非線性微分系統(tǒng)的等度積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定性

王培光, 許青

(1.河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 河北 保定 071002； 2.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院， 河北 保定 071002)

迄今為止，對(duì)于2微分系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性理論已有一些結(jié)果[1-5].其中，文獻(xiàn)[1]討論了關(guān)于2微分系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性概念，文獻(xiàn)[2]又將這一概念發(fā)展為關(guān)于2微分系統(tǒng)的φ0-相對(duì)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[3]討論了脈沖混合微分系統(tǒng)的φ0-相對(duì)穩(wěn)定性.然而在已有關(guān)于相對(duì)穩(wěn)定性的研究中，積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論很少.

考慮如下2個(gè)微分系統(tǒng)

x′=f1(t,x),x(t0)=x0,
y′=f2(t,y),y(t0)=y0,

(1)

及其擾動(dòng)系統(tǒng)

x′=f1(t,x)+h1(t,x),x(t0)=x0,
y′=f2(t,y)+h2(t,y),y(t0)=y0,

(2)

其中f1,f2,h1,h2∈C[R+×Sρ,Rn],且f1(t,0)=f2(t,0)=h1(t,0)=h2(t,0)=0,R+=[0,+∞),Sρ={x∈K:‖x‖<ρ,ρ>0},‖·‖為Rn中范數(shù).本文利用錐值Lyapunov函數(shù)方法和比較原理研究了微分系統(tǒng)(1)的等度積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定性.另外，關(guān)于φ0-穩(wěn)定性和積分穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論見文[1-12].

1 預(yù)備知識(shí)

定義1Rn的真子集K稱為錐，如果

1)λK?K，λ≥0，2)K+K?K，3)K=K，4)K0≠Φ，5)K∩(-K)={0}，其中K和K0分別稱為K的閉包與內(nèi)部，?K稱為K的邊界.

定義4函數(shù)b(r)屬于K類函數(shù)，如果b∈C[[0,ρ),R+],b(0)=0,且b(r)關(guān)于r是嚴(yán)格單增的.

本文將利用比較原理研究非線性微分系統(tǒng)的等度積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定性.為此，考慮如下比較系統(tǒng)

u′=G(t,u),u(t0)=u0,

(3)

u′=G(t,u)+p(t),u(t0)=u0,

(4)

稱Lyapunov函數(shù)V(t,x,y)屬于類v0，如果滿足

1)V(t,x,y)∈C[R+×Sρ×Sρ,K],V(t,x,y)關(guān)于t,x以及y有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；

2)V(t,x,y)對(duì)于任意t，關(guān)于x,y滿足局部Lipschitz條件，V(t,x,x)=0.

令V(t,x,y)∈v0，則定義

D+V(t,x,y)=limh→0+sup1h[V(t+h,x+hf1(t,x),y+hf2(t,y))-V(t,x,y)].

2 主要結(jié)果

給出如下定義及引理.

定義5比較微分系統(tǒng)(3)的零解是等度積分φ0-穩(wěn)定的，如果對(duì)α≥0，t0∈R+,存在β=β(t0,α),其中α，β∈K，β在t0處連續(xù)，使得當(dāng)

時(shí)，有

(φ0，u*)<β，t≥t0,

其中u*(t,t0,u0)為微分系統(tǒng)(4)的右行最大解.

其他相應(yīng)的積分穩(wěn)定性概念見文獻(xiàn)[1，11].

定義6微分系統(tǒng)(1)的零解是等度積分相對(duì)穩(wěn)定的，如果對(duì)α≥0，t0∈R+,存在β=β(t0,α),其中α，β∈K，β在t0處連續(xù)，使得對(duì)擾動(dòng)系統(tǒng)(2)的所有解x(t)=x(t,t0,x0),y(t)=y(t,t0,y0)，當(dāng)

時(shí)，有‖x(t)-y(t)‖<β,t≥t0成立.

定義7微分系統(tǒng)(1)的零解是

IS1)等度積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定的，如果對(duì)α≥0，t0∈R+,存在β=β(t0,α)，其中α，β∈K，β在t0處連續(xù)，使得當(dāng)

時(shí)，(φ0，x*(t)-y*(t))<β，t≥t0成立，其中x*(t,t0,x0)和y*(t,t0,y0)為擾動(dòng)系統(tǒng)(2)的右行最大解.

IS2)一致積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定的，如果IS1)中的β與t0無關(guān).

IS3)等度漸近積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定的，如果IS1)成立，并且對(duì)ε>0，α≥0和t0∈R+,存在β(t0,α)∈K及T=T(t0,α,),γ=γ(t0,α,)∈R+,使得當(dāng)

時(shí)，(φ0，x*(t)-y*(t))<ε，t≥t0+T成立，其中x*(t,t0,x0)和y*(t,t0,y0)為擾動(dòng)系統(tǒng)(2)的右行最大解.

IS4)一致漸近積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定的，如果IS3)中的β,T,γ與t0無關(guān).

引理1假設(shè)

H1)V(t,x,y)關(guān)于x，y滿足局部Lipschitz條件，且對(duì)(t,x,y)∈J×Sρ×Sρ,有D+V(t,x,y)≤G(t,V(t,x,y));

H2)G∈C[J×K,Rn]，且對(duì)任意t∈J，G關(guān)于u是擬單調(diào)非減的.

若V(t0,x0,y0)≤u0,則有

V(t,x0,y0)≤r(t,t0,u0),t≥t0,

其中r(t,t0,u0)為微分系統(tǒng)(3)的右行最大解.

證明： 令x(t)=x(t,t0,x0),y(t)=y(t,t0,y0)為微分系統(tǒng)(1)的解，使得V(t0,x0,y0)≤u0.

令m(t)=V(t,x(t),y(t)),則對(duì)充分小的h>0，由V(t,x(t),y(t))關(guān)于x，y滿足局部Lipschitz條件，得

m(t+h)-m(t)≤L‖x(t+h)-x(t)-hf1(t,x(t))‖+L‖y(t+h)-y(t)-

hf2(t,y(t))‖+V(t+h,x(t)+hf1(t,x(t)),y(t)+hf2(t,y(t)))-V(t,x(t),y(t)).

由上式及H1)，D+m(t)≤G(t,m(t)).

根據(jù)文[14]的定理2.3，得V(t,x0,y0)≤r(t,t0,u0).

定理1假設(shè)

A1)V(t,x,y)∈v0;

A2)D+V(t,x,y)≤G(t,V(t,x,y));

A3)f1,f2分別關(guān)于x，y是擬單調(diào)非減的；

A4)對(duì)(t,x,y)∈J×Sρ×Sρ，(φ0，x(t)-y(t))≤(φ0,V(t,x,y)).

比較系統(tǒng)(3)零解的等度積分φ0-穩(wěn)定性蘊(yùn)含微分系統(tǒng)(1)零解的等度積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定性.

證明： 比較系統(tǒng)(3)的零解是等度積分φ0-穩(wěn)定的，即對(duì)α≥0,t0∈R+,存在β=β(t0,α),其中α，β∈K，β在t0處連續(xù)，當(dāng)

時(shí)，有

(φ0，r*)<β，t≥t0,

其中r*是微分系統(tǒng)(4)的右行最大解.

令h1(t,x*)=M1p(t),h2(t,y*)=M2p(t),M1,M2為常數(shù)，則

因?yàn)閂(t,x,x)=0，并且V(t,x,y)是連續(xù)的，所以存在α1滿足

‖x0-y0‖≤α1,‖V(t0,x0,y0)‖<β‖φ0‖.

令V(t0,x0,y0)=u0，由定理1條件A2)及引理1可知，V(t,x,y)≤r*(t,t0,u0)，其中r*(t,t0,u0)是微分系統(tǒng)(4)的最大解.

由

(φ0，x0-y0)≤‖φ0‖‖x0-y0‖≤‖φ0‖α1，

得

(φ0，V(t,x,y))≤‖φ0‖‖V(t,x,y)‖<β.

令α*=min[‖φ0‖α1,|M1-M2|α],使得

(φ0，x0-y0)≤α*，(φ0，V(t,x,y))<β.

(5)

由定理1中A4)及式(5)，得

(φ0，x(t)-y(t))≤(φ0,V(t,x,y))<(φ0，r*)<β,t≥t0.

因此，由

得

(φ0，x*-y*)<β，t≥t0.

因此，微分系統(tǒng)(1)的零解是等度積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定的.

定理2假設(shè)條件A1)，A3)成立，且進(jìn)一步假設(shè)

A5)a(φ0，x-y)≤(φ0,V(t,x,y)),a-1(ω)≤ω,a∈K;

A6)D+(φ0，V(t,x,y))≤-v[g(φ0,V(t,x,y))]+μ(t)(φ0,V(t,x,y)),其中v∈K，g，μ∈C[R+,R+]；

A7)μ′(t)<0，limt→+∞μ(t)=0,對(duì)t≥t0>0,

則比較系統(tǒng)(3)零解的等度漸近積分φ0-穩(wěn)定性蘊(yùn)含微分系統(tǒng)(1)零解的等度漸近積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定性.

證明： 由條件A6)，A7)，存在充分大的t1≥t0,當(dāng)t≥t1時(shí)，D+(φ0，V(t,x,y))≤0.

比較系統(tǒng)(3)的零解是等度漸近積分φ0-穩(wěn)定的，從而是積分φ0-穩(wěn)定的，即對(duì)α≥0，t0∈R+，存在β=β(t0,α)，γ=γ(t0,α,ε),當(dāng)

有(φ0，r*)<β,t≥t0.

A5)蘊(yùn)含定理1中A4)，則由定理1可知

(φ0,V(t,x*,y*))≤(φ0，V(t0,x0,y0)).

因此由定理1，微分系統(tǒng)(1)的零解是等度積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定的.

下面為證當(dāng)t→+∞時(shí)，(φ0，x*-y*)→0成立，須證當(dāng)t→+∞時(shí)，(φ0，V(t,x*，y*))→0成立.假設(shè)V*=limt→+∞V(t,x,y)≠0.

對(duì)A6)有

因此，對(duì)系統(tǒng)(2)的右行最大解x*,y*，有

(6)

對(duì)式(6)積分，得

當(dāng)t→+∞時(shí)，(φ0，V(t,x*,y*))→-∞與A5)矛盾.故V*=0一定成立.

從而，當(dāng)t→+∞時(shí),(φ0，V(t,x*,y*))→0，即當(dāng)t→+∞時(shí),(φ0，x*-y*)→0.因此，微分系統(tǒng)(1)的零解是等度漸近積分φ0-相對(duì)穩(wěn)定的.

參 考 文 獻(xiàn):

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