一類食餌依賴型捕食-食餌系統的穩定性分析與最優捕獲

陳 靜，李必文，劉唯一，劉細憲，柯于勝

(湖北師范學院 數學與統計學院， 湖北 黃石 435002)

一類食餌依賴型捕食-食餌系統的穩定性分析與最優捕獲

陳 靜，李必文，劉唯一，劉細憲，柯于勝

(湖北師范學院 數學與統計學院， 湖北 黃石 435002)

首先建立了一類食餌依賴型捕食-食餌生態經濟模型，并對該模型的生物經濟學涵義作了簡要說明；接下來運用Routhchurwitz判據對系統平衡點的局部穩定性進行了詳細分析，得到了該系統正平衡點的局部穩定性判據；最后通過動力學分析得到了食餌種群持久生存前提下的最大持續收獲量，同時探究了該前提下價格隨供求變化的經濟效益的最大值.

捕食-食餌模型;食餌依賴;生態經濟;價格隨供求變化;局部穩定性;最優捕獲

0 引言

在人類有限度的捕獲下，可再生資源一般具有一定的自我恢復能力.然而，由于一味地追求高產出高效益，人類在發展社會經濟的過程中對可再生資源進行過度地開發利用，導致可再生資源日趨枯竭，破壞了賴以生存的生態環境，制約著社會、經濟的發展.人類應該在持續穩產的大前提下適度開發再生資源，以維持生物種群的長久持續生存為基礎追求最高產量或最優的經濟效益.

本文著手研究了一類食餌具有Logistic增長率的價格隨供求變化的捕食-食餌系統穩定性與最優捕獲. 我們的模型建立于文獻[2]的捕食-食餌系統，如下：

(1)

其中x,y分別表示食餌和捕食者的密度，a,r,k都是正常數，E為捕撈努力量.

為了更貼近實際，捕食者與食餌之間的相互作用可以用一個與食餌數量相關的功能函數來描述：

(2)

1 模型解釋

對于系統(2)，令

則F1(μ,X) 、F2(μ,X) 分別表示食餌種群、捕食者種群的增長率，從而我們可以得到以下結論：

2 平衡點的局部穩定性

易計算得系統(2)存在唯一的平衡點：

(3)

從生物經濟學角度出發，為使得食餌、捕食者、捕獲強度都有意義，我們只考慮該系統的正平衡點，故而此處a-bβ>0,r-E-kx0>0.

系統(2)在正平衡點處的雅可比矩陣為

特征方程：

λ2+a1(μ)λ+a2(μ)=0

(4)

其中

從而可得出如下定理.

定理 (平衡點的局部穩定性)

i) 當捕撈強度E 滿足：

ii)當捕撈強度E 滿足：

3 最優捕獲問題

3.1持續產量

首先我們來關注上述定理的生物經濟學解釋：

3.2最大持續收獲量的捕撈策略

3.3價格隨供求變化的經濟效益最大化

1954年，Gordon在文獻[6]中提出了這樣的經濟理論：

凈利潤 (NER) =總收入 (TR) - 總成本 (TC)

記利潤為v，捕獲努力量為E，單位捕獲量的價格為p，單位捕獲量所投入的實際成本為c，總產量記為Y(E)，則總收入為TR=pY(E)，總成本是TC=cE，從而有

v=pY(E)-cE

(5)

我們都知道，在市場經濟中商品的價格與市場供求量息息相關. 對此，在商品需求量固定不變的假設下，范猛等學者提出了更加符合實際的價格函數([文獻5])：

(6)

結合(5)式與(6)式，我們可以這樣定義利潤：

(7)

此時的最大可持續凈收益：

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[5]范 猛，王 克.價格隨供求變化的捕獲問題[J]. 生物數學學報,2001，16(4)：411～415.

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[15]王朝珠，秦化淑，最優控制理論[M]. 北京：科學出版社，2003.

StabilityanalysisandoptimalharvestofAprey-dependentpredator-preybiologicaleconomicsystem

CHEN Jing，LI Bi-wen，LIU Wei-yi，LIU Xi-xian，KE Yu-sheng

(College of Mathematical and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，China)

In this paper，an economic harvesting model of prey-dependent is established. After a bio-economic explanation of the model，we analyze the local stability of positive equilibrium point in detail by routhchurwitz criterion，and naturally get the criteria for local stability. Maximum sustainable yield is given through dynamics analysis when the permanence of prey is guaranteed. Similarly，the revenue with price changed with demand and supply is studied and the maximum revenue is presented.

predator-prey model; prey-dependent; biological economic; price changed with demand and supply; local stability; optimal harvesting

2013—12—15

陳靜(1987— )，女，湖北黃岡人，碩士研究生，主要研究方向為微分方程與控制論.

O175.14

A

1009-2714(2014)02- 0035-05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.009