美國幾種早期數學課程方案之比較

■ 甘肅省張掖河西學院教師教育學院 王廷瓊

在20世紀早期，美國的政策制定者、教育者和父母開始關心早期兒童數學教育。相關研究表明：美國學生的數學成就低于同齡的東亞學生，而低收入家庭的幼兒在學業成就上又低于高收入、中等收入家庭的同齡人。如何為低收入家庭的幼兒提供適宜的早期數學教育，成為了教育者關注的問題。

一、美國幾種早期數學課程簡介

（一）“兒童復雜數學”（The Big Math for Little Kids）課程

該課程由哥倫比亞大學學院教授 Herbert Ginsburg等四人經過四年（1998年至2002年）的研究研發而成。課程設計具有復雜性、整合性和有序性的特點。課程相關活動設計完成后，先后在不同的學前教育機構中進行過試驗，包括公立學校、教區學校、紐約早期學習中心、馬薩諸塞州、馬里蘭州、德州、威斯康辛州等（Balfanz,Ginsburg,&Greenes,2004）。

（二）“圓形地毯數學”（Round the Rug Math:Adventures in Problem Solving）課程

該課程是 Beth Casey等人以發展適宜性實踐（ Developmentally Appropriate Practices,DAP）為基礎，圍繞問題解決，利用傳統的口頭講故事的方式，開發的一套適用于幼兒園到小學二年級的數學輔助書籍，即《圓形地毯數學——基于問題解決的冒險故事》（RoundtheRugMath:Adventures inProblemSolving）。

（三）“建構”（Building Blocks）課程

該課程由美國紐約州立大學水牛城分校——布法羅大學的Douglas H.Clements教授與同事Julie Sarama歷時四年（1998年至2002年）開發的一項以計算機軟件為基礎的早期數學課程——建構課程方案（BuildingBlocks，全稱為“建構——數學思維的基礎，基于研究的幼兒園到小學二年級的數學課程資源開發”）（Sarama&Clements，2004）。到 2008 年，該課程已在馬薩諸塞州、紐約、納什維爾等廣泛實施，且其規模不斷擴大（Clements&Sarama，2008）。

（四）“先學前數學”（Pre-kindergarten Mathematics）課程

該課程是由加州大學伯克利分校Prentice Starkey等人研發而成。課程以Ginsburg、Geary等人對早期數學知識的發展性研究為基礎，通過為幼兒提供大量的概念以支持其非正式數學知識和能力的發展。

二、幾種早期數學課程之比較

（一）課程目標

“兒童復雜數學”課程關注的對象是低收入家庭4~5歲幼兒，旨在通過一系列復雜有序的數學概念，將兒童數學學習與日?；顒尤缫魳贰⑺囆g、運動、閱讀、書寫、科學整合，為幼兒進入小學做好充分準備。

“圓形地毯數學”課程關注了幼兒園到小學二年級的兒童，強調兒童在聽、讀故事的過程中，解決數學問題，發展空間幾何能力。課程具有多種特征，如文化的多元性和整合性（Casey,Kersh,&Young,2004）。文化多元性體現為故事背景發生在世界不同地區，如阿拉伯、波多黎各、中國、非洲和歐洲等；整合性體現為課程將數學、文化背景和動物聯系起來，也為活動（閱讀與語言藝術、社會研究、科學、表演游戲、藝術）提供了素材。

“建構”課程目標是使所有幼兒尤其是那些獲得較低社會資源的幼兒建立堅實的數學知識基礎，發展高階思維或批判性思維能力。建構課程的具體目標是發展幼兒在數概念、空間幾何概念兩大領域的能力。

“先學前數學”課程是為4~6歲兒童設計，目的是通過提供一套系統的數學課程，豐富幼兒的家庭與幼兒園學習環境，從而提升低收入家庭幼兒的數學成就。

這幾種課程方案適用對象大多集中在幼兒園至小學二年級，通過設置復雜的數學概念，培養兒童初步的數學思維能力，如問題解決、批判思維等，為處境不利（低收入家庭的、獲得較低社會資源）兒童提供充分的、有序的入學準備。關注特定的教育群體、培養兒童數學思維能力、倡導復雜的數學概念，是我們在開發幼兒園數學課程時需要借鑒的。

（二）課程內容

“兒童復雜數學”課程內容包含了數量、形狀、測量、模式和邏輯、數運算和空間6個單元。數量單元強調了幼兒如何用各種方式運用數字；形狀單元要求幼兒學習二維和三維圖形的名稱與重要屬性，以及對稱的概念；模式和邏輯單元出示重復、發展和遞減模式，要求幼兒能再認、創造、延伸不同的模式；測量單元發展幼兒基本的測量原則；數運算單元以教具、故事、游戲的方式呈現加、減、乘、除的概念，延伸幼兒對數的理解；空間單元則要求幼兒能學會識別空間位置、空間方向，用地圖描繪空間。

“圓形地毯數學”課程強調了6個方面的內容：（1）圖形特征：分類、排序、表達二維和三維圖形；（2）通過組織活動發展對空間關系和空間感的理解能力；（3）用數學拼圖游戲理解整體與部分的關系；（4）視覺估計與測量；（5）檢測空間、數字模式、算術；（6）用圖片、數字和數詞表示資料分析和繪圖（Casey,Kersh,&Young,2004）。這些內容被一一呈現在6本故事書里：《Sneeze建了一座城堡》（Sneeze Builds a Castle）、《Teeny 參觀圖形王國》（Teeny Visits Shapeland）、《Layla 發現秘密模式》（LaylaDiscoversSecret Patterns）、《Tan以及形狀變化》（Tan and the Shape Changer）、《小青蛙做測量》（Froglets Do the Measuring）、《尋找 Mathapotamus》（Finding Mathapotamus）（Casey,Kersh,&Young,2004）。

“建構”課程的內容包括數概念、空間幾何概念兩大領域。數概念包括數數、運算能力的早期發展，以及快速指出一組物體的數量；代數運算能力；空間幾何概念與過程；模式、資料分析和分類排序等（Sarama&Clements,2009）。

“先學前數學”課程包括兩種學習環境：學校的先學前數學課程和家庭數學支持。學校的先學前數學課程包括7個單元（Klein,Starkey,&Wakeley,2004）：計算和數感，如數數、組成集合、一一對應、量的比較、比較集合、集合間的比較等；計算推理（算術應用題），如單個集合實物加減、集合的分解與組成、表象物體的加減等；空間感，如圖形比較、二維與三維圖形的制作等；幾何推理，如圖形組合、格子上的空間位置、空間圖形的旋轉等；模式感與次序結構，如模式識別、模式復制和模式擴展等；非標準測量，如長度的直接比較、用非標準單位測量長度等；邏輯關系，如序數詞、排序、分類詞等。

這幾種課程方案大多關注了早期兒童數學概念中的數與形，其中“圓形地毯數學”課程、“建構”課程更多地關注兒童空間感的建立，“兒童復雜數學”課程、“先學前數學”課程既重視數概念也重視兒童的空間能力的發展，尤其注意的是空間能力的發展。大多數課程方案除了強調空間圖形、空間方位、空間量之外，單列了模式建構能力。從這些課程方案中，可以發現，兒童空間能力的培養已成為發展兒童數學能力中重要的一環。

（三）課程實施

故事和活動是“兒童復雜數學”課程的主要教學方式之一。課程不僅為幼兒提供了“可讀”的故事書，也將故事閱讀延伸到家庭教育當中。每個課程內容分別配有一本故事書，書中的圖片列舉了概念和相關的數學語言故事，幫助幼兒深入理解這些概念（王廷瓊,楊曉萍，2009）。一個故事聽了幾遍過后，幼兒能復述故事，能指出插圖中的錯誤信息，能相互討論故事。此外，當幼兒在教室里完成閱讀故事書的任務后，他們會得到一本黑白相間的故事書，并能將其帶回家繼續閱讀。這樣使父母和照看者有機會與幼兒一起在家里探索“復雜數學”的概念。

“圓形地毯數學”課程中的故事大多是傳奇故事或長篇史詩式的冒險故事，每個故事人物都會經歷很多冒險，每個故事都在前一個故事的基礎上發展，隨著故事的發展變化，數學概念也不斷發展，變得錯綜復雜。課程實施是以口頭講述故事的方式進行，要求講述者與觀眾通過目光接觸、個人表述和互動等方式，建立深厚的聯系，從而為建構抽象數學概念提供環境（Casey,Kersh,&Young,2004）。

“建構”課程實施的基本方法是：在幼兒的活動中發現數學，并發展數學。所有的課程資源都應該建立在幼兒經驗和興趣的基礎上，幫助幼兒擴展他們的日常生活活動，如堆積木、藝術活動、唱歌、故事活動、拼圖等（Clements,Sarama,&DiBiase,2002）?！敖嫛闭n程還提供了一套 DLM（Developmental Learning Materials）數學軟件包，包括計算軟件及相關的游戲活動等，作為數學學習的輔助材料。最初的軟件包包含了11個活動和1個供幼兒操作的管理系統，活動有6個水平，涉及到日?；顒雍臀锲?，如積木、藝術、音樂，以及為幫助數學思維專門設計的物品。

“先學前數學”課程包括29個在校的小組活動和18個家長參與的課外活動（Klein,Starkey,&Wakeley,2004）。每個小組活動進行20—30分鐘，教師根據每周課程計劃，向幼兒呈現小組活動及描述所用的材料。通常情況下，每周進行一個新的活動，幼兒在這一周里要進行兩次同樣的活動，也會安排復習的時間段。此外，“先學前數學”課程也利用計算機軟件，將DLM數學資源軟件包里的計算機軟件（DLMExpress MathResourcePackage，由DouglasH.Clements開發，早先使用 Millie’s Math House和 James Discovers Math兩個商用程序軟件）安裝在電腦里，每個月教師根據數學課程選擇相應的計算機數學活動。在數學課程教學過程中，教師鼓勵建立數學學習中心，中心的材料包括教師和幼兒完成的小組活動材料和在其他領域搜集整理的材料。課程每年提供三次父母課堂，指導父母怎樣與幼兒一起使用活動材料。每1—2兩周幼兒會帶回家庭活動材料，這些材料與幼兒在校所學的數學概念和技能相關，目的在于幫助家長參與和支持幼兒的數學發展。

從課程實施角度看，故事、游戲活動、藝術活動、游戲拼圖等都是課程實施的方式之一。“建構”課程和“先學前數學”課程還提供了輔助的計算機軟件，幫助幼兒學習數學知識。在具體教學過程中，大多數課程都將小組、大組學習結合起來。除了在校的數學學習之外，很多課程還允許幼兒將故事書、活動材料帶回家，在完成課外作業的同時，也為家長隨時關注、支持兒童數學能力的發展提供了機會。

（四）課程評價

“兒童復雜數學”課程采用一個兩年的隨機對照實驗，選取紐約低收入家庭子女作為對象，將“兒童復雜數學”課程、創造性課程和本土早期兒童課程作為變量，測查課程的有效性。學生數學成績評價則使用了早期兒童縱向研究項目（the Early Childhood Longitudinal Study-Birth Cohort,簡稱為“ECLS-B”）中的數學評價，測查參與復雜數學課程的幼兒在數感、運算、測量、幾何與空間感、資料分析、統計與概率、模式、代數和函數方面的變化（Ertle，Ginsburg，Clements，&Lewis，2012）。

“圓形地毯數學”課程采用實驗法研究課程的有效性。實驗中，6個教師被隨機分派到控制組（76個孩子）或實驗組（79個孩子），對兩組都進行了前測與后測，利用考夫曼成套兒童評定量表（the Kaufman Assessment Battery for Children(K-ABC)）中的三角形分測驗和七巧板測驗，評估了男孩和女孩學習該課程的差異（Casey,Erkut,Cedar,&Young,2008）。

“建構”課程采用隨機對照實驗測試課程的有效性。在課程研究過程中，廣泛采用了市場調研、形成性研究和總結性研究，以“建構”課程、“先學前數學”課程等作為變量，測查課程對不同家庭背景兒童的影響（Clements&Sarama,2008）。課程采用EMA（The Early Mathematics Assessment）測查個別幼兒的數學成績。

“先學前數學”課程利用CMA（The Child Math Assessment）工具測查幼兒的非正式數學知識（Klein,Starkey,Clements,Sarama,&Iyer,2008）。CMA 包括16個任務，涵蓋了數、運算、空間/幾何、測量、模式和邏輯關系。測查分為兩個部分，一部分為數與運算的任務，另一部分包括了空間/幾何、測量、模式、邏輯關系、數任務（序數詞）。在不同的時間里，分兩次進行。每次用時20—30分鐘。

課程評價既要對課程有效性進行評價，也要對兒童獲得的知識進行測評。以上幾種數學課程方案利用不同的測查工具，如早期兒童縱向研究項目評價工具、考夫曼兒童評定量表、EMA、CMA，測查的數學內容圍繞課程內容進行，既有對兒童數學能力的測查，也通過實驗法測查了課程的有效性。

三、啟示

1.課程目標設置要關注處境不利兒童的數學能力發展

處境不利是指個體在經濟狀況、社會地位、權益保護、競爭能力等方面處于相對困難與不利境地的生存和發展狀態（福建教育編輯部，2011）。而處境不利兒童是在成長過程中身心發展處于不利境地的兒童。國外相關理論和研究反映：處于弱勢的兒童往往處于低水平的學業準備狀態。為此，美國、英國、印度、俄羅斯等都開展了對處境不利兒童的補救措施，其中也包括對課程和教法的改革。研究還發現，當這種補救措施集中在學前階段，能獲得較大的成功機會，它會使社會處境不利兒童提高到與中層社會兒童相同的水平上（姜學清，1991）。隨著經濟社會變遷，我國也出現了各種處境不利的兒童，學者對“弱勢兒童”“邊緣兒童”“處境不利兒童”也給予了高度重視及關注，但大多數研究僅限于對這些兒童的發展現狀及特點進行描述，而較少實施干預性措施（桂林,胡福貞,王秀艷，2011）。因此，我們對處境不利兒童應該關注于如何實施一些有利于兒童發展的干預項目上。對于早期兒童數學教育而言，結合處境不利兒童的特點，開發、開設特定的數學課程顯得尤為重要。

2.課程結構要重視早期數學課程內容的完整性

恩格斯稱數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學（張慧和,張俊，2004）。從這一定義可以看出完整的早期兒童數學教育應該包括數、量、形。但長期以來，無論是國外還是國內對早期兒童數學教育的內容及研究主要集中在數概念這部分，而對空間形式重視不夠，尤其我國早年甚至將數學簡單地等同于計算，這就變相地將空間概念拒之門外。一項教材分析研究表明，幼兒園教材對幾何圖形重視程度為34%，對空間概念重視程度為24%（林佩淼,袁愛玲，2009）。美國早期數學課程方案在數學內容上的完整性值得我們教育與理論界深思。我國《3~6歲兒童學習與發展指南》強調發展兒童數、量及空間能力，尤其提出了幼兒園教學中曾經忽視的模式建構能力，既體現了課程指導的完整性，也體現了我國早期兒童數學教育與國際兒童數學教育接軌。但在實踐教學與教材編制過程中，圍繞發展兒童空間能力需要做的努力卻是任重而道遠。

3.課程實施應利用多種媒介實施早期數學課程

數學是抽象的，而將抽象的數學轉化為具體事物，可用的方式有很多。正如上述幾種早期數學課程所呈現的，故事、計算機軟件、兒童的身體動作、游戲、教學活動都可以作為承載數學概念的方式。但在我國幼兒園數學教學中，幼兒主要是從游戲、生活、教學活動中獲得數學概念。隨著現代信息技術的發展，傳統的紙質材料已不能滿足幼兒探索的興趣，新興媒體如計算機、手機等已成為幼兒經常接觸的事物，我們需要做的，甚至是只能做的是如何使用這些媒體工具，將這些工具以適宜的方式介紹給幼兒。此外，近幾年國外經典故事書籍不斷涌入我國，也帶動了我國本土故事書籍的出版，文學故事的教育價值也開始呈現多元性。但總體看來，專門為0~6歲幼兒設計的數學故事書籍并不是太多，專注數學教育某一概念的書籍也就更少了。而在幼兒園數學教學中，教師們疲于向幼兒講解數學概念，培養計算技能，并沒有刻意地將文學故事與數學進行有效的融合，反而在“刻意逃避和‘淡化’數學內容的整合”，從而“形成了畏難思想，致使幼兒園的數學教育慢慢地走向了淡化”。基于此，我們有必要“把數學知識和故事內容自然巧妙地融合起來，讓孩子從輕松愉快的故事中接觸數學并愛上數學，讀懂了故事就理解了概念”（彭玲玲，2011）。

4.家園合作是培養兒童數學能力的有效途徑

幼兒園和家庭是幼兒生活的兩個最重要的環境，雖然兩者有不同的特點，但兩者的目標相同，因此培育良好的家園關系能形成較好的合力以促進幼兒身心各方面的發展。但有研究顯示，我國家園合作方式中“家園合作欄/公告欄”“親子活動的開設”占有較高的比率，而“親子作業”“為活動提供輔助材料”卻較少（馬潔然，2012）。這是很令人擔憂的，因為對于兒童數學能力的發展而言，家長的參與是必不可少的。家長的數學觀念會直接或間接地影響兒童數學能力甚至是幼兒園數學教學。家長參與到豐富的幼兒數學活動課程中，一方面可以拉近親子關系，另一方面使家長更能理解早期兒童的數學教學，從源頭上制止我國“小學化”現象。為此，早期數學課程在呈現或表現方式上可以是多元的，家長參與的數學活動可以是各種各樣的，如和幼兒一起讀數學故事、玩計算機游戲、做數學身體游戲等。這樣也能讓家長與幼兒在“玩中學”，既獲得快樂，也增進彼此之間的理解。

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