以“圓的面積”教學談數學的“再創造”

［文獻標識碼］A

［文章編號］1007-9068（2015）20-037

荷蘭著名的數學家、教育家弗蘭登塔爾指出：“數學學習方法的核心是學生的‘再創造’。”在根據自己的體驗和思維方式重新“創造”數學知識、數學思想方法的過程中，學生能更好地體會與理解知識產生、發展的過程，從而更好地掌握知識，并能夠在實際生活中靈活地運用所學的知識解決問題。因此，在數學課堂中，教師應以“再創造”的方式進行教學，引導和幫助學生經歷“再創造”的過程。下面以“圓的面積”一課教學為例，對數學教學中如何指導學生“再創造”淺作分析。

一、創設教學情境，在經驗中“再創造”

學生數學學習中的“再創造”是基于自身的經驗和思維方式進行的，因此在教學過程中，教師應有意識地創設教學情境，引導學生自然地融入課堂學習之中，調動學生已有的生活經驗和數學知識，激活學生的思維，讓學生基于經驗進行“再創造”。創設教學情境的方法有很多，如創設生活情境、運用故事創設情境、以語言描繪情境、利用圖畫重現情境等。

師：大家喜歡小狗嗎？

生 1：喜歡，我經常帶我家的小狗出去玩。

師：對。我們帶狗狗出去玩的時候，為了防止它跑丟，要給它拴上鏈子。現在大家來想一想，如果你站著不動，拴著小狗的鏈子長1m，小狗在最大的范圍內繞著你跑一圈，這一圈有多長呢？

生 2：1m。

生 3：不對。小狗繞著我跑一圈，跑的是個圓，它跑的一圈的長度應該是這個圓的長度。

生 4：嗯，也就是這個圓的周長，我們上一節課學過。鏈子長1m，小狗繞著我跑，也就是以我為圓心，鏈子是半徑，即1m，求出這個圓的周長就是小狗跑一圈的長度。

師：大家回答得很好。那我們再來想一下，小狗可以活動的最大范圍是多少呢？

生 5：6．28m，用圓的周長公式可以求出來。

師：大家能熟練地使用我們學過的公式，做得很好。但我們來想一下，周長是長度，而我們說的是小狗能夠跑動的范圍，它們是一樣的嗎？

生 6：我覺得應該不一樣，范圍應該是個面吧？應該是小狗繞著我跑的這個圓的大小。

師：說得很對。大家來回想一下，我們學習正方形、長方形時，是怎樣表示一個封閉圖形的大小的呢？

生：面積。

……

通過創設生活情境，不僅可以讓學生根據已有的知識和經驗提出自己的想法，實現“圓的面積”這一概念的“再創造”，而且激發了學生的學習興趣，促使學生積極主動地探究新知。

二、鼓勵自主探索，在經歷中“再創造”

數學學習的“再創造”是在學生觀察、比較、發現的過程中實現的，學生只有通過自主探索，才能親身經歷數學知識形成、發展的過程，更加深刻地理解所學的數學知識。因此，在引導學生“再創造”時，教師應鼓勵學生進行自主探索，讓學生在參與知識探究的過程中構建自身的知識體系。

師：我們已經知道了圓的大小可以用面積來描述，也知道圓的周長與它的半徑有關，那圓的面積與什么有關系呢？在回答這個問題之前，大家先來觀察一下這三個圖形（師先畫圓，再畫圓的內接正方形和圓的外切正方形，并標好半徑），關于它們的面積，你有什么看法？

生 1：圓的面積大于里面那個小正方形的面積，小于外面那個大正方形的面積。

師：對。如果我們已知這個圓的半徑是1cm，你能不能算出這兩個正方形的面積呢？它們的面積和圓的半徑有什么關系呢？

生 2：大正方形的邊長就是圓的直徑，也就是半徑的2倍，它的面積是邊長×邊長，所以大正方形的面就是半徑平方的4倍。

生 3：小正方形的面積等于對角線乘積的一半，它的對角線是圓的直徑，所以它的面積是半徑平方的2倍。

師：大家說得很好。那根據大家得出的結果，再來想一想觀察之前老師提出的問題，你能得出什么結論呢？

生 4：圓的面積在它的半徑平方的2倍和4倍之間。

師：對，那我們能不能讓這個結論更精確一點呢？（指導學生采用數方格的方法，測出直徑為3cm、4cm、5cm三個圓的面積，感知圓的面積是其半徑平方的3倍多一點）

……

通過讓學生進行觀察、比較、猜想、驗證等活動，鼓勵學生主動積極地思考，挖掘學生潛在的創造意識，讓學生自己去發現規律，從而實現知識的“再創造”。

三、注重實踐操作，在感悟中“再創造”

實踐操作既能將抽象的數學知識形象化，有利于加深學生對知識和規律的理解，又能使學生的認知從現象深入到本質。因此，在教學過程中，教師應注重學生的實際動手操作，讓學生在實踐操作中，通過思考、交流等活動，探究和理解數學知識。

師：我們已經學過平行四邊形、長方形、三角形等圖形面積的計算方法，其中平行四邊形的面積計算公式我們是通過長方形的面積來推導的，那大家來想一想，圓的面積應該怎樣計算呢？能不能用長方形的面積來推導呢？

生 1：應該可以吧。

生 2：不可以吧，長方形有棱有角，而圓是圓圓的。

師：看來，大家意見不一，那讓我們來動手做一做，看看到底行不行。（先指導學生將一個圓剪成8等份，利用小扇形拼成長方形，再通過多媒體演示將圓分成16等份、32等份、64等份……）從剛才大家動手操作和老師的演示來看，如果老師一直把圓分下去，最終會得到什么呢？

生 3：可以得到一個長方形。

生 4：這個長方形的寬是圓的半徑，長是圓周長的一半，它的面積等于圓周長的一半乘以圓的半徑。

生 5：所以，這個圓的面積等于它周長的一半乘以它的半徑。

生 6：設圓的半徑為r，則面積等于1／2×（2πr）×r，也就是πr 2。

師：大家回答得很好。那大家來討論一下，圓的面積除了能轉化為長方形的面積來計算外，還能轉化為其他圖形的面積嗎？

生 7：可以轉化為三角形。

生 8：還可以轉化為梯形。

師：大家的想法都很好。那我們的猜想正確嗎？請大家分小組進行驗證，然后說說你們的結論。

生 9：我們把圓分別分成4等份、8等份、16等份……發現等分的份數越多，它就越像三角形。如果不停地將圓等分下去，就能將分成的小扇形看成三角形，圓的面積就是所有小三角形面積的和，所有小三角形的高都是圓的半徑，所有小三角形的邊長的和是圓的周長。如果設圓的半徑是r，那么圓的面積S＝1／2×r×2πr＝πr 2。

……

在實踐操作過程中，不僅使學生感悟新知，建構自己的認知體系，實現“再創造”，而且能通過實踐操作驗證自己的猜想，使學生體會到成功的快樂，增強學生探索數學的熱情。

總之，生活是創造的源泉。通過聯系生活，指導學生運用所學知識解決實際問題，能使學生更加深刻地感知數學，既提高了學生靈活運用知識解決問題的能力，又發展了學生的創造性思維，培養了學生良好的思維能力。

（責編　藍　天）