具有隨機紅利支付的復合馬爾可夫二項模型的期望貼現懲罰函數

張夢瑤

（遼寧師范大學數學學院，遼寧 大連 116029）

0 引言

在保險精算文獻中，復合馬爾可夫二項模型是由Cossette等[1]最早提出的，他們在索賠增量中通過馬爾可夫-伯努利序列引入一種相依結構，從而推廣了經典的復合二項風險模型。隨后，眾多的研究者對該模型作了進一步的研究。Cossette等[2]指出條件最終破產概率是個超幾何分布，由此可以得到破產概率的上界估計和漸近表達式。Yuen和Guo[3]則通過考查普通更新和延遲更新兩個不同的更新過程得到了條件期望貼現懲罰函數的遞歸表達式。方世祖等[4]使用不同于文獻[3]的方法，得到了復合馬爾可夫二項模型中有條件和無條件Gerber-Shiu期望貼現懲罰函數的瑕疵更新方程以及漸近表達式。對于復合二項風險模型另外一種推廣形式是在模型中引入紅利限值，這方面的研究由Tan和Yang[5]最早引入，他們得到破產概率、破產前盈余的概率生成函數等相關破產量的遞歸方程以及漸近表達式。

受上述文獻啟發，本文研究具有隨機紅利支付的復合馬爾可夫二項模型，并得到了條件Gerber-Shiu期望貼現懲罰函數所滿足的瑕疵更新方程。

1 模型結構

我們首先給出復合馬爾科夫二項風險模型的基本結構。令{ξt,t∈N+}是一個馬爾科夫鏈,其狀態空間為{0,1}，轉移矩陣為

其中 P(ξk+1=j｜ξk=i)=pij，假設初始概率為 P(ξ0=1)=q=1-P(ξ0=0)，其中q∈(0,1)而 0≤π＜1為相依參數，過程{ξt,t∈N+}在文獻中有時被稱為馬爾可夫-伯努利序列。

假設索賠額X1,X2,X3,…是獨立同分布的正的整值的隨機變量序列，保險公司的資本盈余過程定義為

其中U(0)=u是初始剩余。這就是Cossette所提出的復合馬爾可夫二項模型。

在保險實踐中，為了吸引投資保險公司通常設計出一些具有紅利支付的產品。我們考慮文獻[5]中的一種紅利策略，即設總索賠額St=，其中 t≥1 并且 S0=0，總的紅利額

其中t≥1和Z0=0，ηk(k≥1)是獨立同分布的隨機決策函數。具體地,假定 Pr(ηk=1)=q0，Pr(ηk=0)=p0，其中 0≤q0＜1 以及 p0+q0=1。 此時保險公司的盈余過程為

其中u為初始剩余。由(1)我們可以得到

進一步，假設索賠量的概率函數為p(k)=Pr(X=k)，k=1,2,3,…；分布函數為，尾分布為

為了保證保險公司具有正的安全負載，我們定義θ為安全負載系數滿足

為條件期望貼現懲罰函數,這里I(A)表示事件A的示性函數,而為一個有界函數。

2 瑕疵更新方程

本節研究 m(u｜0)和 m(u｜1)滿足的瑕疵更新方程。

定理1 條件罰金函數m(u｜0)滿足的更新方程為

證明 首先處理m(u｜0)，考慮1時刻可能發生的情況由全概率公式得

由于p(0)=0，則上式等價于

類似地處理 m(u｜1)，我們可得

等價地

對（4）和（5）兩邊同時對 zu從 0到 ∞ 求和，得

對（6）和（7）整理得，

那么由（8）和（9），我們可得

令

因此當 z=1 時，（10）式可得

由此，把（12）代入（10）式可變為

那么（11）減去（13）得

上式等價于

（15）式可變為

由（12）式可約去上式等式兩邊的常數項，則比較（16）兩邊關于zu的系數得，

最后證明更新方程是瑕疵的。事實上

定理證畢。

定理2 條件罰金函數m(u｜1)滿足下面的更新方程

證明 由（8）和（9）式得

當 z=1 時（18）式仍然可得（12）。 則（18）式可變為

（11）減去（19）式得，

上式變形為

上式可等價于

上式反演為

其中

由（17）式，可知所得更新方程為瑕疵的。定理證畢。

［1］COSSETE H,LANDRIAULT D and MARCEAU E,Ruin probabilities in the compound Markovbinomial model[J].Scandinavian Actuarial Journal,2003(4)：301-323.

［2］COSSETE H,LANDRIAULT D.and MARCEAU E,Exact expressions and upper bound for ruin probabilities in the compound Markov binomial model[J].Insurance Mathematics and Economics,2004(34)：449-446.

［3］YUEN K C,and GUO J Y,Ruin probabilities for time-correlated claims in the compound and Markov binomial model[J].Scandinavian Actuarial Journal,2006(3)：129-140.

［4］FANG S Z,ZHANG C M,SUN X,ZHAO P C,The Gerber-Shiu discounted penalty function in the Compound Markov binomial model[J].Chinese Journal of Applied Probability,2011,5(27)：461-471.

［5］TAN JY.and YANG X Q,The compound model with randomized decisions on paying dividends[J].Insurance Mathematics and Economics,2006(39)：1-18.