圓錐曲線的最值問題

能求圓錐曲線中的最值，如有關長度、面積等的最值問題.

解決圓錐曲線中的最值問題，要注意聯系圓錐曲線的定義和幾何性質，結合換元思想或引入參數，將問題轉化為一定的函數關系或不等式問題進行解決. 在充分考慮函數的定義域、不等式的最值條件的前提下，應用函數的單調性、基本不等式等進行討論，需要注意的是點的坐標的取值范圍，即注意橢圓的幾何性質.

設P是拋物線y2=4x上的一個動點，F是焦點.

（1）求點P到點A（-1，1）的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值；

（2）若點B的坐標為（3，2），求PB+PF的最小值.

破解思路 第（1）問可轉化為在曲線上求一點P，使點P到點A（-1，1）的距離與點P到焦點F（1，0）的距離之和最小. 第（2）問可以聯想到平面上到兩定點距離之和最短的點在兩定點連線段上這一幾何性質來解決.

完美解答 （1）如圖1，易知拋物線的焦點為F（1，0），準線是x=-1.由拋物線的定義知：點P到直線x=-1的距離等于點P到焦點F的距離.于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A（-1，1）的距離與點P到點F（1，0）的距離之和最小. 顯然，連結AF交拋物線于點P，此時所示距離最小. 故最小值為endprint

能求圓錐曲線中的最值，如有關長度、面積等的最值問題.

解決圓錐曲線中的最值問題，要注意聯系圓錐曲線的定義和幾何性質，結合換元思想或引入參數，將問題轉化為一定的函數關系或不等式問題進行解決. 在充分考慮函數的定義域、不等式的最值條件的前提下，應用函數的單調性、基本不等式等進行討論，需要注意的是點的坐標的取值范圍，即注意橢圓的幾何性質.

設P是拋物線y2=4x上的一個動點，F是焦點.

（1）求點P到點A（-1，1）的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值；

（2）若點B的坐標為（3，2），求PB+PF的最小值.

破解思路 第（1）問可轉化為在曲線上求一點P，使點P到點A（-1，1）的距離與點P到焦點F（1，0）的距離之和最小. 第（2）問可以聯想到平面上到兩定點距離之和最短的點在兩定點連線段上這一幾何性質來解決.

完美解答 （1）如圖1，易知拋物線的焦點為F（1，0），準線是x=-1.由拋物線的定義知：點P到直線x=-1的距離等于點P到焦點F的距離.于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A（-1，1）的距離與點P到點F（1，0）的距離之和最小. 顯然，連結AF交拋物線于點P，此時所示距離最小. 故最小值為endprint

能求圓錐曲線中的最值，如有關長度、面積等的最值問題.

解決圓錐曲線中的最值問題，要注意聯系圓錐曲線的定義和幾何性質，結合換元思想或引入參數，將問題轉化為一定的函數關系或不等式問題進行解決. 在充分考慮函數的定義域、不等式的最值條件的前提下，應用函數的單調性、基本不等式等進行討論，需要注意的是點的坐標的取值范圍，即注意橢圓的幾何性質.

設P是拋物線y2=4x上的一個動點，F是焦點.

（1）求點P到點A（-1，1）的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值；

（2）若點B的坐標為（3，2），求PB+PF的最小值.

破解思路 第（1）問可轉化為在曲線上求一點P，使點P到點A（-1，1）的距離與點P到焦點F（1，0）的距離之和最小. 第（2）問可以聯想到平面上到兩定點距離之和最短的點在兩定點連線段上這一幾何性質來解決.

完美解答 （1）如圖1，易知拋物線的焦點為F（1，0），準線是x=-1.由拋物線的定義知：點P到直線x=-1的距離等于點P到焦點F的距離.于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A（-1，1）的距離與點P到點F（1，0）的距離之和最小. 顯然，連結AF交拋物線于點P，此時所示距離最小. 故最小值為endprint