化歸法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

曲廣軍

（陜西理工學(xué)院 數(shù)計(jì)學(xué)院，陜西 漢中 723001）

1 引言

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工科的一門基礎(chǔ)課,它具有結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn).化歸思想是在解決數(shù)學(xué)分析問題時(shí)一種重要的工具．在高等數(shù)學(xué)課程里,化歸策略思想有著重要體現(xiàn)：①變量代換化歸法，如等價(jià)無(wú)窮小代換、換元積分法、“常數(shù)變易法”、“拉格朗日乘數(shù)法”等；②概念歸化法，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、級(jí)數(shù)、、積分等這些概念這些概念都可歸結(jié)到極限的概念中去；③定理及準(zhǔn)則的歸化，如柯西收斂定理,主要有數(shù)列、函數(shù)、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、廣義積分收斂,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、含參變量積分、函數(shù)列的柯西收斂或一致收斂準(zhǔn)則, 這些準(zhǔn)則只依據(jù)數(shù)列或函數(shù)自身的特點(diǎn)來(lái)判斷收斂性.四是離散-連續(xù)化歸的歸化,如海涅定理,把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限結(jié)合起來(lái)，達(dá)到連續(xù)與離散問題的相互轉(zhuǎn)化. 五構(gòu)造模式化歸法，如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理“構(gòu)造性證明”,微分中值定理證明中構(gòu)造的輔助函數(shù)等．總之，數(shù)學(xué)分析中各部分知識(shí)都不是孤立的,它們存在著密切聯(lián)系，而這些聯(lián)系無(wú)處不體現(xiàn)著化歸的數(shù)學(xué)思想.文章將從一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題入手，給大家介紹數(shù)學(xué)分析中化歸思想的應(yīng)用與選擇，從而構(gòu)造一個(gè)完整的知識(shí)脈絡(luò)

2 化歸思想在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

（1）變量代換化歸方法。變量代換化歸法是通過變量代換,將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化去解決問題。例如等價(jià)無(wú)窮小代換，換元積分法。

證明 令xn=a+αn，yn=b+βn,則n→∞時(shí)αn，βn→0 于是

當(dāng)n→∞時(shí)第二和三項(xiàng)趨向于零，又因?yàn)閍n→0（n→∞）, 故→an→有界，即EM，使得≤MAn∈N。故有0<

（2）參數(shù)變易化歸法。通過引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù),使問題的表現(xiàn)形式或解的結(jié)構(gòu),處于某中可變的狀態(tài)之中,從而使問題迎刃而解．例如“常數(shù)變易法”、“拉格朗日乘數(shù)法”等．

（3）離散-連續(xù)化歸。在數(shù)學(xué)分析中離散-連續(xù)化歸方法基本的體現(xiàn)就是海涅定理，它是離散的數(shù)列極限與連續(xù)的函數(shù)極限聯(lián)系起來(lái)。

例 3 設(shè) a >0，b >0，c >0， 求 極 限

（5）數(shù)列問題化歸為級(jí)數(shù)問題。設(shè)x1=a1，xn=a1+…+an（n≥1）則數(shù)列∈xn∈等價(jià)與級(jí)數(shù)，當(dāng)二者都收斂時(shí)。因此,判定數(shù)列∈xn∈的斂散性與求的問題可歸結(jié)為判定的斂散性與求級(jí)數(shù)和的問題。

（6）多元函數(shù)的極限化歸為一元函數(shù)的極限。多元函數(shù)的極限計(jì)算我們大多是通過變量替換將其可以化歸為一元函數(shù)的極限問題來(lái)討論,這就是所謂的“一維化”方法．

解 設(shè)x=ρcosθ,y=ρsinθ（這里x0=0,y0=0），由cosθ 和sinθ 的有界性, 有（sin3θ+cos3θ）=0

（7）不同類型積分之間的化歸。二重積分化歸為定積分：二重積分計(jì)算的基本方法是化二重積分為累次積分,這種幾乎是計(jì)算二重積分的唯一方法，使用變量替換法和分部積分法,最終還是化歸為累次積分。

曲線積分化歸為定積分：無(wú)論是第一型曲線積分還是第二型曲線積分,都可以化歸為定積分來(lái)解決,這是我們所熟知的。

曲線積分與二重積分之間的化歸：格林公式給出了平面區(qū)域上的二重積分與沿著區(qū)域邊界的閉曲線的曲線積分之間的關(guān)系。

（8）微分和積分觀點(diǎn)的相互化歸。微分和積分方法的相互轉(zhuǎn)化是解決分析問題的一大利器。

例7 設(shè)f（x）[0 1]上可微,且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)0

因?yàn)镕（0）=0，故只要在證明在（0 1）內(nèi)有F謖（x）>0

已知f（0）=0，00

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),命題得證F/（x）>0。

3 化歸方法評(píng)述

從化歸方法的整體結(jié)構(gòu)框架可以看出:要用化歸方法解決問題,關(guān)鍵是建立完善的的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，從而用不同的手段解決相同的問題.

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