矩陣的等價關系與分類

謝曉華

(河南林業職業學院 基礎部，河南 洛陽471002）

1 預備知識

定義1.2：集合S 的一個二元關系“～” 稱為等價關系，若滿足ⅰ）反身性：x～xⅱ）對稱性：若x～y 則y～xⅲ）傳遞性：若x～y，y～z 則z～x。

定理1.1：集合S 的一個分類必決定S 的一個等價關系。

定理1.2：集合S 的一個等價關系必決定S 的一個分類。

（2）只需證：若Sx∩Sy≠? 則Sx=Sy，設z∈Sx∩Sy，則z～x，z～y 由等價關系的對稱性和傳遞性得x～y， 所以對任意的a∈Sx，a～x，x～y 所以a～y 即a∈Sy所以Sx?Sy，同理可證Sy?Sx所以Sx=Sy。

2 矩陣的等價關系

2.1 矩陣的相抵關系

定義2.1：如果矩陣A 經過有限次的初等變換后得到矩陣B，那么稱A 與B 是相抵的。

定理2.1： 任意兩個矩陣A、B 相抵的充分必要條件是：1）A、B 同型且秩相等；2）存在可逆陣P 和Q 使得PAQ=B。

也就是說，任意一個秩為r 的m×n 矩陣A 都相抵與形如的矩陣，這種結構簡單的矩陣稱為A 的相抵標準型，秩r 為相抵關系下的全系不變量。 即兩個同型矩陣相抵的本質是具有相同的秩。

2.2 矩陣的相似關系

定義2.2：對于n 階方陣A、B，若存在一個可逆陣P,使得P-1AP=B，則稱A 與B 相似。

由定義可得A 通過相似變換變為B 需要很強的約束條件： 兩邊乘的矩陣要互逆，所以要通過引入λ-矩陣除去其約束條件，將A 與B的相似轉換為λI-A 與λI-B 的相抵來研究， 即通過相抵標準型來研究數字矩陣A 與B 的相似。

定理2.2

（1）A 與B 相似?矩陣A 能夠經過相似變換變成矩陣B

?,A 與B 是同階方陣且它們有相同的不變因子組

即矩陣相似關系下的全系不變量是不變因子組。

也就是說秩相等是矩陣相似的必要條件，兩個同階方陣相似的本質是它們有相同的不變因子組。

相似矩陣的性質： 矩陣相似，則它們的秩相等，跡相等，行列式相等，特征值相等，特征多項式也相等；它們還有相同的可逆性，且可逆時它們的逆矩陣也相似。

注意，兩個同階方陣如果它們可以對角化（例如實對稱矩陣），則它們相似就等價于它們有完全相同的特征值（或特征多項式相等）；否則，同階方陣的特征值完全相同只是它們相似的必要條件。

2.3 矩陣的合同關系

定義2.3：對于n 階方陣A、B，若存在可逆陣P,使得PTAP=B，則稱A 與B 合同。

兩個矩陣合同的概念是不需要矩陣必須是實對稱矩陣的。如果A是實對稱矩陣，則它一定能與對角矩陣合同。 但合同一般是對于對稱矩陣來說的，n 階對稱矩陣必然有n 個實特征根。 如果兩對稱矩陣的不為零的特征根數相同，并且正特征根數也相同，那么兩矩陣是合同的。反之，如果兩矩陣合同的話，那么這兩個矩陣不為零的特征根數相同，并且正特征根數也相同。

定理2.3：在復數域上，n 階對稱陣在合同關系下的全系不變量是矩陣的秩r。

定理2.4：在實數域上，n 階對稱陣在合同關系下的全系不變量是矩陣的秩r、正慣性指數p、負慣性指數q 和符號差s 中的任意兩個。

注意：合同與二次型有關，同一數域上的二次型與對稱矩陣之間一一對應，因此矩陣合同一般針對的是對稱矩陣。

2.4 矩陣相抵，相似與合同之間的關系

（1）相抵關系最弱。合同與相似是特殊的相抵關系，若兩個矩陣相似或合同，則這兩個矩陣一定相抵，反之不成立。相似與合同不能互相推導，但如果相似矩陣為正交相似，合同陣為正交合同，則相似與合同一致。

（2）對于實對稱矩陣，特征值是相似的不變量，秩和正慣性指數是合同關系下的全系不變量，因此實對稱矩陣相似則一定合同。

（3）相抵，相似與合同具有：反身性，對稱性，傳遞性，因此都是等價關系。

所以可以基于這三種等價關系對矩陣進行分類。

3 等價關系下的分類

結論1：m×n 矩陣在相抵關系下可分為k+1 類 （其中k=min｝）

證明：由定理2.1 得到秩r 為相抵關系下的全系不變量，所以 矩陣可分為秩為0，秩為1，…，秩為min ｛m， n ｝的矩陣，共有min ｛m， n ｝+1 類。

結論2：所有n 階方陣，在相似關系下有無限多個等價類。

證明：設n 階復方陣A 的初等因子組是（λ-λ1）r1，（λ-λ2）r2，…，（λ-λk）rk，由于兩個方陣相似的充分必要條件是它們的初等因子組完全相同，及λi，ri（i=1,2，…，k）完全相同，而λi為復數域上的任意數，有無窮多個，所以在相似關系下n 階方陣有無限多個等價類。

結論3：在復數域上，n 階對稱陣在合同關系下可分為n+1 類。

由定理2.3 和結論1 的證明可得。

證明：以選p，r 為全系不變量為例來證明

當r=0 時，p=0 共1 類

當r=1 時，p=0，1 共2 類

…

當r=n 時，p=0，1，…，n 共n+1 類

4 根據等價關系將矩陣分類的意義

矩陣的全體很復雜，都是無限個矩陣，我們要研究它自然就要選代表元，這個代表元肯定是在某種意義下的代表元，那么我們就需要給一個等價關系，比如在相抵關系下，可以通過研究相抵標準型這種結構簡單的矩陣來研究整個類。

例：證明若n階方陣A 不可逆，則必存在不為零的矩陣B，使得AB＝0

從此例可以看出對于一般矩陣A 而言，B 不好找，但具有簡單結構的相抵標準型滿足條件的矩陣相對容易找，這樣就可以把復雜的問題簡單化，有利于我們研究。

［1］姚慕生.高等代數學[M].上海：復旦大學出版社，2008.

［2］王天澤.線性代數[M].北京：科學出版社，2013.