基于開普勒二體運動修正地球扁率J2攝動項算法

張 俊

1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854 2．宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100854

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基于開普勒二體運動修正地球扁率J2攝動項算法

張 俊1,2

1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854 2．宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100854

為了解決遠程飛行器虛擬目標點的地球扁率J2攝動項修正的技術難點，提出一種基于開普勒二體運動推算地球引力模型J2攝動項的間接補償的方法。該算法由基于二體運動時間推算J2攝動項飛行時間的計算模塊和基于二體運動J2攝動落點修正2個計算模塊構成。通過算法設計和數學仿真驗證了算法的正確性，其中仿真結果表明，該算法有效解決地球扁率造成的虛擬目標點計算精度不足的問題，在算法層面與傳統的地球扁率修正方法相比具有計算簡單和計算速度快等優點,同時保證虛擬目標點計算達到精度要求。

虛擬目標點； 地球扁率；J2攝動項； 校正方法

遠程飛行器制導計算時，計算虛擬目標點需要補償地球自轉、再入大氣阻力和地球扁率的影響項，補償后瞄準的目標點稱為虛擬目標點。在補償計算地球扁率時，主要的攝動源是地球扁率J2項，所以要保證虛擬瞄準目標點的精度，需要對其扁率J2的補償達到比較高的精度。一般J2項修正方法計算量比較大和繁瑣，考慮工程應用的原因，借鑒開普勒二體運動和空間幾何關系得到修正J2攝動項的方法。本文主要闡述了根據開普勒二體運動修正地球扁率J2攝動項的計算方法。

1 基于二體運動修正虛擬目標點的數學建模

為了驗證地球扁率對落點的影響程度及算法的正確性，采用算法驗證地球模型為橢球,地球的引力場為非有心引力場，考慮選用參考文獻[1]中地球扁率動力學方程組如下:

(1)

其中J2項選用參考文獻[2]的1.08263×10- 3。

2 基于二體運動飛行時間推導J2攝動項飛行時間

首先利用開普勒二體運動計算二體運動時間，再利用開普勒二體運動時間推算出遠程飛行器J2攝動項飛行時間差量，其中遠程飛行器J2攝動軌道與二體軌道的示意圖見圖(1)，確定當前點至給定地心距r0位置點的二體運動飛行時間t0，并且利用四階龍格庫達法對方程組(1)積分t0時間，獲得對應的位置速度值。

考慮到地球橢圓扁率不大，并且飛行器在飛行二體運動時間t0后已經比較接近地面，可以將導彈的地心距近似為時間的單變量函數r(t)，單變量函數r(t)進行泰勒展開(略去高階項)得

(2)

其中，tJ2=t-t0為考慮J2攝動項后在二體運動時間基礎上的一個修正量。

基于式(2)可得：

(3)

其中，rT為遠程飛行器著陸點的地心距。

為了確定式(3)中的分母部分，在t0的基礎上加上時間小量h，從t0對應的R0,V0積分一個小的時間區間[0,h]，得到對應的位置和速度R1,V1。

利用四階龍格庫達積分法確定的R1,V1,進而推導出：

(4)

將式(4)帶入式(3)得：

(5)

通過上述推導,確定了遠程飛行器J2軌道的飛行時間相對二體運動時間的時間補償量。那么，遠程飛行器運動到給定地心距rT的飛行時間為：

tT=t0+tJ2

(6)

圖1 遠程飛行器J2軌道落點時間計算示意圖

3 基于虛擬目標點的J2攝動項落點校正方法

(7)

從而完成考慮J2項影響后的落點校正，其中遠程飛行器J2引起的目標校正(虛擬目標計算)的示意圖見圖2。

圖2 遠程飛行器J2引起的目標校正的示意圖

本算法的遠程飛行器J2項引起的目標校正巧妙的借助了計算出的J2攝動項飛行時間，再通過確定的飛行時間及精確積分方法達到快速確定實際目標的位置信息，其中J2攝動項飛行時間可以利用二體運動飛行時間與2者地心距比例關系達到求解的目的。

4 算法驗證

為了驗證本算法的可行性，基于某總體參數進行建模仿真，3組仿真的結果如下。

1) 算例1

為了進一步驗證算法精度和適應性，采用戰術飛行器的總體參數指標，起飛點選在從中國西北甘肅到新疆的庫爾勒，參數指標如表1所示。

表1 仿真算例1發射點和目標點的地心經緯度

按照該算法展開的J2項修正后的飛行精度分析結果見表2。

表2 實施算例1的J2項修正后的飛行精度分析表

2) 算例2

算例2采用算例1的飛行器總體參數不變，起飛點改從中國海南地區到福建沿海地區，參數指標如表3所示。

按照該算法展開的J2項修正后的飛行精度分

析結果見表4。

表3 仿真算例2發射點和目標點的地心經緯度

表4 實施算例2的J2項修正后的飛行精度分析表

3) 算例3

算例3采用算例1的飛行器總體參數不變，起飛點改從中國腹地四川到南海地區，參數指標如表3所示。

按照該算法展開的J2項修正后的飛行精度分析結果見表6。

表5 仿真算例3發射點和目標點的地心經緯度

表6 實施算例3的J2項修正后的飛行的精度分析表

按照算法建模仿真落點對比結果：算例1的落點偏差在20m以內，算例2的落點偏差在10m以內，算例3的落點偏差在10m以內。而未考慮進行J2項修正的落點偏差在km級，可見本算法在瞄準精度上效果提高顯著。

5 結束語

針對遠程飛行器發射前路徑規劃虛擬目標點時遇到的地球扁率J2攝動項修正問題，傳統的修正方法需要大量的高等數學計算及推導，其計算量大，實時性差，工程應用具有一定難度。而本文提出的間接修正補償的方法，計算量小，數值積分采用大步長四階龍格庫達方法，可以滿足精度和實時性要求。

[1] 程國采.飛行器制導方法與最優控制[M].長沙：國防科技大學出版社，1987.

[2] 賈沛然,陳克俊.遠程火箭彈道學[M].長沙：國防科技大學出版社，1981.

[3] 黃圳圭.航天器姿態動力學[M].長沙：國防科技大學出版社，1997.

TheCorrectionAlgorithmofJ2PerturbationsoftheEarthOblatenessBasedonKeplerTwo-BodyMotion

ZHANG Jun1,2
1. Beijing Aerospace Automatic Control Institute，Beijing 100854， China 2. National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Intelligence Control，Beijing 100854， China

AimingatsolvingtheproblemofJ2perturbationoftheEarthoblatenessofvirtuallandingpointofflyingvehicle,anindirectcompensationalgorithmisproposedforestimatingtheJ2perturbationoftheEarthgravitymodelbasedontheKeplertwo-bodymovement.Thetimealgorithmconsistsofthecalculationpartofpredictingtheflyingtimefromthebodymovementtimeandthelandingpointcorrectionpart.Aftermodelingsimulation,itshowsthatthedivergenceofthevirtuallandingpointprecisioniseffectivelyrestrainedafterapplyingthisalgorithm.BycomparingwithtraditionalEarthoblatenesscorrectionmethod,thecalculationcomplexityofthisalgorithmhasbeenmuchsimplifiedandthecalculationspeedisfaster.

Virtuallandingpoint;Earthoblateness;J2perturbation;Correctionmethod

2013- 03- 12

張俊(1979-),男，安徽馬鞍山人，工程師，主要研究方向為導航、制導與控制技術。

V448.2

： A

1006- 3242(2014)06- 0022- 04