異方差對(duì)生物量模型構(gòu)建的影響

楊嘉龍，肖生苓

(東北林業(yè)大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150040)

自國(guó)際林聯(lián)(IUFRO)1994年出版《國(guó)際森林監(jiān)測(cè)指南》將生物量列為全球、區(qū)域和國(guó)家級(jí)森林資源監(jiān)測(cè)的重要內(nèi)容，越來(lái)越多的專家和學(xué)者提出了更新的生物量研究方法和理論，從變量選取到模型優(yōu)化，生物量模型經(jīng)歷了從線性到非線性的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變。目前，應(yīng)用最廣泛也最被認(rèn)可的是建立非線性的相容性生物量模型[1-5]。非線性模型對(duì)生物量的擬合效果比線性模型好，模型評(píng)價(jià)指標(biāo)更高，更加符合林木的生長(zhǎng)規(guī)律。相容性生物量模型通過(guò)以總量或樹(shù)干生物量為基礎(chǔ)的分級(jí)控制理論，能夠很好的解決的總量和分量不相容的問(wèn)題，而且模型檢驗(yàn)指標(biāo)滿足建模要求。

非線性生物量模型的構(gòu)建不同于線性生物量模型，其中最主要的原因就是非線性模型中變量的方差非齊性，線性生物量模型的構(gòu)建就是基于方差齊性的假設(shè)前提，模型的誤差項(xiàng)期望Eζ=0，得到線性模型的最優(yōu)估計(jì)。而實(shí)際中，誤差項(xiàng)的方差隨自變量的變化而變化，如果忽略了模型中的異方差性，將會(huì)造成模型的參數(shù)估計(jì)值變化，不僅降低模型的估計(jì)精度，還會(huì)使估計(jì)值的檢驗(yàn)和置信區(qū)間失效。為此，對(duì)模型的異方差檢驗(yàn)和消除就顯得尤為重要。

1 生物量模型中異方差的檢驗(yàn)

由于調(diào)查數(shù)據(jù)往往存在測(cè)量誤差，以及樣本數(shù)據(jù)具有的個(gè)體差異性和建模模型的忽略因素，導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果存在異方差性，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，往往首先要檢驗(yàn)誤差項(xiàng)間是否有異方差存在，從而不影響模型的建立和參數(shù)的估計(jì)。可采用的檢驗(yàn)方法有：圖示檢驗(yàn)法、帕克(Park)檢驗(yàn)、巴特利特(Bartlett)檢驗(yàn)、格萊澤(Glejser)檢驗(yàn)、斯皮爾曼(Spearman)等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)、戈德菲爾特-匡特(Goldfelt-Quandt)檢驗(yàn)、布勞特-陪干-戈弗雷(Breusch-Pangan-Godfrey)檢驗(yàn)、懷特(White)檢驗(yàn)、ARCH(自回歸條件異方差)檢驗(yàn)、Wald檢驗(yàn)、拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)和似然比檢驗(yàn)[6]。其中，比較常用的是圖示檢驗(yàn)法、格萊澤(Glejser)檢驗(yàn)、斯皮爾曼(Spearman)等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)和懷特(White)檢驗(yàn)。

1.1 圖示檢驗(yàn)法

圖1 幾種可能存在異方差的殘差示意圖

圖示檢驗(yàn)法雖然簡(jiǎn)單直觀，但是只能夠作為一種趨勢(shì)的判定，不能通過(guò)圖形看出引起異方差的變量，也得不到異方差的具體形式。

1.2 格萊澤(Glejser)檢驗(yàn)

格萊澤(Glejser)檢驗(yàn)是基于殘差和解釋變量間有顯著成立的關(guān)系，如果方程存在異方差，那么異方差與解釋變量的冪相關(guān)，假設(shè)異方差σi與第j個(gè)解釋變量的關(guān)系如下：

(1)

由于異方差σi是經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)后計(jì)算所得，格萊澤利用殘差絕對(duì)值|ei|代替異方差σi，得到：

(2)

假如δ1=0，則可以認(rèn)為異方差σ1與xi無(wú)關(guān)，即隨即擾動(dòng)項(xiàng)ui的方差與xj無(wú)關(guān)；δ1≠0，則隨即擾動(dòng)項(xiàng)ui的方差與xj的變化相關(guān)。異方差檢驗(yàn)就轉(zhuǎn)化為對(duì)δ1是否為0的檢驗(yàn)，用T檢驗(yàn)，如果參數(shù)δ1顯著的不為0，則認(rèn)為存在異方差。

此檢驗(yàn)不僅能對(duì)異方差的存在作出判斷，而且還能得到異方差隨變量變化的具體形式，檢驗(yàn)需要大量樣本數(shù)據(jù)，而且誤差項(xiàng)本身可能含有異方差。

1.3 斯皮爾曼(Spearman)等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)

斯皮爾曼(Spearman)等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)不用考慮模型參數(shù)，類(lèi)似于格萊澤(Glejser)檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)殘差和解釋變量是否有顯著關(guān)系，來(lái)判定異方差性。基于公式(1)將求得的隨機(jī)變量的殘差ei取絕對(duì)值，并與xi以升序或降序排列，按斯皮爾曼(Spearman)等級(jí)相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式：

(3)

式中：Di=xi-ei，N為樣本個(gè)數(shù)。

檢驗(yàn)需要對(duì)殘差和解釋變量進(jìn)行排序，樣本容量過(guò)小會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)變異程度較大，降低檢驗(yàn)可信度，而且此檢驗(yàn)也無(wú)法給出異方差的具體形式[7]。

1.4 懷特(White)檢驗(yàn)。

懷特檢驗(yàn)?zāi)軌驅(qū)埐钆c不同形式的自變量結(jié)合起來(lái)，建立多元回歸方程，其基本多元回歸方程形式如下：

yi=δ0+δ1x1i+δ2x2i+δ3x3i+…+σnxni+ui。

(4)

再通過(guò)建立輔助回歸模型的方式來(lái)判斷回歸方程的異方差性，假設(shè)自變量含3種形式，其輔助回歸模型形式[8]為：

(5)

以上常用檢驗(yàn)除格萊澤(Glejser)檢驗(yàn)?zāi)艿玫疆惙讲畹木唧w形式，其余檢驗(yàn)只能驗(yàn)證異方差性，圖示檢驗(yàn)可以依靠SPSS、SAS、MALTABLE等統(tǒng)計(jì)軟件直接給出，應(yīng)用最為普遍。

2 異方差的消除

通過(guò)上述檢驗(yàn)，可以知道誤差項(xiàng)是否具有異方差性，而且異方差的存在并不影響普通最小二乘法(Ordinary Least Squares，簡(jiǎn)稱OLS)估計(jì)量的無(wú)偏性，但是會(huì)造成估計(jì)量的方差變大，導(dǎo)致通常假設(shè)的檢驗(yàn)值失效。所以，對(duì)已經(jīng)驗(yàn)證的異方差要采用辦法去消除，以保證得到的模型具有最優(yōu)的無(wú)偏估計(jì)。通常采用加權(quán)最小二乘法(The Weighted Least squares，簡(jiǎn)稱WLS)、改變變量形式或重新設(shè)定模型這三種方法，這里只介紹最簡(jiǎn)單和最常用的方法——加權(quán)最小二乘法(WLS)。

應(yīng)用加權(quán)最小二乘法消除異方差已被得到廣泛證實(shí)。采用加權(quán)最小二乘法最回歸估計(jì)在消除異方差的同時(shí)，能夠保證模型不含系統(tǒng)誤差，其權(quán)函數(shù)形式可由變量本身構(gòu)造，方便適用[10]。模型的擬合結(jié)果與普通最小二乘法相比，各項(xiàng)指標(biāo)均有明顯改善[11]。如果假定因變量yi的方差與自變量xi的某種形式成一定比例，權(quán)函數(shù)可以定義為wi=1/f(xi)消除異方差，但是要想得到準(zhǔn)確具體的f(xi)形式就相對(duì)比較困難[12]。在實(shí)際應(yīng)用WLS時(shí)，常以SPSS、Eviews等統(tǒng)計(jì)軟件為工具，繪制殘差圖或?qū)ο惙讲畹臋?quán)函數(shù)進(jìn)行探討，理論上的最優(yōu)權(quán)函數(shù)應(yīng)該是與最大對(duì)數(shù)似然函數(shù)相應(yīng)的取值[13]。

3 實(shí)例分析

以77株落葉松樹(shù)干生物量建模數(shù)據(jù)為例，擬合的單木樹(shù)干生物量?jī)?yōu)勢(shì)方程形式為W樹(shù)干=a(D2H)b，用此經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鳛榉治霎惙讲畹幕A(chǔ)模型，通過(guò)SPSS軟件繪制的殘差圖可以看出方程存在異方差性，如圖2(a)所示。

圖2 存在和消除異方差的樹(shù)干模型殘差圖

對(duì)模型異方差的消除分兩個(gè)部分，首先是對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，消除基于OLS下假設(shè)誤差期望為0而造成的參數(shù)偏小和異方差性，如圖2(b)所示。其次，建立樹(shù)干相容性生物量模型，做到總量和各分量和相等，為了消除模型間的度量誤差和異方差，要對(duì)干材和樹(shù)皮生物量方程進(jìn)行非線性聯(lián)合估計(jì)，復(fù)雜生物量模型異方差的消除采取構(gòu)造權(quán)函數(shù)的方法，鑒于一元回歸方程與二元回歸權(quán)函數(shù)方程對(duì)消除異方差的效果差別不大，這里采用由胸徑D和樹(shù)干生物量預(yù)估殘差值方差1.06構(gòu)造的一元回歸方程作為權(quán)函數(shù)方程，即權(quán)函數(shù)為G=1/D1.06，模型通過(guò)決定系數(shù)(R2)、估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差(SEE)、平均估計(jì)誤差(MPE)、平均相對(duì)偏差(ME)、平均相對(duì)偏差絕對(duì)值(MAE)以及預(yù)估精度(P)作為選擇最優(yōu)模型的檢驗(yàn)指標(biāo)。消除異方差的樹(shù)干生物量模型擬合和檢驗(yàn)結(jié)果，見(jiàn)表1。

通過(guò)表1可以看出，消除異方差后的對(duì)數(shù)模型和相容性生物量模型SEE值減小，說(shuō)明采用模型轉(zhuǎn)換和加權(quán)函數(shù)的方法是可行有效的，而且對(duì)模型的預(yù)估效果起到了很好的作用。

表1 消除異方差的樹(shù)干生物量模型擬合結(jié)果和檢驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

4 結(jié) 論

生物量建模過(guò)程中，往往存在著異方差性，會(huì)導(dǎo)致采用普通最小二乘法進(jìn)行回歸所得估計(jì)值有偏，參數(shù)值和有效區(qū)間失真。這就需要對(duì)誤差項(xiàng)可能存在的方差性進(jìn)行檢驗(yàn)，并采取有效的消除方法，文章通過(guò)實(shí)例證明檢驗(yàn)和消除異方差的方法是行之有效的，而且能夠保證系統(tǒng)模型的建模要求。

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