三角函數中的拆角思想

劉萍萍

三角函數的計算是高中的一個重要考點。對于一些和角的計算問題，除了掌握和角（差角）及倍角公式之外，還要掌握一些必要的“拆角”技巧，這樣可以簡化運算。

一、題中就1個角，此角可拆成2個特殊角的和或差

例1 ：不查表求值：①sin15°。②cos75°。③sin105°。④sin（-■ ）。分析：對此類題，先將角化成銳角后，題中的非特殊角等于2個特殊角的和或差。①15°=45°-30°=60°-45°=135°-120°=…… ②75°=30°+45°。③105°=60°+45°。④原式=sin（-2π-■ ）=sin（-■）=-sin15°=-sin（45°-30°）。

二、題中有3個角時，這3個角有和差關系

例2：求■的值。

分析：原式=■=■=tan15°=tan（45°-30°）=2-■。

三、題中有3個角時，結論角=2個條件角的和或差

例3：已知■<β<α<■，cos（α-β）=■，sin（α+β）=-■，求cos2α與cos2β的值。分析：2α=（α-β）+（α+β），2β=（α+β）-（α-β）。解：∵■<β<α<■，∴0<α-β<■，π<α+β<■。∴sin（α-β）=■=■=■，cos（α+β）=-■=-■=-■。∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=-■×■+（-■）×■=-■。

例4：已知α，β為銳角，且cosα=■，cos（α+β）=-■，求cosβ和sinβ的值。分析：cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，由題意知，α為銳角，而α+β為鈍角。結果為sinβ=■，sinβ=■。

例5：已知tanα=■，tan（α-β）=-■，則tan（β-2α）=（ ）。A.-■。B.■。C.■。D.-■。分析：tan（β-2α）=tan{-[α+（α-β）]}=-tan[α+（α-β）]=■。

三角函數是以角為自變量的函數，故在具體的解題中需要注意分析角之間的關系，利用角的變換化異角為同角，解題的關鍵是角的合理拆分與拼湊。“拆角”體現了整體與局部之間的關系，是連接題設條件與待求結論的紐帶，是三角函數求值的一種常用方法。其實，具體的角也可以利用這種方法搭建非特殊角與特殊角之間的關系。例如：10°=30°-20°=70°-60°，15°=7°+8°。具體拆的方法，要根據題目而進行靈活選擇。

（河南省唐河縣教師進修學校）