淺議高考解析幾何壓軸題

朱振國

一、經典結論一

若直線AB和橢圓+=1，（a>b>0）交于A，B兩點，C為A，B中點，如圖1，則KAB·KOC=-，對雙曲線-=1有KAB·KOC=. 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+y2=1. 如圖2，斜率為k（k>0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=-3于點D（-3，m）. （Ⅰ）求m2+k2的最小值；（Ⅱ）若OG=OD·OE，（i）求證：直線l過定點；（ii）試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時三角形ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由.

【解析】 （Ⅰ）略

（Ⅱ）（i）證明：由題意知：n>0，因為直線OD的方程為y=-x，得交點G的縱坐標為yG=，又因為yE=，yD=m，且OG=OD·OE，所以=m·，又由（Ⅰ）知：m=，所以解得k=n，所以直線l的方程為l：y=kx+k，即有l：y=k（x+1），令x=-1得，y=0，與實數k無關，所以直線l過定點（-1，0）. （ii）假設點B，G關于x軸對稱，則有三角形ABG的外接圓的圓心在x軸上，又在線段AB的中垂線上，由（i）知點G

二、經典結論二

若直線L和橢圓+=1，（a>b>0）交于AB兩點且OA⊥OB，則O到L的距離OP=在雙曲線-=1（b>a>0）. 如圖3，設橢圓E：+=1（a，b>0）過M（2，），N（，1）兩點，O為坐標原點，（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍，若不存在說明理由.

解：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥，設該圓的切線方程為y=kx+m解方程組y=kx+m，