基于離心力和陀螺力矩效應的“主軸-軸承”系統動力學特性研究

胡 騰， 殷國富， 孫明楠

(四川大學 制造科學與工程學院,成都 610065)

基于離心力和陀螺力矩效應的“主軸-軸承”系統動力學特性研究

胡 騰， 殷國富， 孫明楠

(四川大學 制造科學與工程學院,成都 610065)

研究“主軸-軸承”系統在高轉速場中受離心力和陀螺力矩影響的動力學特性對于提高主軸系統運行穩定性有重要的作用。在擴展Harris滾動軸承非線性分析模型、建立滾動軸承耦合剛度矩陣的基礎上，建立了一種綜合考慮主軸離心力效應和陀螺力矩效應的“主軸-軸承”系統動力學數字模型，并借助錘擊模態實驗驗證了其準確性；分析論述了主軸離心力效應、主軸陀螺力矩效應及滾動軸承運行剛度對“主軸-軸承”系統在高轉速場中的動力學特性的影響規律。通過模型分析計算表明：當軸承處于超輕預緊(EL)工況時，主軸的高速效應比軸承運行剛度對“主軸-軸承”系統動力學特性的影響更大，尤以主軸陀螺力矩效應的影響最為突出。

高轉速場；“主軸-軸承”系統；動力學特性；離心力；陀螺力矩；運行剛度

近年來在我國航空航天、軍工、汽車、能源等行業領域，為不斷提高加工效率，高速加工技術發展十分迅速。高速主軸單元作為高速加工技術的主要載體，其動力學特性的優劣決定著高速加工技術水平的高低。“主軸-軸承”系統作為高速主軸單元的主要回轉系統，在高速旋轉時，將受到高轉速場誘發的高速效應(即離心力效應和陀螺力矩效應)的作用，使其動力學特性相對于靜止狀態時會發生較大變化。因此，針對“主軸-軸承”系統建立可靠、準確的動力學模型，對于評估該系統動力學特性，預測主軸單元高速性能十分必要，具有重要的科學和工程意義。

“主軸-軸承”系統動力學建模過程中最關鍵亦是最基礎的一步在于對軸承非線性分析模型的建立。上世紀50-60年代，Palmgreen[1]和Jones[2-3]分別是建立滾動軸承靜力學和擬動力學分析方法的代表性人物；隨后，Harris[4]在其基礎上完善并發展了滾動軸承的擬動力學分析理論，成為目前絕大多數滾動軸承非線性分析模型的首選；1978年之后，Gupta[5]建立了滾動軸承的動力學分析模型，但由于滾動軸承運動規律的過于復雜，Gupta的模型對設計和應用指導意義不強[6]。近年來，Zverv等[7]研究了滾動軸承在高轉速和高預緊狀態下的彈性變形問題，為主軸單元設計時軸承的選型提供了準則；Kang等[8]在改進了Harris的分析模型后，利用有限單元法和曲線擬合技術，研究了深溝球軸承的Hertzian接觸問題；此外，Kang等[9]還利用人工神經網絡模型計算了滾動軸承的運行剛度； Jedrzejewski等[10]亦在Harris的基礎上，著重分析了離心力和陀螺力矩效應對角接觸球軸承剛度及變形的影響規律； Guo等[11]將有限單元法和接觸力學結合起來，針對不同類型、不同結構參數的滾動軸承進行了分析研究，并將軸承的剛度表達為一個矩陣。

在主軸動力學建模方面，國內外學者做了大量的研究。國外，Nelson[12]基于有限單元法建立轉子系統動力學方程時，提出用考慮了剪切效應的Timoshenko梁單元取代經典的Euler梁單元；Lin等[13]基于Timoshenko梁理論和有限單元法建立了高速主軸系統熱機耦合有限元模型，但該模型沒有體現軸承剛度隨轉速的非線性；Erturka等[14]分別利用經典Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁建立了“主軸-工具系統”動力學模型，并做了對比分析，同時結合Schmitz等[15]提出的柔度耦合技術，辨識了刀尖點的頻響函數，但并未研究轉速對動力學特性的影響規律；Shin等[16-17]則在借鑒Harris所得成果時，將熱對軸承剛度的影響一并考慮，改寫了控制方程并建立了高速主軸系統熱機耦合模型，但同樣沒有系統研究高速效應對高速主軸系統動力學特性的影響機理；Cao等[18]在基于Timoshenko梁理論建立主軸-軸承系統動力學有限單元模型的同時，采用了Harris的滾動軸承分析模型，涵蓋了軸承離心力、陀螺力矩等高速效應影響因素。國內，周健斌等[19]運用Hamilton原理針對翼吊式發動機機翼系統進行了動力學研究，從理論出發分析了陀螺力矩對結構固有特性的影響；JIANG等[20]在采用Harris軸承分析模型之后，利用傳遞矩陣法構建了主軸單元動力學模型；張耀強等[21]針對旋轉機械建立了滾動軸承-Jeffcott剛性轉子系統的非線性動力學方程，并分析了該系統的非線性動力響應行為；汪博等[22]以某立式加工中心主軸系統為研究對象，在建立系統動力學模型的基礎上，考察了刀柄與主軸前端錐孔結合面特性對軸端傳函的影響規律；呂浪等[23]建立了電主軸單元機電耦合動力學模型，并分析了系統匹配特性。

研究表明：基于非線性滾動軸承分析模型建立“主軸-軸承”系統動力學模型的同時，全面系統地研究高速效應影響規律，對于探索高速主軸單元處于不同轉速場時的動力學特性是十分必要的。因此，本文首先采用理論建模與實驗建模相結合的方法建立了準確的系統動力學數字模型；然后在此基礎上逐一研究了高轉速場誘發的各種高速效應對系統動力學特性的影響規律。

由于本文旨在研究高速效應對“主軸-軸承”系統動態特性的影響規律，熱效應是進一步研究問題，在本文不在考慮范疇之內，故忽略熱效應。

1 “主軸-軸承”系統動力學建模

1.1 角接觸球軸承非線性模型

1.1.1 角接觸球軸承的Hertzian接觸

角接觸球軸承的剛度從本質上看，可以認為是滾動體與內、外圈的接觸剛度串聯的結果[6]。一般的，滾動體和內、外圈之間的Hertzian接觸有如下關系：

(1)

式中：Qij,Qej分別為第j個滾動體與內、外圈的接觸力；kij,kej分別為第j個滾動體與內、外圈的赫茲接觸系數；δij,δe分別為第j個滾動體與內、外圈的接觸變形。

則不難得球與內、外圈的接觸剛度：

(2)

1.1.2 角接觸球軸承的變形協調和受力平衡

圖1 滾動體與內外滾道變形協調關系Fig.1 Deformed relationship between rolling element and rings

圖2 滾動體受力分析Fig.2 Mechanical analysis of rolling element

圖3 滾動軸承方位角示意圖Fig.3 Azimuth of rolling bearing

從微觀的角度出發，角接觸球軸承在靜止、未預緊狀態下內外圈曲率中心與球中心共線，內、外圈接觸角相等；而在高速旋轉時，由于離心力的作用會導致內圈接觸角增大，同時外圈接觸角減小。高速時，不失一般性的假設外圈曲率中心固定，因此有如圖1所示的軸承內部變形協調關系，進而可建立式(3)-式(8)的軸承幾何變形協調方程組；此外，高速時滾動體受到離心力和陀螺力矩的作用，故有如圖2所示的滾動體受力分析，結合圖3所示滾動軸承方位角示意圖，于是得到式(9)-式(12)所示的滾動體受力平衡方程組。

(3)

(4)

(5)

(6)

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2-

[(fi-0.5)D+δij]2=0

(7)

X1j2+X2j2-[(fe-0.5)D+δej]2=0

(8)

Qijsinαij-Qejsinαej-

Mgj(λijcosαij-λejcosαej)/D=0

(9)

Qijcosαij-Qejcosαej-

Mgj(λijsinαij-λejsinαej)/D+Fcj=0

(10)

Fcj=(ρπD2Dmω2)/12

(11)

Mgj=J(ωR/ω)j(ωR/ω)jω2sinβ

(12)

從宏觀的角度來看，各滾動體受力在軸向、徑向上的分量之和應與內圈(或外圈)所受外力平衡，故有式(13)-式(15)的滾動軸承內圈(或外圈)受力平衡方程組。公式(3)-(15)中符號意義可參考文獻[4]。

(13)

(14)

(15)

在給定轉速、軸向和徑向載荷的前提下假定δa、δr、γ、X1j、X2j、δij、δej初值，利用Newton-Raphson法聯立求解式(3)-式(15)組成的非線性方程組，迭代收斂后獲得各個球的內外接觸角αij與αej、內外滾道接觸變形δij與δej，以及內外滾動接觸力Qij與Qej等，進而可利用(2)式計算軸承接觸剛度。

1.1.3 角接觸球軸承耦合剛度矩陣

角接觸球軸承在運轉時，內、外圈均同時承受軸向力Fa、徑向力Fr和力矩載荷M，因此軸承內、外圈相對軸向變形δa，徑向變形δr和轉角γ應理解為不同載荷耦合作用的結果，而并非某單一載荷的作用。基于以上思路，結合Harris滾動軸承非線性分析理論，定義同時考慮軸承轉速、軸承內外圈變形以及軸承內外圈承載等因素在內的耦合剛度矩陣Kcb：

Kcb=A[n，Defi，Defe，Ldi，Lde]

(16)

式中：KCB為軸承耦合剛度矩陣；n為軸承轉速；Defi，Defe為軸承內圈和外圈變形向量；Ldi，Lde為軸承內圈和外圈聯合載荷向量 。

滾動軸承耦合剛度矩陣的概念具有一般性，可以作為完備的軸承模型使用于不同種類的轉子系統動力學研究，在高速主軸單元動力學建模中更起到積極作用。

“主軸-軸承”系統運轉時，滾動軸承內、外圈均同時承受軸向力Fx、徑向力Fy、Fz，和力矩載荷My、Mz，因此將內、外圈的位移向量寫為[δix,δiy,δiz,γiy,γiz,δex,δey,δez,γey,γez]T，角標中i、e代表內圈和外圈，δ、γ則分別代表平動和轉動自由度。

針對軸承內圈，將式(13)-式(15)擴展后可寫做式(17)-式(21)：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

再結合1.1.2節迭代計算結果，分別利用式(17)-式(21)對于δix,δiy,δiz,γiy,γiz求導，并寫成如下矩陣形式，矩陣中各元素計算方法可參見文獻[18]：

(22)

利用式(17)-式(21)對于δex,δey,δez,γey,γez求導可獲得KIE。同樣的對于外圈受力平衡也可以寫出相應的平衡方程式，求導后可得KEI、與KEE，則軸承剛度矩陣為

(23)

一般的，角接觸球軸承耦合剛度矩陣的計算流程可如圖4所示。

圖4 角接觸球軸承剛度矩陣計算流程Fig.4 Flow chart of angular ball bearing stiffness matrix calculation procedure

1.2 基于Timoshenko梁理論的“主軸-軸承”系統動力學有限元模型

1.2.1 梁單元動力學有限元模型

在經典的Euler梁理論中，雖然截面承受剪切合力，但是分布剪應力卻不產生剪應變[24]。作為該理論的修正，Timoshenko梁理論將截面的轉動慣性融合至梁的場方程中(如圖5所示)，這對于高速主軸系統進行動力學建模有著足夠的適用性與準確性[12]。文獻[25]中指出，雖然有限單元法并非最佳系統學建模方法，但對于主軸來說，該方法可較為精確地獲取系統低階特征值及特征向量。

如圖5所示，Timoshenko梁撓曲變形引起的轉角γ對時間t的導數dγ/dt與梁繞軸心線的轉速Ω正交，二者的叉積不為零。因此，只要轉速不為零，梁就會產生陀螺效應。

圖5 Timoshenko梁變形運動學Fig.5 Timoshenko beam kinematics

圖6 典型旋轉梁單元坐標系Fig.6 Reference frame of the typical rotational beam element

如圖6所示為2節點(i,j)典型Timoshenko梁單元，其中X向為梁單元軸向。每個節點具有空間3個正交方向的平動自由度和2個繞徑向的轉動自由度，因此該單元共計10自由度，單元位移向量可寫作：

{q}={xi,yi,zi,θyi,θzi,xj,yj,zj,θyj,θzj}

(24)

忽略梁的內部阻尼，利用Hamilton原理可將Timoshenko梁單元動力學方程寫為

[Mbm]{q″}-Ω[Gbm]{q′}+

([Kbm]-Ω2[Mbc]){q}={Fbm}

(25)

式中：Mbm、Gbm和Kbm分別為梁單元的質量矩陣、陀螺力矩陣和剛度矩陣；Mbc和Fbm分別為梁單元用于計算離心力的質量矩陣和外力矩陣。

1.2.2 盤單元動力學有限元模型

若將“主軸-軸承”系統中的各類盤套類零件(如軸承隔圈、電機轉子等)均視為盤單元，再次利用Hamilton原理則盤單元動力學方程可寫為

[Mdisk]{p″}-Ω[Gdisk]{p′}={Fdisk}

(26)

式中：Mdisk、Gdisk和Fdisk分別為盤單元的質量矩陣、陀螺力矩陣和外力矩陣。

1.2.3 “主軸-軸承”系統動力學有限元模型

將Timoshenko梁單元、盤單元及軸承耦合剛度場矩陣聯立，即可得“主軸-軸承”系統在其結構阻尼為[Csystem]時的動力學方程為

(27)

式中：[M]=[Mbm]+[Mdisk]為系統總體質量矩陣；

[C]=[Csystem]-Ω[Gdisk]-Ω[Gbm]為系統等效阻尼矩陣，其中系統結構阻尼[Csystem]由實驗模態分析獲取；

[K]=[Kbm]+[Kbpa]-Ω2[Mbc]+[Kbearing]為系統總體剛度矩陣，Kbpa為軸向力引起的剛度項。

2 動力學模型的實驗驗證方法

某高速加工中心“主軸-軸承”系統結構及主要尺寸如圖7所示，該系統前軸承對由4只NSK超高速角接觸陶瓷球軸承70BNR10X(結構參數見表2)采用兩組“背對背”(Double-Back-to-Back，DBB)配置方式構成，預緊力為285N；后軸承對為單只超高速圓柱滾子軸承N1011RXTPKR；主軸前端刀柄錐孔HSKA63，系統設計最高轉速為20 000 r/min。該系統前軸承預緊方式為定位預緊，在裝配時通過對并緊螺母施加一定的軸向緊固力，調整內外圈軸向游隙，從而達到軸承出廠設定的預緊狀態。

為提高計算速度，建立系統有限元模型時，應忽略如倒角、螺紋等細微特征。有限元模型節點位置的選擇主要取決于零件截面尺寸是否發生顯著改變，是否與支承零件相連，故節點通常位于主軸臺階處和軸承處。此外，由于固定結合部動力學參數非本文研究內容，故結構中如螺栓結合部等均視為剛性連接。

主軸材料為20CrMnMoH，其他盤套類零件材料均為45#鋼。有限元模型中材料屬性的選取方案是：密度取7 850 kg/m3，彈性模量取210 GPa，泊松比取0.27。最終建立的“主軸-軸承”系統動力學有限元模型如圖8所示。

圖7 “主軸-軸承”系統簡圖Fig.7 Sketch of the “shaft-bearing” system

圖8 “主軸-軸承”系統有限元模型Fig.8 Finite element model of “shaft-bearing” system

2.2 實驗驗證

為驗證1.2節所建立的“主軸-軸承”系統動力學有限單元模型的準確性，基于LMS Test Lab中的Impact Testing模塊進行了該系統錘擊模態實驗，并拾取系統前端原點頻響函數，以便與理論模型計算結果對比。實驗時，將系統用橡皮繩懸掛，使其獲得最大限度自由度，懸掛點位于前、后軸承套，如圖9所示；用力錘錘擊系統前端外圓，并利用PCB單向加速度傳感器拾取與錘擊點相反點和相正交點的振動信號，以提取原點頻響Hyy和交叉頻響Hyz如圖10所示。

圖11為“主軸-軸承”系統前端原點頻率響應函數Hyy仿真值與實驗值對比圖，詳細結果對比見表1。表中數據顯示所建系統動力學有限元模型計算結果與實驗值十分吻合，證明了該模型能準確可靠地描述系統在靜止狀態時的動力學特性。

圖9 基于LMS Test Lab的錘擊模態實驗現場Fig.9 Scene of impact test based on LMS Test Lab

圖10 錘擊模態實驗測點布置Fig.10 Respond points layout of impact modal experimentation

圖11 Hyy實驗值(虛線)與計算值(實線)對比Fig.11 Experimentation vs. simulation of Hyy

實驗測試值模型計算值比率(實驗/模型)第1階109411400．960固有頻率/Hz第2階272227101．004第3階453847200．961第1階3．9283．8091．031頻響幅值/(m·s-2·N-1)第2階6．2475．8381．160第3階7．3657．3081．007

3 “主軸-軸承”高速動態特性研究

所謂高速效應即旋轉機械在高速工況時受到的離心力效應和陀螺力矩效應，“主軸-軸承”系統作為一類特殊的旋轉機械，在高速旋轉時其動力學特性亦會受到高速效應的影響。但各高速效應對系統動力學特性的影響程度并不等同，因此，分別研究主軸離心力效應、主軸陀螺力矩效應以及滾動軸承運行剛度對系統在高速工況下動力學特性的影響規律是十分必要的。

本文基于已建立的“主軸-軸承”系統動力學有限元模型，分以下4種情況較為全面系統的考察了高速效應對于“主軸-軸承”系統動力學特性的影響規律：

① 僅考慮主軸離心力效應的作用；

當距離紅豆杉樹種播種前半年時間左右，需要用0.5%的高錳酸鉀溶液進行紅豆杉種子的浸泡，然后等待40min后用清水進行沖洗，并按照樹種與細沙的1∶3比例進行混合均勻。這時要保持混合時的沙子含水率在50%～60%，將混合后的樹種裝于編織袋中，并埋藏在室外的深30～40cm坑中。為了防止其受到水分的影響，需要在坑底進行防水磚的鋪設，將混合后的樹種用濕沙進行覆蓋。直到第二年春天播種的前15天進行掏出備用。在儲藏過程中，需要對樹種進行定期檢查，防止發生霉變，從而使成活率降低。

② 僅考慮陀螺力矩效應的作用；

③ 僅考慮滾動軸承運行剛度的作用；

④ 同時考慮上述3種情況。

3.1 主軸離心力效應分析

由式(25)可知，當主軸轉速增大，由于Ω2Mbc項的存在，系統剛度將隨之降低，即所謂的主軸“軟化”效應，這使得“主軸-軸承”系統的固有頻率將會降低。如圖12所示，當主軸轉速達到20 000 r/min時，系統前3階主模態固有頻率分別下降了13%、0.7%和0.2%。結果表明，離心力效應對于低階模態的影響明顯強于對高階模態的影響。

圖12 僅考慮主軸離心力效應Fig．12Centrifugalforceeffectofshaftonly圖13 僅考慮主軸陀螺力矩效應Fig．13Gyroscopicmomenteffectofshaftonly圖14 同時考慮主軸離心力效應和陀螺力矩效應Fig．14Centrifugalforceandgyroscopicmomenteffectsofshaftsimultaneously

3.2 主軸陀螺力矩效應分析

根據轉子動力學理論[26]，主軸正進動時陀螺力矩使其變形減小，因而提高了主軸的剛度，亦即提高了主軸的固有頻率；主軸反進動時陀螺力矩使其變形增大，從而降低了主軸的剛度，主軸的固有頻率也隨之降低。因此，隨著主軸轉速的增大，陀螺效應愈發明顯，“主軸-軸承”系統各階主軸主模態固有頻率出現了“分岔”的現象，如圖13所示。可以看出，陀螺力矩效應與離心力效應對于系統動力學特性的影響有相似之處，即對低階模態影響強于對高階模態的影響。此外，陀螺力矩效應對于各階模態固有頻率影響強于離心力效應——當主軸轉速達到20 000 r/min時，系統前3階固有頻率降低了17.2%、8.19%和5.55%。圖14為同時考慮離心力效應和陀螺力矩效應時，系統前3階固有頻率隨轉速的變化趨勢。

在式(27)中，由于梁單元及盤單元的陀螺矩陣(Gbm和Gdisk)與系統結構阻尼(Csystem)共同組成了系統動力學方程中的阻尼矩陣C，故主軸的正進動和反進動應體現在系統頻響函數曲線上。不妨設定主軸轉速為10 000 r/min，利用1.2節所建立的動力學模型分別計算當系統阻尼比為0.5%、2%和5%時“主軸-軸承”系統前端原點頻響函數Hyy，如圖15所示。當系統阻尼比為0.5%時，可以很明顯看到5 000 Hz內的3各主模態均出現了兩個峰值，分別對應正進動和反進動；隨著系統阻尼比的增大，峰值對應的幅值不斷減小，且正、反進動對應的波峰逐漸靠攏；當系統阻尼比增大至5%時，原點頻響函數Hyy上高階主模態已經觀察不到正、反進動對應的波峰，低階主模態上亦不明顯，說明當系統阻尼比較大時陀螺力矩效應對原點頻響函數的影響非常小，幾乎已被系統結構阻尼抵消。

然而，此時陀螺力矩效應對交叉頻響函數Hyz(或Hzy)影響卻較為顯著：當主軸處于靜止或低速狀態時，交叉頻響函數幅值極小，可以忽略不計。但當主軸處于高速工況時，由于陀螺力矩效應的存在，將增大交叉頻響函數，如圖16所示。

圖15 主軸陀螺力矩效應對軸端原點頻響Hyy的影響(轉速：10000r/min)Fig．15GyroscopicmomenteffectofshaftondirectFRFHyyofspindlenose(Rotationalvelocity：10000r/min．)圖16 主軸陀螺力矩效應對軸端交叉頻響Hyz的影響(轉速：10000r/min，系統阻尼比：5%)Fig．16GyroscopicmomenteffectofshaftoncrossFRFHyzofspindlenose(Rotationalvelocity：10000r/min．Dampingratio：5%)圖17 不同預緊力下軸承徑向運行剛度Fig．17Radialoperationalstiffnessofbearingvs．variouspreload

3.3 角接觸球軸承徑向運行剛度分析

NSK軸承70BNR10X基本參數見表2，轉速范圍為0-20 000 r/min。基于1.1節所述內容計算的軸承在不同預緊力和不同轉速下的徑向運行剛度如圖17所示。圖中曲線表明，在設定轉速范圍內，軸承徑向運行剛度隨預緊力的增大而增大，隨轉速增大先減小后增大。

表2 70BNR10X基本參數

圖17中軸承的徑向運行剛度體現出非單調變化的規律，這與目前大多數文獻中一味強調軸承“軟化”效應而忽略其“剛化”效應的結論更加全面。產生這一現象的原因是：如圖18所示，在不考慮熱效應時，隨著軸承轉速增大，滾動體所受離心力Fc也增大，同時內圈接觸角增大而外圈接觸角減小。此時滾動體與內圈的接觸載荷減小，雖然外圈接觸載荷增大，但接觸剛度串聯的結果是軸承的徑向剛度隨轉速增加而減小。然而，隨著轉速進一步增大至高轉速工況，離心力劇烈增加，滾動體相對于內圈開始出現“爬坡”現象(圖18中球軸承運動所指方向)，內圈接觸載荷反而變大，此時軸承的徑向剛度應隨轉速的增加而增大。因此，從較寬的轉速范圍來考慮，角接觸球軸承徑向剛度隨轉速增大并非單調減小。當轉速在某臨界值范圍以內變化時，軸承的徑向剛度隨轉速增大而減小；當轉速在該范圍以外變化時，軸承的徑向剛度隨轉速增大而增大。

圖18 角接觸球軸承運行狀態時的微觀幾何Fig.18 Micro-geometry of angular contact ball bearing in operational state

圖17還表明，軸向預緊力增加后，軸承徑向運行剛度隨轉速變化的曲線拐點所對應轉速逐漸增大，亦即拐點隨預緊力增大而向高轉速段漂移。故不難推測當預緊力增大到一定程度時，拐點將不會出現在給定轉速范圍內。為驗證該推論，根據NSK公司給定的3個參考預緊力：EL(285 N)、L(1 330 N)、M(2 568 N)重新計算70BNR10X軸承在上述3種預緊方案下的徑向運行剛度，結果如圖19所示，很好的驗證了推論的正確性。

由于實際裝配工藝中，軸承的預緊力為EL(285 N)，根據“主軸-軸承”系統動力學有限元模型的分析結果，系統前3階主模態固有頻率隨轉速增大出現先減小后增大的趨勢，但頻率變化幅度很小，如圖20所示。因此說明在該預緊狀態下，軸承徑向運行剛度并非影響“主軸-軸承”系統高速工況下動力學特性的關鍵因素。

圖19 EL預緊、L預緊和M預緊下軸承的徑向運行剛度Fig．19Radialoperationalstiffnessof70BNR10Xbearingvs．variouspreload圖20 僅考慮滾動軸承運行剛度Fig．20Operationalstiffnessofrollingbearingonly圖21 考慮所有高速效應和僅考慮滾動軸承運行剛度時對比Fig．21Highspeedeffectsofbothshaftandbearingvs．highspeedeffectsofbearingonly

3.4 主軸與軸承高速效應綜合分析

同時考慮主軸的高速效應和軸承的運行剛度后，“主軸-軸承”系統前3階主模態固有頻率的變化趨勢如圖21所示，相比起僅考慮軸承運行剛度的情況，變化趨勢明顯不同。綜合3.1-3.3節所述內容可知，在諸多“主軸-軸承”系統高速工況下動力學特性的影響因素中，主軸的高速效應，特別是陀螺力矩效應是最關鍵的。

4 結 論

為研究高轉速場誘發的高速效應對“主軸-軸承”系統動力學特性的影響規律，本文基于理論與實驗相結合的建模思想，建立了準確的“主軸-軸承”動力學數字模型，并利用該模型針對高速效應進行了分析，得到以下結論：

(1) 系統低階模態固有頻率相對于高階受到高速效應的影響更大，且陀螺力矩效應是“主軸-軸承”系統高速工況下動力學特性的關鍵影響因素，其影響權重大于離心力效應。

(2) 當系統阻尼比較小(如0.5%)時，正、反進動能直接反映在系統前端原點頻響函數曲線上，但當系統阻尼比較大(如5%)時，曲線上正、反進動所對應的波峰不明顯；此外，陀螺力矩效應對交叉頻響函數的影響顯著。

(3) 角接觸球軸承徑向運行剛度隨轉速增大而非單調變化，軸承剛度-轉速曲線的拐點隨軸向預緊力增大而向高速段漂移；當預緊力增大至某臨界值且觀察轉速范圍較窄時，拐點將不在轉速范圍之內，此時僅能觀察到軸承運行剛度隨轉速增大而減小。

(4) 相比起滾動軸承的運行剛度，主軸的高速效應(尤其是陀螺力矩效應)對“主軸-軸承”系統高速工況下動力學特性影響更大，是關鍵影響因素。

上述結論表明，要準確的預測“主軸-軸承”在高轉速場中的動力學特性，除了建立滾動軸承非線性模型之外，還須同時考慮離心力和陀螺力矩等高轉速場誘發的高速效應。模型的建立具有一定的科學和工程意義，為下一階段研究切削穩定性提供了數據支持。

[ 1 ] Palmgren A. Ball and roller bearing engineering, 3rded [M]. Philadelphia: Burbank, 1959.

[ 2 ] Jones A B. Ball motion and sliding friction in ball bearings[J]. Journal of Basic Engineering, 1959, 3: 1-15.

[ 3 ] Jones A B. A general theory for elastically constrained ball and radial roller bearings under arbitrary load and speed condition[J]. Journal of Basic Engineering, 1960, 82(2): 309-320.

[ 4 ] Harris T A. Rolling bearing analysis, 3rd[M]. John Wiley & Sons, Inc. 1990.

[ 5 ] Gupta P K. Advanced dynamics of rolling elements [M]. New York: Springerverlag, 1984.

[ 6 ] 蔣興奇. 主軸軸承熱特性及對速度和動力學性能影響的研究[D]. 杭州：浙江大學, 2001.

[ 7 ] Zverv I, Pyoun Y S, Lee K B, et al. An elastic deformation model of high speed spindles built into ball bearings[J]. Journal of Materials Processing Technology， 2005， 170(3): 570-578.

[ 8 ] Kang Y, Shen P C, Huang C C, et al. A modification of the Jones-Harris method for deep-groove ball bearings[J]. Tribology International, 2006，39(11): 1413-1420.

[ 9 ] Kang Y, Huang C C, Lin C S, et al. Stiffness determination of angular-contact ball bearings by using neural network[J]. Tribology International, 2006，39(6): 461-469.

[10] Jedrzejewski J, Kwasny W. Modelling of angular contact ball bearings and axial displacements for high-speed spindles[J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology, 2010，59(1): 377-382.

[11] Guo Y, Parker R G. Stiffness matrix calculation of rolling element bearings using a finite element/contact mechanics model[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012,51: 32-45.

[12] Nelson H D. A finite rotating shaft element using Timoshenko beam theory[J]. Journal of Mechanical Design, 1980, 102(2): 793-803.

[13] Lin C W, Tu J F, Kamman J. An integrated thermo-mechanical-dynamic model to characterize motorized machine tool spindles during very high speed rotation[J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2003, 43(10): 1035-1050.

[14] Erturka A, Ozguvena H N, Budak E. Analytical modeling of spindle tool dynamics on machine tools using Timoshenko beam model and receptance coupling for the prediction of tool point FRF[J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2006, 46(15): 1901-1912.

[15] Schmitz T L, Davies M A, Kennedy M D. Tool point frequency response prediction for high-speed machining by RCSA[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering,2001, 123(4):700-707.

[16] Li H Q, Shin Y C. Integrated dynamic thermo-mechanic modeling of high speed spindles:part 1-model development[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2004,126(1): 148-158.

[17] Li H Q, Shin Y C. Integrated dynamic thermo-mechanic modeling of high speed spindles:,part 2- solution procedure and validations[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2004, 126(1): 159-168.

[18] Cao Y Z, Yusuf A. A general method for the modeling of spindle-bearing systems[J]. Journal of Mechanical Design, 2004, 126(6): 1089-1104.

[19] 周健斌,章俊杰,孟光. 計及陀螺效應的翼吊式機翼-發動機系統結構動力學特性研究[J].振動與沖擊, 2012, 31(6): 145-149. ZHOU Jian-bin, ZHANG Jun-jie, MENG Guang. Structural dynamic characteristics of a wing-engine system with gyro effects[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(6): 145-149.

[20] JIANG Shu-yun, ZHENG Shu-fei. A modeling approach for analysis and improvement of spindle-drawbar-bearing assembly dynamics[J].International Journal of Machine Tool & Manufacture, 2010, 50: 131-142.

[21] 張耀強, 陳建軍, 唐六丁,等. 滾動軸承-JEFFCOTT轉子系統非線性動力響應分析[J]. 振動與沖擊, 2008, 27(5): 56-59. ZHANG Yao-qiang, CHEN Jian-jun, TANG Liu-ding, et al. Analysis of nonlinear dynamic response of a rolling bearing-jeffcott rotor system[J]. Journal of Vibration and Shock,2008, 27(5): 56-59.

[22] 汪博, 孫偉, 太興宇,等. 主軸系統結合面對主軸系統動力學特性的影響分析[J]. 振動與沖擊,2011, 30(10): 231-235. WANG Bo, SUN Wei, TAI Xing-yu, et al. Effect of interfaces on dynamic characteristics of a spindle system[J]. Journal of Vibration and Shock,2011, 30(10): 231-235.

[23] 呂浪, 熊萬里, 侯志泉. 面向機電耦合振動抑制的電主軸系統匹配特性研究[J]. 機械工程學報, 2012, 48(9)：144-154. LV Lang, XIONG Wan-li, HOU Zhi-quan. Research on match characteristics of a motorized spindle system to suppress electromechanical coupling vibration[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(9)：144-154.

[24] 金斯伯格J H. 機械與結構振動——理論與應用[M]. 北京：中國宇航出版社，2005.

[25] 高尚晗,孟光. 機床主軸系統動力學特性研究進展[J].振動與沖擊, 2007，26(6): 103-109. GAO Shang-han, MENG Guang. Advances in research on dynamic characteristics of machine tool spindle[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007， 26(6): 103-109.

[26] 鐘一諤, 何衍宗，等. 轉子動力學[M].北京：清華大學出版社, 1987.

Dynamic performance of a shaft-bearing system with centrifugal force and gyroscopic moment effects

HU Teng， YIN Guo-fu， SUN Ming-nan

(School of Manufacture Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

In order to improve the operation stability of a spindle system with high speeds, it is significant to investigate its dynamic performance with centrifugal force and gyroscopic moment effects. An integrated shaft-bearing system’s dynamic model considering both centrifugal force and gyroscopic moment effects was presented based on coupled stiffness matrices of rolling bearings obtained by extending Harris’ nonlinear rolling bearing analysis model. Impact modal tests were conducted to verify the correctness of this dynamic model. The effects of centrifugal force and gyroscopic moment of the shaft and operational stiffness of rolling bearings on the dynamic performance of the shaft-bearing system with a high speed were analyzed. It was shown that when the bearing is in the case of extreme light (EL) preload, the high-speed effects of the shaft have a greater influence on the dynamic performance of the shaft-bearing system than the operational stiffness of rolling bearings does; the gyroscopic moment effect of the shaft is the most remarkable influence factor.

high-speed field; shaft-bearing system; dynamic performance; centrifugal force; gyroscopic moment

“高檔數控機床與基礎制造裝備” 科技重大專項課題(SK201201A26-01)

2013-01-28 修改稿收到日期：2013-06-04

胡騰 男，男，博士生，1982年9月生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.018