初中建模教學初探

徐忠

【內容摘要】在教學《銳角三角函數》的習題課時，教師通過對書本上一道實際問題的探究，抽象出數學模型，并和學生一起分析模型，應用模型，培養了學生解決問題的能力，提高了學生的學習興趣。

【關鍵詞】探究 建模步驟 建模途徑

在教學蘇教版九年級下冊《銳角三角函數》這一單元時，教材中有很多測高、測距、航海、燕尾槽、攔水壩、人子架等生活中的實際問題，這些實際問題都可以抽象出三角模型，轉化成解直角三角形的問題。而在練習中我發現，學生就題論題，題目稍加變化，很多學生就束手無策。于是在這一章的復習課上，我嘗試著通過書上的一道實際問題進行改編，然后與學生一起建立模型、分析模型、對模型進行變式找出規律，再通過教材找出對應的實際問題，最后讓學生根據這些模型自己編寫三道實際問題，通過這一系列的操作，幫助學生打開了思路，取得了不錯的效果。

【教學片斷】

例1：如圖，一座塔的高度DC=120m，甲、乙兩人分別站在塔的西、東兩側的點A、B處，測得塔頂的仰角分別是30°、60°，求A、B兩點到塔底C的距離。

學生畫圖解答。

師：這道實際問題的模型是一個雙垂直三角形，你除了會求出AC和BC外，還會求那些邊和角？

生1：我還會求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。

師：想一想！在雙垂直三角形中關于邊有AD、AC、AB、BC、BD、DC六個元素，關于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四個元素中，要知道幾個元素才能求出其它元素？

生2：我發現只要知道兩個就行了。

生3：不對，比如兩個角就不可以。

生4：我發現一邊一角，和兩邊才可以。

師：生4發現了一個重要規律，就是在雙垂直三角形中，已知兩個元素（至少一條邊）就可以求出其它八個元素。如果△ADB是普通三角形還會有這樣的結論嗎？（出示圖例2）

學生小組討論，教師參與到小組討論中。

生5：我覺得已知兩個元素不能求出其它條件，我們小組研究發現必須三個元素才行。

生6：我們小組覺得三個元素也不一定行，比如知道三個角就不行。

生7：三個條件中必須至少知道一條邊才行。

生8：不一定，我覺得兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素其中必須有一條邊才行。

師：生8回答的非常好，找到了解這個模型的關鍵所在。例2的兩個直角三角形在DC的異側，如果在同側會不會有這個規律呢？（出示圖例3）

生討論后，發現這個規律仍成立。

學生們為自己發現的結論興奮不已，大家沉浸在成功的喜悅之中，此時我感覺學生的探究熱情高漲，于是因勢利導，給出了下列兩個變式。

師：如果在直角梯形里又會怎么樣呢？（出示圖例4）

生9：我發現除DE、BC外，其它元素都和△ABD有關，因此只要知道三角形中的兩個元素（至少一條邊）其它元素都可以求了。

師；那么如果是一般梯形呢？（出示圖例5）

生10：我發現除了DC、EF外其它的跟例（2）是一樣的，兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素，其中必須有一條邊就行了。

師：生10說的非常好，其實這些模型的實際問題我們書上都有，你能不能從書P54～P63頁找出這些模型的實際問題，最好再找出我們沒有分析到的模型。

學生找到這些實際問題以后，教師和學生一起分析、解題并對新找到的模型進行分析。

課后作業要求學生任選三個模型自己編寫三道實際問題并提供答案，然后讓同桌解答。

【教學反思】

這個探究過程是通過實際問題建立一個雙垂直三角形的模型，然后和學生一起分析模型找出解題的關鍵，再把雙垂直三角形變成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型進行分析，體現了由特殊到一般的數學思想，而這些模型分散在教材與學生平時練習中，教師將其集中在一起形成序列進行教學，目的是引導學生能夠運用一定的數學思想來解題，而不是盲目的就題論題，從而提高學生解決問題的能力，讓學生不僅知道題目的解法，還能領悟和運用解題時所反映和蘊含的數學建模思想，達到舉一反三，觸類旁通的目的，而這整章的習題基本上是圍繞著這幾種模型而設計展開的。

一、教學中為什么要數學建模

目前的數學教育存在著重知識灌輸輕理解方法、重理論記憶輕實際應用的問題，教師經常對學生進行大量機械重復的訓練，以期望達到“熟能生巧”的目的，而事實上學生的思維能力并沒有提高，其主要原因是訓練中缺乏建模數學思想方法的滲透。研究表明，數學訓練可以分為三個層次。第一層是“知識堆積”與“解題術”式的。它易操作、易復制，但功能性弱，應用面窄。第二層次是“思維方法”和“解題方法”式的。它與前一層次比，程序性弱，不易復制，但功能性更強，應用面寬。第三層是“數學思想”與“數學觀念”式的，它雖然抽象，程序性更弱，但功能性強，它是對前面兩個層次的指導和引領。所以，在數學課中應該科學地、有層次地設計練習，讓提煉數學思想方法，構建數學模型成為課堂的常態。

二、如何進行數學建模教學

用數學模型解決問題，最關鍵的一步是找到適當的數學模型，分析模型。第一步，弄清實際問題：通過例1和學生建立了雙垂直三角形，學生求解發現十個元素中知道兩個元素（至少一邊）就能求出其它元素的方法模型，具有了知識遷移的基礎；第二步，通過變式建立模型：在和學生發現了雙垂直三角形的解題特點后，通過變式讓學生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特點，建立了相關的數學結構；第三步，在所建模型的基礎上進行驗證：教學中讓學生在書上找出這些模型的對應習題，和學生們一起分析、解答，通過練習驗證了模型；第四步，應用模型：通過解答書上的例題驗證了探索出的模型，課后讓學生自己編三道題目加深了對模型的理解，鞏固了所學知識。縱觀整個教學設計，模型方法的滲透做到了有步驟、有計劃的層層鋪墊，使學生經歷了對問題進行抽象-建立模型-驗證模型-應用模型的全過程。

三、建模教學中的一些主要途徑

數學建模是一個長期的、不斷積累經驗、不斷深化的過程，因此在教學中筆者總結了幾個行之有效的途徑。

1.加強基礎知識教學，為學生進行數學建模奠定基礎；

2.實施有效的問題解決策略，引導學生對解題思路進行探索、解題方法和規律進行概括，滲透數學建模思想；

3.注重應用題的教學，培養學生通過建立模型解決實際問題的能力；

4.課堂教學中創設恰當的問題情境，引導學生積極進行建模活動；

5.注重實驗教學，讓學生在動手操作的過程中建立數學模型。

當然，要使學生能靈活應用數學建模的方法解決問題，不可能通過一節課、一兩個例題就能完成的，需要我們有計劃有步驟的分步實施，這樣才能達到我們預期的效果。

（作者單位：江蘇省張家港市南豐中學）

【內容摘要】在教學《銳角三角函數》的習題課時，教師通過對書本上一道實際問題的探究，抽象出數學模型，并和學生一起分析模型，應用模型，培養了學生解決問題的能力，提高了學生的學習興趣。

【關鍵詞】探究 建模步驟 建模途徑

在教學蘇教版九年級下冊《銳角三角函數》這一單元時，教材中有很多測高、測距、航海、燕尾槽、攔水壩、人子架等生活中的實際問題，這些實際問題都可以抽象出三角模型，轉化成解直角三角形的問題。而在練習中我發現，學生就題論題，題目稍加變化，很多學生就束手無策。于是在這一章的復習課上，我嘗試著通過書上的一道實際問題進行改編，然后與學生一起建立模型、分析模型、對模型進行變式找出規律，再通過教材找出對應的實際問題，最后讓學生根據這些模型自己編寫三道實際問題，通過這一系列的操作，幫助學生打開了思路，取得了不錯的效果。

【教學片斷】

例1：如圖，一座塔的高度DC=120m，甲、乙兩人分別站在塔的西、東兩側的點A、B處，測得塔頂的仰角分別是30°、60°，求A、B兩點到塔底C的距離。

學生畫圖解答。

師：這道實際問題的模型是一個雙垂直三角形，你除了會求出AC和BC外，還會求那些邊和角？

生1：我還會求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。

師：想一想！在雙垂直三角形中關于邊有AD、AC、AB、BC、BD、DC六個元素，關于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四個元素中，要知道幾個元素才能求出其它元素？

生2：我發現只要知道兩個就行了。

生3：不對，比如兩個角就不可以。

生4：我發現一邊一角，和兩邊才可以。

師：生4發現了一個重要規律，就是在雙垂直三角形中，已知兩個元素（至少一條邊）就可以求出其它八個元素。如果△ADB是普通三角形還會有這樣的結論嗎？（出示圖例2）

學生小組討論，教師參與到小組討論中。

生5：我覺得已知兩個元素不能求出其它條件，我們小組研究發現必須三個元素才行。

生6：我們小組覺得三個元素也不一定行，比如知道三個角就不行。

生7：三個條件中必須至少知道一條邊才行。

生8：不一定，我覺得兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素其中必須有一條邊才行。

師：生8回答的非常好，找到了解這個模型的關鍵所在。例2的兩個直角三角形在DC的異側，如果在同側會不會有這個規律呢？（出示圖例3）

生討論后，發現這個規律仍成立。

學生們為自己發現的結論興奮不已，大家沉浸在成功的喜悅之中，此時我感覺學生的探究熱情高漲，于是因勢利導，給出了下列兩個變式。

師：如果在直角梯形里又會怎么樣呢？（出示圖例4）

生9：我發現除DE、BC外，其它元素都和△ABD有關，因此只要知道三角形中的兩個元素（至少一條邊）其它元素都可以求了。

師；那么如果是一般梯形呢？（出示圖例5）

生10：我發現除了DC、EF外其它的跟例（2）是一樣的，兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素，其中必須有一條邊就行了。

師：生10說的非常好，其實這些模型的實際問題我們書上都有，你能不能從書P54～P63頁找出這些模型的實際問題，最好再找出我們沒有分析到的模型。

學生找到這些實際問題以后，教師和學生一起分析、解題并對新找到的模型進行分析。

課后作業要求學生任選三個模型自己編寫三道實際問題并提供答案，然后讓同桌解答。

【教學反思】

這個探究過程是通過實際問題建立一個雙垂直三角形的模型，然后和學生一起分析模型找出解題的關鍵，再把雙垂直三角形變成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型進行分析，體現了由特殊到一般的數學思想，而這些模型分散在教材與學生平時練習中，教師將其集中在一起形成序列進行教學，目的是引導學生能夠運用一定的數學思想來解題，而不是盲目的就題論題，從而提高學生解決問題的能力，讓學生不僅知道題目的解法，還能領悟和運用解題時所反映和蘊含的數學建模思想，達到舉一反三，觸類旁通的目的，而這整章的習題基本上是圍繞著這幾種模型而設計展開的。

一、教學中為什么要數學建模

目前的數學教育存在著重知識灌輸輕理解方法、重理論記憶輕實際應用的問題，教師經常對學生進行大量機械重復的訓練，以期望達到“熟能生巧”的目的，而事實上學生的思維能力并沒有提高，其主要原因是訓練中缺乏建模數學思想方法的滲透。研究表明，數學訓練可以分為三個層次。第一層是“知識堆積”與“解題術”式的。它易操作、易復制，但功能性弱，應用面窄。第二層次是“思維方法”和“解題方法”式的。它與前一層次比，程序性弱，不易復制，但功能性更強，應用面寬。第三層是“數學思想”與“數學觀念”式的，它雖然抽象，程序性更弱，但功能性強，它是對前面兩個層次的指導和引領。所以，在數學課中應該科學地、有層次地設計練習，讓提煉數學思想方法，構建數學模型成為課堂的常態。

二、如何進行數學建模教學

用數學模型解決問題，最關鍵的一步是找到適當的數學模型，分析模型。第一步，弄清實際問題：通過例1和學生建立了雙垂直三角形，學生求解發現十個元素中知道兩個元素（至少一邊）就能求出其它元素的方法模型，具有了知識遷移的基礎；第二步，通過變式建立模型：在和學生發現了雙垂直三角形的解題特點后，通過變式讓學生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特點，建立了相關的數學結構；第三步，在所建模型的基礎上進行驗證：教學中讓學生在書上找出這些模型的對應習題，和學生們一起分析、解答，通過練習驗證了模型；第四步，應用模型：通過解答書上的例題驗證了探索出的模型，課后讓學生自己編三道題目加深了對模型的理解，鞏固了所學知識。縱觀整個教學設計，模型方法的滲透做到了有步驟、有計劃的層層鋪墊，使學生經歷了對問題進行抽象-建立模型-驗證模型-應用模型的全過程。

三、建模教學中的一些主要途徑

數學建模是一個長期的、不斷積累經驗、不斷深化的過程，因此在教學中筆者總結了幾個行之有效的途徑。

1.加強基礎知識教學，為學生進行數學建模奠定基礎；

2.實施有效的問題解決策略，引導學生對解題思路進行探索、解題方法和規律進行概括，滲透數學建模思想；

3.注重應用題的教學，培養學生通過建立模型解決實際問題的能力；

4.課堂教學中創設恰當的問題情境，引導學生積極進行建模活動；

5.注重實驗教學，讓學生在動手操作的過程中建立數學模型。

當然，要使學生能靈活應用數學建模的方法解決問題，不可能通過一節課、一兩個例題就能完成的，需要我們有計劃有步驟的分步實施，這樣才能達到我們預期的效果。

（作者單位：江蘇省張家港市南豐中學）

【內容摘要】在教學《銳角三角函數》的習題課時，教師通過對書本上一道實際問題的探究，抽象出數學模型，并和學生一起分析模型，應用模型，培養了學生解決問題的能力，提高了學生的學習興趣。

【關鍵詞】探究 建模步驟 建模途徑

在教學蘇教版九年級下冊《銳角三角函數》這一單元時，教材中有很多測高、測距、航海、燕尾槽、攔水壩、人子架等生活中的實際問題，這些實際問題都可以抽象出三角模型，轉化成解直角三角形的問題。而在練習中我發現，學生就題論題，題目稍加變化，很多學生就束手無策。于是在這一章的復習課上，我嘗試著通過書上的一道實際問題進行改編，然后與學生一起建立模型、分析模型、對模型進行變式找出規律，再通過教材找出對應的實際問題，最后讓學生根據這些模型自己編寫三道實際問題，通過這一系列的操作，幫助學生打開了思路，取得了不錯的效果。

【教學片斷】

例1：如圖，一座塔的高度DC=120m，甲、乙兩人分別站在塔的西、東兩側的點A、B處，測得塔頂的仰角分別是30°、60°，求A、B兩點到塔底C的距離。

學生畫圖解答。

師：這道實際問題的模型是一個雙垂直三角形，你除了會求出AC和BC外，還會求那些邊和角？

生1：我還會求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。

師：想一想！在雙垂直三角形中關于邊有AD、AC、AB、BC、BD、DC六個元素，關于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四個元素中，要知道幾個元素才能求出其它元素？

生2：我發現只要知道兩個就行了。

生3：不對，比如兩個角就不可以。

生4：我發現一邊一角，和兩邊才可以。

師：生4發現了一個重要規律，就是在雙垂直三角形中，已知兩個元素（至少一條邊）就可以求出其它八個元素。如果△ADB是普通三角形還會有這樣的結論嗎？（出示圖例2）

學生小組討論，教師參與到小組討論中。

生5：我覺得已知兩個元素不能求出其它條件，我們小組研究發現必須三個元素才行。

生6：我們小組覺得三個元素也不一定行，比如知道三個角就不行。

生7：三個條件中必須至少知道一條邊才行。

生8：不一定，我覺得兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素其中必須有一條邊才行。

師：生8回答的非常好，找到了解這個模型的關鍵所在。例2的兩個直角三角形在DC的異側，如果在同側會不會有這個規律呢？（出示圖例3）

生討論后，發現這個規律仍成立。

學生們為自己發現的結論興奮不已，大家沉浸在成功的喜悅之中，此時我感覺學生的探究熱情高漲，于是因勢利導，給出了下列兩個變式。

師：如果在直角梯形里又會怎么樣呢？（出示圖例4）

生9：我發現除DE、BC外，其它元素都和△ABD有關，因此只要知道三角形中的兩個元素（至少一條邊）其它元素都可以求了。

師；那么如果是一般梯形呢？（出示圖例5）

生10：我發現除了DC、EF外其它的跟例（2）是一樣的，兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素，其中必須有一條邊就行了。

師：生10說的非常好，其實這些模型的實際問題我們書上都有，你能不能從書P54～P63頁找出這些模型的實際問題，最好再找出我們沒有分析到的模型。

學生找到這些實際問題以后，教師和學生一起分析、解題并對新找到的模型進行分析。

課后作業要求學生任選三個模型自己編寫三道實際問題并提供答案，然后讓同桌解答。

【教學反思】

這個探究過程是通過實際問題建立一個雙垂直三角形的模型，然后和學生一起分析模型找出解題的關鍵，再把雙垂直三角形變成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型進行分析，體現了由特殊到一般的數學思想，而這些模型分散在教材與學生平時練習中，教師將其集中在一起形成序列進行教學，目的是引導學生能夠運用一定的數學思想來解題，而不是盲目的就題論題，從而提高學生解決問題的能力，讓學生不僅知道題目的解法，還能領悟和運用解題時所反映和蘊含的數學建模思想，達到舉一反三，觸類旁通的目的，而這整章的習題基本上是圍繞著這幾種模型而設計展開的。

一、教學中為什么要數學建模

目前的數學教育存在著重知識灌輸輕理解方法、重理論記憶輕實際應用的問題，教師經常對學生進行大量機械重復的訓練，以期望達到“熟能生巧”的目的，而事實上學生的思維能力并沒有提高，其主要原因是訓練中缺乏建模數學思想方法的滲透。研究表明，數學訓練可以分為三個層次。第一層是“知識堆積”與“解題術”式的。它易操作、易復制，但功能性弱，應用面窄。第二層次是“思維方法”和“解題方法”式的。它與前一層次比，程序性弱，不易復制，但功能性更強，應用面寬。第三層是“數學思想”與“數學觀念”式的，它雖然抽象，程序性更弱，但功能性強，它是對前面兩個層次的指導和引領。所以，在數學課中應該科學地、有層次地設計練習，讓提煉數學思想方法，構建數學模型成為課堂的常態。

二、如何進行數學建模教學

用數學模型解決問題，最關鍵的一步是找到適當的數學模型，分析模型。第一步，弄清實際問題：通過例1和學生建立了雙垂直三角形，學生求解發現十個元素中知道兩個元素（至少一邊）就能求出其它元素的方法模型，具有了知識遷移的基礎；第二步，通過變式建立模型：在和學生發現了雙垂直三角形的解題特點后，通過變式讓學生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特點，建立了相關的數學結構；第三步，在所建模型的基礎上進行驗證：教學中讓學生在書上找出這些模型的對應習題，和學生們一起分析、解答，通過練習驗證了模型；第四步，應用模型：通過解答書上的例題驗證了探索出的模型，課后讓學生自己編三道題目加深了對模型的理解，鞏固了所學知識。縱觀整個教學設計，模型方法的滲透做到了有步驟、有計劃的層層鋪墊，使學生經歷了對問題進行抽象-建立模型-驗證模型-應用模型的全過程。

三、建模教學中的一些主要途徑

數學建模是一個長期的、不斷積累經驗、不斷深化的過程，因此在教學中筆者總結了幾個行之有效的途徑。

1.加強基礎知識教學，為學生進行數學建模奠定基礎；

2.實施有效的問題解決策略，引導學生對解題思路進行探索、解題方法和規律進行概括，滲透數學建模思想；

3.注重應用題的教學，培養學生通過建立模型解決實際問題的能力；

4.課堂教學中創設恰當的問題情境，引導學生積極進行建模活動；

5.注重實驗教學，讓學生在動手操作的過程中建立數學模型。

當然，要使學生能靈活應用數學建模的方法解決問題，不可能通過一節課、一兩個例題就能完成的，需要我們有計劃有步驟的分步實施，這樣才能達到我們預期的效果。

（作者單位：江蘇省張家港市南豐中學）