b2)|Xn|2+b2|Xn-m|2]+

2+2+

2(1-θ)△t+

2(1-θ)△t+

2

(13)

注意到E(△Wn)=0,E[△Wn)2]=△t,E(△Nn)=λ△t,E[(△Nn)2]=λ△t(1+λ△t) 且Xn,Xn-m+1,Xn-m都是Ftn可測的,因此,對給定的n≥0 ,下面的式子成立

(14)

現在對(13)式的兩邊同時取期望,運用(7)、(8)、(14)和不等式 2xy≤x2+y2,我們有

(1+θ△t(2a-b2))E|Xn+1|2≤E|Xn|2+(1-θ)2△t2E[α1|Xn|2+α2|Xn-m|2]+

△tE[β1|Xn|2+β2|Xn-m|2]+

λ△t(1+λ△t)E[γ1|Xn|2+γ2|Xn-m|2]+θ△tb2E|Xn-m+1|2+

(1-θ)△tE[(-2a+b2)|Xn|2+b2|Xn-m|2]+

λ△tE[(1+γ1)|Xn|2+γ2|Xn-m|2]+

(1-θ)λ△t2E[(α1+γ1)|Xn|2+(α2+γ2)|Xn-m|2]

從而有

(1+θ△t(2a-b2))E|Xn+1|2≤[1+(1-θ)2△t2(α1+α2)+△t(β1+β2)+

λt(1+λ△t)(γ1+γ2)+θ△tb2+

{1+△t2[(1-θ)2(α1+α2)+λ2(γ1+γ2)+(1-θ)λ(α1+γ1+α2+γ2)]+

注意到(9)意味著 2a-b2>0,因此我們有

(15)

其中

ξ(△t)=

另一方面,ξ(△t)<1 等價于

1+θ△t(2a-b2)>1+△t2[(1-θ)2(α1+α2)+λ2(γ1+γ2)+ (1-θ)λ(α1+γ1+α2+γ2)]+△t(2θa-θb2-ρ)

這意味著

ρ>△t[(1-θ)2(α1+α2)+λ2(γ1+γ2)+(1-θ)λ(α1+γ1+α2+γ2)]

(16)

則由(16)導出

根據定義1,我們得到對?△t<△t*半隱式Euler方法是均方指數穩定的,其中

[1]Huang Chengming.Exponential mean square stability of numerical methods for systems of stochastic differential equations[J].J Appl Math Comput, 2012,236:4016～4026.

[2]Li Qiyong,Gan Siqing.Mean-square exponential stability of stochastic theta methods for nonlinear stochastic delay integro-differential equations[J].J Appl Math Comput,2012, 39: 69～87.

[3]Li Qiyong,Gan Siqing. Almost sure exponential stability of numerical solutions for stochastic delay differential equations with jumps[J].J Appl Math Comput,2011, 37: 541～557.

[4]Wu F,Mao X,Szpruch L.Almost sure exponential stability of numerical solutions for stochastic delay differential equations[J].Numer Math, 2010,115:681～697.

[5]Tan Jiangguo,Wang Hongli. Mean-square stability of the Euler-Maruyama method for stochastic differential delay equations with jumps[J].International Journal of Computer Mathematics,2011,88(2):421～429.

[6]楊 茜.帶跳隨機延遲微分方程半隱式Milstein數值方法的均方穩定性[J].佳木斯大學學報(自然科學版),2009,27(6)：111～113.

Mean-squareexponentialstabilityofthesemi-implicitEulermethodforstochasticdelaydifferentialequationswithjumps

XU Li-li,LIU Hui

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

In this paper,the authors investigated the mean square exponential stability of the semi-implicit Euler method for stochastic delay differential equations with jumps. The semi implicit Euler method applied to the nonlinear stochastic delay differential equations which driven by Wiener process and Poisson process, and gave conditions about mean square exponential stability of the semi-implicit Euler method.

nonlinear stochastic delay differential equations with jumps; semi-implicit Euler method; mean- square exponential stable

2014—01—20

徐麗麗(1990— ),女，湖北隨州人，碩士研究生，主要從事隨機微分方程的穩定性研究.

O241.8

A

1009-2714(2014)02- 0070- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.016