約束阻尼結構的雙向漸進拓撲優化

房占鵬， 鄭 玲

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

約束阻尼結構的雙向漸進拓撲優化

房占鵬， 鄭 玲

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

針對約束層阻尼板的拓撲優化問題，以模態損耗因子最大化為目標函數，約束阻尼材料體積分數為約束條件，建立了約束阻尼板的拓撲優化模型?；谀B應變能方法，推導了目標函數對設計變量的靈敏度。采用雙向漸進優化算法(BESO)對約束阻尼材料的布局進行了拓撲優化，獲得了約束阻尼材料的最優拓撲構型，并與漸進優化算法(ESO)進行了比較。研究結果表明：雙向漸進優化算法相比漸進優化算法，獲得的模態損耗因子更高，阻尼減振效果更好。

約束阻尼;模態損耗因子;拓撲優化;雙向漸進優化法

阻尼結構能有效抑制結構的振動與噪聲，特別是約束阻尼結構對寬帶隨機振動響應有很好的抑制作用，廣泛應用于汽車、航空航天、艦船等行業。在傳統的阻尼結構減振設計中，將阻尼材料覆蓋于整個結構的表面，有效抑制結構振動和噪聲的同時，也增加了結構的附加質量。

對約束阻尼材料的布局進行優化配置能夠有效提高約束阻尼材料的使用效率，減少約束阻尼材料的使用量。Zheng等[1]以振動能量最小化為目標，采用遺傳算法對約束阻尼梁進行了優化分析。楊德慶等[2-3]提出了阻尼胞單元和阻尼拓撲敏度等概念，利用均勻法方法對自由阻尼層結構進行了阻尼材料優化配置，指出阻尼優化配置是減振降噪設計的有效途徑。Zheng等[4]針對圓柱殼體結構用解析方法研究了分片阻尼的結構特性，探討了分片布置約束阻尼的布局優化問題。Chia等[5]結合有限元分析，采用胞元自動控制算法(cellular automata) 對約束阻尼板結構的布局進行優化，并采用理論計算和實驗驗證了優化算法的有效性。Zheng等[6]以模態阻尼比最大化為目標，采用移動漸近線算法(MMA)對約束阻尼板進行優化，得到了優化構型，并指出移動漸近線算法對約束阻尼圓柱殼的優化也有很好的求解效果。

1993年，Xie等[7]提出了漸進優化算法，它通過將無效或低效的材料逐步去掉，使得結構逐漸趨于優化，該算法通用性好，計算效率高，已經在應力、位移、剛度，振動頻率、相位、臨界壓力等優化問題中得到廣泛的應用。郭中澤等[8]將漸進優化算法應用到了自由阻尼材料最優配置問題。李超等[9]采用漸進優化算法對約束阻尼圓柱殼的約束阻尼材料進行優化配置。在采用漸進優化算法對結構進行拓撲優化的過程中，某些被刪除的低效率的單元可能變為高效率的單元，但是漸進優化算法不能將這些刪除單元恢復為實體單元，影響了優化算法的可靠性，使優化結果出現低效局部優化解。雙向漸進優化算法[10]是對漸進優化算法的改進，它不僅可以刪除材料，還可以添加材料，使得材料布局更加合理，因此，該方法具有更好的優化設計能力。

本文采用雙向漸進優化算法，以模態損耗因子為目標函數，約束阻尼材料用量為約束條件，建立了約束阻尼結構的拓撲優化模型。基于模態應變能的方法推導了約束阻尼單元的靈敏度。編制雙向漸進優化算法的優化流程，對模態損耗因子最大化的約束阻尼材料最優分布問題進行研究。

1 約束阻尼板的動力學模型

1.1 有限元模型

約束層阻尼板的單元結構如圖1所示，建模時作如下假設：

(1) 忽略約束層和基層的剪切變形；

(2) 不計轉動慣量；

(3) 同一截面任一點的橫向位移和轉角相同；

(4) 各層材料之間粘貼牢固，層間無相對滑動。

圖1 約束層阻尼板單元示意圖Fig.1 A schematic drawing of an element in FE structure of plate with CLD treatments

1.2 變形關系

結構的應變關系表達式如下：

(1)

1.3 單元的自由度與形函數

構造約束阻尼板單元包含4個物理節點，每一個物理節點有7個自由度，分別是基層面內的兩個位移分量up和vp；約束阻尼層面內的兩個位移分量uc和vc；約束阻尼板的橫向位移w；中性面的兩個旋轉角θx和θy。下標p，v，c分別表示基本、粘彈性阻尼層和約束層。它們的插值函數如下式：

uc=a1+a2x+a3y+a4xy

vc=a5+a6x+a7y+a8xy

up=a9+a10x+a11y+a12xy

vp=a13+a14x+a15y+a16xy

w=a17+a18x+a19y+a20x2+a21xy+a22y2+

a23x3+a24x2y+a25xy2+a26y3+a27x3y+a28xy3

(2)

式中：{a}={a1a2…a28}可由每個單元位移矢量{Δe}確定，單元的位移矢量可表示為

{Δe}={Δ1Δ2Δ3Δ4}T

式中：{Δi}={ucivciupivpiwiθxiθyi}T(i=1,2,…,4)

因此，單元內的任意點位移{Δ}={ucvcupvpwθxθy}T可由單元的四個節點位移矢量插值得到：

{ucvcupvpwθxθy}T=

{[N1][N2][N3][N4][N5][N5],y[N5],x}{Δ(e)}

式中：[N1],[N2],[N3],[N4],[N5],[N5],y和 [N5],x分別為位移矢量uc,vc,up,vp,w,θx和θy所對應的形函數。

1.4 單元的運動方程

約束阻尼板單元的動能和應變能表達如下：

約束阻尼板單元的動能：

(1) 基板單元：

(3)

(2) 約束層單元：

(4)

(3) 阻尼層單元：

(5)

約束阻尼板單元的應變能：

(1) 基板單元：

(6)

(2) 約束層單元：

(3) 阻尼層單元：

(8)

(9)

將單元應變能及單元動能代入Hamilton原理變分公式，可得第e個單元的運動方程：

(10)

式中：F(e)為外界對單元的激勵作用力，M(e)為單元的質量矩陣：

(11)

K(e)為單元的剛度矩陣:

(12)

將單元的質量矩陣和剛度矩陣組裝為約束阻尼板的總質量矩陣和總剛度矩陣：

(13)

(14)

因此，約束阻尼板的有限元動力學方程為

(15)

2 拓撲優化模型

約束阻尼結構主要通過粘彈性層的剪切變形把振動能量轉化為熱能，實現振動能量的耗散，達到抑制振動的目的。約束阻尼結構對能量的耗散與模態損耗因子直接相關。因此，約束阻尼結構的拓撲優化以模態損耗因子最大化為目標函數，以達到對模態振動的有效控制。以模態損耗因子最大化為目標函數，約束阻尼材料使用量為約束條件，建立的拓撲優化模型為

(16)

式中：設計變量xi是約束阻尼材料的第i個單元(包括阻尼單元和阻尼單元所對應的約束單元)的存在狀態，取值為1和xmin。1代表結構表面覆蓋阻尼材料和約束材料。xmin代表刪除了結構表面覆蓋的阻尼材料和約束材料，為了防止剛度矩陣出現奇異，本文取值為0.001；n為約束阻尼材料單元的總數；ηr是第r階模態損耗因子。V為約束阻尼材料的體積；V*是體積約束。

3 靈敏度分析和數值不穩定的抑制

3.1 靈敏度分析

根據Johnson等[11]提出的附加阻尼結構的模態應變能(MSE)的方法，可以得到第r階模態損耗因子為

(17)

其中，ηv為阻尼材料的損耗因子；Uvr和Ur分別為第r階模態的阻尼材料應變能和約束阻尼結構總應變能；Φr是第r階結構彈性分析得到的實模態振型。

令ηr對設計變量xi求偏導，第r階模態損耗因子關于設計變量的靈敏度可以計算如下：

(18)

阻尼材料的剛度矩陣和約束阻尼結構的剛度矩陣分別為

(19)

令式(19)對設計變量xi求偏導，得：

(20)

將式(20)代入式(19)：

(21)

則約束阻尼單元i的靈敏度βi為

βi=

(22)

如果要使前m階的模態損耗因子最大化，可以按照這些模態在響應中的比重相加，得到一個模態損耗因子的函數：

(23)

模態損耗因子的函數關于設計變量xi的靈敏度表示如下：

(24)

通過式(24)就可以得到前m階模態損耗因子最大化的模態損耗因子關于設計變量xi的靈敏度。

3.2 數值不穩定的抑制

在拓撲優化過程中常見的數值不穩定現象主要有灰度單元、局部極值、棋盤格式、網格依賴性現象。采用雙向漸進優化算法進行拓撲優化，數值不穩定性主要表現為棋盤格式和網格依賴性。Sigmund等[12]提出的不依賴于網格尺寸的網格獨立濾波法，它實現起來簡單，并且對優化目標函數沒有影響。網格獨立濾波法是以濾波半徑范圍內單元的靈敏度的加權平均值修正原單元的靈敏度值，從而獲得濾波后單元靈敏度信息的重新分布。網格獨立濾波的表達式為

(25)

Hi=rmin-dist(e,i),

(26)

rmin為濾波器半徑；dist(e,i)為單元e和單元i的中心距離。

采用網格獨立濾波技術，最重要的是選擇合適的濾波半徑，對約束阻尼單元的靈敏度信息進行重新分布，抑制棋盤格式和網格依賴性等數值不穩定問題。

4 約束阻尼結構拓撲優化的實現流程

漸進優化算法把判定為低效的單元刪除，使該單元設計變量為0，在以后的迭代過程中不參與靈敏度的計算。雙向漸進算法是對漸進優化算法的改進，它將判定為低效單元的設計變量設定為一個極小值，并在以后迭代的過程中通過濾波得到其靈敏度。當被刪單元被判定為高效單元時，將其設計變量由極小值轉變為1，使其恢復為實體單元。圖2為拓撲優化流程圖，具體的步驟如下：

圖2 拓撲優化流程圖Fig.2.Diagram for the topology optimization procedures

(1) 將約束阻尼材料覆蓋于結構的表面，構建全覆蓋的約束阻尼結構，并建立其有限元模型。此時，設計變量xi的值均為1；

(2) 設定約束阻尼材料的體積約束量V*和進化率ER等雙向漸進優化算法的相關參數；

(3) 對建立的約束阻尼有限元模型進行模態分析，并采用模態應變能的方法計算約束阻尼結構的模態損耗因子；

(4) 根據式(22)或式(24)式計算約束阻尼材料每個實體單元的靈敏度，并采用網格獨立濾波技術對單元的靈敏度進行濾波并得到刪除單元的靈敏度。

(5) 計算下一步迭代的約束阻尼材料的目標體積，當下一步迭代的約束阻尼材料的體積Vk+1小于設定的約束阻尼材料的體積約束V*，計算公式為

Vk+1=Vk(1-ER)

(27)

當Vk+1大于等于V*時，使Vk+1=V*。根據Vk+1決定刪除單元門檻值βdel和增加單元門檻值βadd；

(6) 更新單元的密度值。當單元的靈敏度βi≤βdel，實體單元設計變量xi的密度值由1變為xmin，當單元的靈敏度βi>βdel，刪除單元設計變量xi的密度值由xmin變為1。

(7) 重復步驟(3)-(6)，直至滿足約束阻尼材料體積約束條件，結束迭代，輸出各相關數據。

5 算 例

約束阻尼懸臂板的基板為鋁板，板長0.2 m，寬0.1 m，厚度為2 mm，密度為2 800 kg/m3，彈性模量為70e9 Pa，泊松比為0.3。在鋁板表面覆蓋約束阻尼材料，阻尼材料厚度為0.3 mm，密度為1 200 kg/m3，彈性模量為12e6 Pa，泊松比為0.495，損耗因子為0.5。約束材料厚度為0.5 mm，密度為2 700 kg/m3，彈性模量為70e9 Pa，泊松比為0.3。約束阻尼板左端全約束。

本文在MATLAB中編制了約束阻尼板的有限元模型及拓撲優化程序。以全覆蓋的約束阻尼材料使用量的50%為約束條件，分別以一階、二階、三階和四階模態損耗因子最大化為優化目標，采用文獻[8]的漸進優化算法和雙向漸進優化算法對約束阻尼結構進行拓撲優化。

圖3 一階模態損耗因子最大化的拓撲構型Fig.3 Optimal distribution of damping material for maximization of the first modal loss factor

圖4 一階模態損耗因子的迭代過程Fig.4 Iteration histories for the first modal loss factor

從圖4可以看出，隨著迭代次數的增加，附加約束阻尼材料逐漸減小，一階的模態損耗因子不僅沒有減小，反而有較大幅度的增加。第八次迭代以后，采用雙向漸進優化算法的損耗因子的變化曲線要明顯高于采用漸進優化算法的變化曲線，其拓撲優化構型的模態損耗因子更大。拓撲構型如圖3所示，黑色為粘貼約束阻尼材料的位置。

圖5 二階模態損耗因子最大化的拓撲構型Fig.5.Optimal distribution of damping material for maximization of the second modal loss factor

圖6 二階模態損耗因子的迭代過程 Fig.6 Iteration histories for the second modal loss factor

圖7 三階模態損耗因子最大化的拓撲構型Fig.7 Optimal distribution of damping material for maximization of the third modal loss factor

圖8 三階模態損耗因子的迭代過程Fig.8. Iteration histories for the third modal loss factor

圖9 四階模態損耗因子最大化的拓撲構型Fig.9 Optimal distribution of damping material for maximization of the fourth modal loss factor

圖10 四階模態損耗因子的迭代過程Fig.10. Iteration histories for the fourth modal loss factor

模態損耗因子一階二階三階四階全覆蓋0．08140．17000．18930．1697漸進優化算法0．12740．08650．10590．0836雙向漸進優化算法0．14950．11200．12790．1146

圖6、圖8和圖10分別為二階、三階和四階的模態損耗因子的迭代過程圖。從圖中可以看出，隨著迭代次數的增加，約束阻尼材料逐漸減少，模態損耗因子也緩慢下降。雙向漸進優化算法的迭代曲線基本都要高于漸進優化算法的迭代曲線。兩種優化算法以二階、三階和四階模態損耗因子最大化的拓撲構型如圖5、圖7和圖9所示，黑色為粘貼約束阻尼材料的位置。

從表1中可以看出：在約束阻尼材料使用量只有全覆蓋的50%的情況下，采用雙向漸進優化算法得到的拓撲構型的模態損耗因子明顯大于采用漸進優化算法得到的拓撲構型的模態損耗因子。優化結構的模態損耗因子與全覆蓋結構的模態損耗因子對比：采用漸進優化算法和雙向漸進優化算法的一階模態損耗因子比全覆蓋的分別增加了56.5%和83.7%；采用漸進優化算法二階、三階和四階的模態損耗因子比全覆蓋的分別減小了49.1%、44.1%和50.7%；采用雙向漸進優化算法二階、三階和四階的模態損耗因子比全覆蓋的分別減小了34.1%、32.4%和32.5%。

6 結 論

本文基于雙向漸進優化算法對約束阻尼結構中的約束阻尼材料布局進行了優化設計。建立了約束阻尼結構的拓撲優化模型，基于模態應變能的方法推導了目標函數關于約束阻尼單元的靈敏度。對比了漸進優化算法和雙向漸進優化算法對約束阻尼懸臂板的拓撲優化結果：采用雙向漸進優化算法得到的拓撲構型的模態損耗因子均高于采用漸進優化算法得到的拓撲構型的模態損耗因子。表明了雙向漸進優化算法不僅能夠刪除低效率的單元，而且可以將刪除的高效單元恢復為實體單元，具有更好的優化能力，對約束阻尼結構進行拓撲優化，得到的拓撲構型比漸進優化算法更優。

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Topological optimization for constrained layer damping material in structures using BESO method

FANG Zhan-Peng, ZHENG Ling

(State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

A topological optimization model was established to obtain an optimized layout of constrained layer damping material on a plate with passive constrained layer damping (PCLD) treatment. The maximization of modal loss factor was taken as an objective function to enhance damping of this plate. The volume fraction of constrained layer damping material was selected as the constrained condition of the model. The sensitivity of the objective function to design variables was deduced by using the modal strain energy method. The bi-directional evolutionary structural optimization (BESO) method was proposed to search the optimal layout of constrained layer damping material. The numerical examples were illustrated to demonstrate the effectiveness of the proposed BESO method. The results were compared with those with the conventional evolutionary structural optimization (ESO) method. It was demonstrated using that the proposed BESO method can be used to achieve higher modal loss factor for the plate with PCLD treatment than using conventional ESO method does; the damping effect of the plate is enhanced and the effectiveness of the proposed BESO method is verified.

constrained damping; modal loss factor; topological optimization; bi-directional evolutionary structural optimization (BESO)

機械傳動國家重點實驗室科研業務費(0301002109165)

2013-01-04 修改稿收到日期：2013-05-03

房占鵬 男，博士生，1985年生

鄭玲 女，教授，博士生導師，1963年生

TB53

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.029