淺談定積分與二重積分中的統一解題技巧

肖菊霞

【摘 要】積分學是高等數學的主要分支。定積分與二重積分的概念和計算是積分學的重要組成部分，其在在幾何、物理、概率統計等方面有著重要應用。二重積分作為定積分的推廣，其二者有著共同的解題技巧，包括利用幾何意義、對稱性、換元法來簡化定積分與二重積分的計算。

【關鍵詞】定積分；二重積分；對稱性；幾何意義；換元法

0 前言

如何解題對于學好高等數學的重要性毋庸置疑，定積分與二重積分的計算是高等數學的一個重點， 也是難點。而許多學生見到稍難一點的題目就無從下手，不知如何思考，這樣就影響了學習的積極性。定積分作為積分學的基礎，在二重積分的計算中起著重要作用，掌握起來也相對比較容易。本文總結出了一些定積分二重積分共有的計算技巧，可以讓學生在學好定積分的基礎上掌握二重積分的計算技巧，通過類比與推廣，達到巧妙解決一般的定積分與二重積分的計算問題。

1 利用幾何意義計算積分值

2 利用對稱性計算積分值

3 利用換元法簡化計算

3.1 牛頓—萊布尼茲公式給定積分的計算提供了一種有效的方法，但它完全依賴于求被積函數的原函數，但有時原函數是很難直接求出來的，此時可采用定積分的換元法。

3.2 二重積分計算的一般方法是將其化為兩次單積分，但當積分區域難于確定定積分限或者被積函數比較復雜時，可以考慮應用換元法。

4 建議

定積分的通常計算方法是得到原函數，再利用牛頓-萊布尼茨公式進行計算；二重積分的一般計算步驟是：①畫出積分域；②選擇坐標系，選擇時要遵循i域邊界應盡量多為坐標線ii被積函數關于坐標變量易分離；③確定積分序，需注意i積分域分塊要少ii累次積分好算為妙；④寫出積分限，方法有圖示法和不等式法。在計算的時候要充分利用它們的幾何意義，對稱性以及換元法來簡化計算。二重積分的計算是以定積分的計算為基礎，只有會熟練的計算定積分，并把定積分的基本計算技巧熟練地推廣到二重積分才能更好的掌握二重積分的計算。通過以上介紹的幾種方法能大大簡化定積分和二重積分的計算。總之，只要方法選得適當，都能從容的應對它們的計算。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M]. 北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001：695-708.

[4]復旦大學數學系.數學分析（下冊）[M].北京：高等教育出版社，1983：144-224.

[5]辛春元.二重積分的計算方法[J].現代商貿工業，2010，15：376-377.

[6]吳耀強.巧用二重積分求解定積分之例說[J].高等函授學報，2006（5）：46-48.

[責任編輯：孫珊珊]

【摘 要】積分學是高等數學的主要分支。定積分與二重積分的概念和計算是積分學的重要組成部分，其在在幾何、物理、概率統計等方面有著重要應用。二重積分作為定積分的推廣，其二者有著共同的解題技巧，包括利用幾何意義、對稱性、換元法來簡化定積分與二重積分的計算。

【關鍵詞】定積分；二重積分；對稱性；幾何意義；換元法

0 前言

如何解題對于學好高等數學的重要性毋庸置疑，定積分與二重積分的計算是高等數學的一個重點， 也是難點。而許多學生見到稍難一點的題目就無從下手，不知如何思考，這樣就影響了學習的積極性。定積分作為積分學的基礎，在二重積分的計算中起著重要作用，掌握起來也相對比較容易。本文總結出了一些定積分二重積分共有的計算技巧，可以讓學生在學好定積分的基礎上掌握二重積分的計算技巧，通過類比與推廣，達到巧妙解決一般的定積分與二重積分的計算問題。

1 利用幾何意義計算積分值

2 利用對稱性計算積分值

3 利用換元法簡化計算

3.1 牛頓—萊布尼茲公式給定積分的計算提供了一種有效的方法，但它完全依賴于求被積函數的原函數，但有時原函數是很難直接求出來的，此時可采用定積分的換元法。

3.2 二重積分計算的一般方法是將其化為兩次單積分，但當積分區域難于確定定積分限或者被積函數比較復雜時，可以考慮應用換元法。

4 建議

定積分的通常計算方法是得到原函數，再利用牛頓-萊布尼茨公式進行計算；二重積分的一般計算步驟是：①畫出積分域；②選擇坐標系，選擇時要遵循i域邊界應盡量多為坐標線ii被積函數關于坐標變量易分離；③確定積分序，需注意i積分域分塊要少ii累次積分好算為妙；④寫出積分限，方法有圖示法和不等式法。在計算的時候要充分利用它們的幾何意義，對稱性以及換元法來簡化計算。二重積分的計算是以定積分的計算為基礎，只有會熟練的計算定積分，并把定積分的基本計算技巧熟練地推廣到二重積分才能更好的掌握二重積分的計算。通過以上介紹的幾種方法能大大簡化定積分和二重積分的計算。總之，只要方法選得適當，都能從容的應對它們的計算。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M]. 北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001：695-708.

[4]復旦大學數學系.數學分析（下冊）[M].北京：高等教育出版社，1983：144-224.

[5]辛春元.二重積分的計算方法[J].現代商貿工業，2010，15：376-377.

[6]吳耀強.巧用二重積分求解定積分之例說[J].高等函授學報，2006（5）：46-48.

[責任編輯：孫珊珊]

【摘 要】積分學是高等數學的主要分支。定積分與二重積分的概念和計算是積分學的重要組成部分，其在在幾何、物理、概率統計等方面有著重要應用。二重積分作為定積分的推廣，其二者有著共同的解題技巧，包括利用幾何意義、對稱性、換元法來簡化定積分與二重積分的計算。

【關鍵詞】定積分；二重積分；對稱性；幾何意義；換元法

0 前言

如何解題對于學好高等數學的重要性毋庸置疑，定積分與二重積分的計算是高等數學的一個重點， 也是難點。而許多學生見到稍難一點的題目就無從下手，不知如何思考，這樣就影響了學習的積極性。定積分作為積分學的基礎，在二重積分的計算中起著重要作用，掌握起來也相對比較容易。本文總結出了一些定積分二重積分共有的計算技巧，可以讓學生在學好定積分的基礎上掌握二重積分的計算技巧，通過類比與推廣，達到巧妙解決一般的定積分與二重積分的計算問題。

1 利用幾何意義計算積分值

2 利用對稱性計算積分值

3 利用換元法簡化計算

3.1 牛頓—萊布尼茲公式給定積分的計算提供了一種有效的方法，但它完全依賴于求被積函數的原函數，但有時原函數是很難直接求出來的，此時可采用定積分的換元法。

3.2 二重積分計算的一般方法是將其化為兩次單積分，但當積分區域難于確定定積分限或者被積函數比較復雜時，可以考慮應用換元法。

4 建議

定積分的通常計算方法是得到原函數，再利用牛頓-萊布尼茨公式進行計算；二重積分的一般計算步驟是：①畫出積分域；②選擇坐標系，選擇時要遵循i域邊界應盡量多為坐標線ii被積函數關于坐標變量易分離；③確定積分序，需注意i積分域分塊要少ii累次積分好算為妙；④寫出積分限，方法有圖示法和不等式法。在計算的時候要充分利用它們的幾何意義，對稱性以及換元法來簡化計算。二重積分的計算是以定積分的計算為基礎，只有會熟練的計算定積分，并把定積分的基本計算技巧熟練地推廣到二重積分才能更好的掌握二重積分的計算。通過以上介紹的幾種方法能大大簡化定積分和二重積分的計算。總之，只要方法選得適當，都能從容的應對它們的計算。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M]. 北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001：695-708.

[4]復旦大學數學系.數學分析（下冊）[M].北京：高等教育出版社，1983：144-224.

[5]辛春元.二重積分的計算方法[J].現代商貿工業，2010，15：376-377.

[6]吳耀強.巧用二重積分求解定積分之例說[J].高等函授學報，2006（5）：46-48.

[責任編輯：孫珊珊]