談高中數學教學中數學知識意義的發掘

成春霞

高中數學知識對于學生有哪些作用呢？如果只認為其具有應付考試的作用，那這樣的認識顯然是狹隘的。但若真的要讓久經應試的老師去發掘數學知識的其它意義，似乎又有些困難。為什么會出現這樣的情形呢？筆者認為可能是因為作為教學一線的數學教師，在面對學生的成長時，視野可能還不夠開闊。知道了原因，問題也就有了解決的希望，筆者以“正弦定理”的教學為例，進行了一次數學知識意義的發掘旅程。

一、教材分析，數學意義發掘的首要步驟

這里所說的教材分析，是指從學生的知識積累、思維發展、數學理解等角度進行的分析。其中，知識積累是數學教學的應有之義，思維發展也是數學教學的常規要求，而數學理解則常常是游離于數學教師視野之外，卻是學生數學素養提升十分重要的因素。

從內容地位的角度來看，正弦定理一方面是前面三角形知識的“升級版”，揭示了三角形邊與角之間的關系，同時又綜合了三角函數知識與平面向量的知識，而往后看，正弦定理又是后面更為復雜的余弦定理的學習前奏。因此在學習本知識之前，要幫學生梳理好前面三角形及三角函數之類的知識，同時又要考慮到本知識的學習可能會給后面的余弦定理帶來的積極作用；從思維發展的角度來看，正弦定理可以說是第一次比較明確地確定了三角形邊與角的關系，因而在打開學生對三角形（包括多邊形）邊與角的關系的思路上，具有重要的地位。且在學生的學習過程中，正弦定理的得出運用到化歸思想，顯然本知識又是一次數學思想的再次重復；而從數學理解的角度來看，正弦定理邁開了任意三角形的角邊關系求解的第一步，這是數學研究中特殊走向一般的普遍規律，其中涉及到數學課程標準特別強調的“問題解決”的相關內容，而在問題解決過程中又涉及到數學問題研究的思路與方法，涉及到用數學視角看待問題、研究問題并解決問題的過程，培養學生嚴密的邏輯推理與理性精神，是數學理解的重要施力點。

一般來說，出現在高中教材中的數學知識，所蘊含的意義都是十分豐富的，但這種意見的發現需要教師的一雙慧眼。實際上，意義的發現也沒那么神奇，無非是從數學促進學生發展的角度去看待數學教學。

二、教學實踐，數學意義發掘的實現步驟

一段數學意義是否能夠最終實現，關鍵還在于教學實踐。筆者在發現“正弦定理”知識意義的過程中，經歷了這樣的教學過程。

其一，教學引入。引入語言是：在人類的生活中，利用三角形解決實際問題，是一件彰顯數學智慧的事情。在以前的學習中，我們還很少利用三角形知識去解決實際問題，今天我們就來嘗試一下。出示實際問題：在一條河的兩岸，分別住著兩個人家A和B（AB連線與河不垂直）?，F在只給你一把米尺和量角器，你能測出這兩個人家之間的距離嗎？

數學意義：本問題的情境十分接近現實，而問題的解決需要學生根據文字描述去建立適當的模型（數學建模），一般情況下，學生可能建立的模型是以A、B連線為直角邊，C為直角的直角三角形，利用余弦函數即可求出相應的距離。而這樣的情境創設，顯然可以幫學生確立數學知識可以致用的認識。

其二，新課教學（拓展延伸）。以剛才學生構建的直角三角形為載體，在剛才運用余弦函數的基礎上，引導學生拓展延伸：直角三角形ABC 中還有哪些邊角關系？學生此時可以順利地回答出正弦、余弦、正切、余切等關系，然后教師將正弦關系挑選出來并在黑板上利用板書進行上下對應的呈現：sinA=a/c；sinB=b/c；然后將其變形為c=a/sinA；c=b/sinB。當這一形式出現之后，教師停頓片刻以讓學生對比以發現規律，并進而思考、猜想，學生自然就會產生一種想法：邊a、b以及角A、B都有了，那邊c與角C有可能出現嗎？由于是直角三角形，c=c/sinC的關系也就自然而然地出現了。

那么，對于一般的三角形，這樣的關系是否成立呢？于是作一個任意三角形，并將目光鎖定在角與對應邊的正弦上，就成了學生下一步探究的內容。由于上面知識的啟發，學生在這里一般都會想到作高的方法，但作一條高往往只能尋找到一對關系，于是需要作出另一條邊上的另一個高……于是問題就迎刃而解。

數學意義：一般情況下，如果遵循簡單的模式實施本內容教學，那學生的思維過程可能是生硬的、被動的，而在這樣的情境中，學生的思維是一貫的、自然的。其數學意義主要體現在在數學建模的基礎上，通過數學知識的綜合運用，尋找到從直角三角形到一般三角形的角與邊的關系，尤其是根據數學表達式的對稱美猜想完全的對應關系，這是本課教學的一個重點，也是數學美的一種體現。

其三，數學語言。當正弦定理的表達式出現之后，如何表達其實也是一個重要問題。重點在于訓練學生對數學語言精確性的理解。

數學意義：數學語言的精確性、簡潔性。

三、教學總結，數學意義發掘的“啟后”步驟

一般情況下，學生自己是很少考慮數學意義的，這就需要教師在教學的過程中進行引領。在高中數學教學中，有價值的引領方法往往是讓學生體會到數學知識前后的一貫性，通過一個知識學習之后的教學總結，讓學生發現數學學習的一般規律，為后面數學知識的學習做好準備。

而這就要求教師對數學知識的體系有一個準確理解，對高中數學知識發展的脈絡有一個清晰的把握。譬如本課知識的教學，在得出正弦定理的過程中所用到的化歸思想，就必須在定理得出之后再跟學生梳理；基于數學對稱美而進行的猜想，就必須在定理得出之后再跟學生強調；而數學語言的精確性則可在正弦定理得出過程中，基于學生自己得出的結論，不斷地進行梳理、刪減、抽象而體驗。如果能切實做到這樣，那就為后面的余弦定理的學習打下堅實的數學基礎。有經驗的老師可以發現，兩者之間在得出過程、對稱美、數學語言上有著很大的相似性。

事實表明，如果在數學教學中，能夠從數學意義的角度去思考這種“啟后”性，對于學生數學學習中的可持續發展是有著極大的促進作用的。而且，這樣的教學方式，可以解決高中數學難學的問題，可以讓學生對新的知識自主產生預期感和學習過程中的成就感。

綜上所述，在高中數學教學中發掘數學知識的意義，不僅可以幫學生建構數學知識，更可以促進學生在數學學習中地可持續發展，可謂一舉兩得，必須長期堅持！

（作者單位：江蘇省海門實驗學校）