含PID控制器的遲滯非線性控制系統的主共振及奇異性

熊 蕊， 劉向東

(北京理工大學 自動化學院，北京 100081)

含PID控制器的遲滯非線性控制系統的主共振及奇異性

熊 蕊， 劉向東

(北京理工大學 自動化學院，北京 100081)

針對含PID控制器的遲滯非線性閉環控制系統，用Backlash神經網絡模型逼近系統遲滯非線性部分，建立動力學模型。研究了系統在簡諧激勵下的主共振，利用平均法得到了系統的分岔方程，并用奇異性理論進行了分析，得到了轉遷集和分岔圖。另外還研究了系統參數對開折參數和分岔參數的影響，從而為系統參數的選擇提供理論指導。

遲滯；非線性控制系統；Backlash神經網絡模型；主共振；奇異性理論

遲滯非線性是很常見的系統非線性特性，其主要特點是多值性、非光滑性和記憶特性，非常容易產生復雜動力學行為如分岔、混沌等。在實際工程中，具有遲滯非線性的材料有很多，如鋼絲繩、形狀記憶合金、磁致伸縮材料、壓電陶瓷等。遲滯非線性研究涉及機械系統隔振、地震工程、土木工程等多個領域。

對系統進行分岔分析可以對系統的控制和系統參數的選擇提供理論指導。目前用來描述遲滯現象的主要模型有雙線性模型、Davidenkov模型、Bouc-wen模型、多項式模型、Preisach模型等。近年來，關于遲滯非線性系統的動力學研究得到了很大的發展。文獻[1-2]研究了具有間隙的雙線性遲滯系統的周期、倍周期以及混沌振動及其出現特點，計算結果表明在特定的參數范圍內系統出現無序的混沌運動。文獻[3]建立了一類含Davidenkov遲滯環的非線性相對轉動動力學方程，分別分析了該非線性相對轉動自治方程和微外擾下非自治方程的分岔特性，得到了幾種分岔結構及外擾下全局分岔圖。文獻[4]用Peisach模型來建模van der pol振蕩系統中的遲滯部分，并分析了系統的Hopf分岔.文獻[5]研究了周期激勵下含Preisach遲滯的非線性方程的分岔特性。文獻[6-7]研究了含Bouc-Wen遲滯的SODF振蕩器系統遲滯參數對遲滯系統的分岔與混沌的影響。文獻[8]將改進的三次多項式遲滯模型用于描述壓電材料的彈性遲滯非線性特性，用多尺度法求解定子的一次近似主共振響應，發現了定子主共振響應中存在振幅跳躍和多解現象。

奇異性理論體系的形成為動力系統的分岔分析開辟了一條新的途徑。奇異性理論在遲滯系統中也得到了一定的應用。文獻[9]針對一類單自由度遲滯-自激振動系統的分岔，提出了轉遷集的概念，并利用奇異性理論分析了不同參數區域內的保持分岔圖。文獻[10]研究了含Bingham遲滯模型的汽車懸架在簡諧路面激勵作用下的亞諧共振，分析了系統參數對開折參數和分岔參數的影響。文獻[11]將多尺度法與奇異性理論相結合得到了含Davidenkov模型的遲滯非線性系統的分岔轉遷集，討論了開折參數與原參數之間的關系。

Backlash算子[12]是連續算子，具有遲滯特性，且有限個Backlash遲滯算子可以以任意精度對遲滯環進行建模，具有容易辨識的優點。因此，本文采用遲滯非線性的Backlash神經網絡模型逼近系統遲滯非線性部分，可以解決一些遲滯模型不適用于常規方法進行動力學分析或計算過程繁雜的問題。目前，針對控制系統的非線性動力學研究還很少，而PID控制器已在工程實際中有了廣泛的應用。因此，本文針對含PID控制器的遲滯非線性閉環非自治遲滯系統，首先用Backlash神經網絡模型來表示系統遲滯非線性部分，建立動力學模型。然后研究了系統在簡諧激勵下的主共振，利用平均法得到了系統的分岔方程，并用奇異性理論進行了分析，得到了轉遷集和分岔圖。另外還研究了系統參數對開折參數和分岔參數的影響。

1 含PID控制器的遲滯非線性閉環非自治系統模型和方程

考慮如圖1所示的含PID控制器的遲滯非線性閉環系統，被控對象可以看作一個遲滯非線性環節加上一個二階振蕩環節構成。這里，m、b、c為系統的質量、阻尼，剛度；k、kd、ki分別為比例、微分、積分控制器系數；x(t)表示系統的輸出；u(t)表示施加于被控對象的輸入；y(t)表示被控對象遲滯非線性環節的輸出；f表示周期激勵的幅值；Ω表示周期激勵頻率。

圖1 含PID控制器的遲滯非線性閉環系統Fig.1 Nonlinear hysteretic loop system with PID controller

本文采用遲滯非線性的Backlash神經網絡模型，利用Backlash算子，將有限數量個不同寬度的Backlash算子進行疊加，來逼近該閉環系統中的遲滯非線性部分，如圖2所示。這種神經網絡建立的模型在開展動力學分析的時候能大大簡化計算過程，且誤差在可接受的范圍內。

圖2 系統遲滯非線性部分Backlash神經網絡模型Fig.2 Backlash neutral network model for hysteretic nonlinear block

綜上可寫出該遲滯非線性閉環系統動力學方程：

(1)

2 主共振分岔

(2)

設τ=εt，根據平均法有：

(3)

其中，

設方程(2)的第一次近似解為

x=acos(Ωt+θ)

D1+D2cosθ+D3sinθ=0

D4+D3cosθ-D2sinθ=0

(4)

其中，

由式(4)消去循環坐標θ，得到分岔方程

(5)

基于壓電陶瓷執行器的控制系統是一類典型的遲滯非線性控制系統。本文以Low等[13]提出的壓電陶瓷Bouc-Wen遲滯模型作為圖1所示遲滯非線性控制系統的控制對象，該模型采用一階微分方程來描述遲滯非線性環節，數學方程如下：

y=de·u-z

(6)

其中，x(t)表示整個壓電系統的輸出；z(t)表示遲滯非線性動態的輸出變量；u(t)表示施加于壓電執行器的輸入電壓；de表示壓電系統有效壓電系數；α,β,γ為影響遲滯曲線形狀的參數。模型(6)的參數采用文獻[13]給出的參數取值，m=1.595×10-2kg，b=1.169 N·s/m，c=3.197×103N/m，de=1.014 m/V，α=4.297×10-1,β=3.438×10-2,γ=-2.865×10-3。

表1 Backlash神經網絡模型訓練后的誤差

將不同個數Backlash算子訓練的誤差進行比較得到表1。由表1可以看出在網絡中選擇Backlash層算子個數為20時訓練誤差達到最小值，建模效果最好。因此取n=20，對應的加權值取值如表2所示。

表2 Backlash神經網絡模型各加權系數值

將以上各參數值代入(5)式，對(5)式中的反正弦函數和根式進行級數展開化簡，可得：

(7)

a4+a3a3+a2a2+a1a+a0=0

(8)

其中，

0.341 6Ω2+0.017 5kdki-6.36×10-5σ2-0.002 7σk)

(9)

令

則

x4-λ+ε1x+ε2x2=0

(10)

式(10)為范式x4-λ=0的普適開折，稱之為四次折疊分岔，其余維數為2。根據轉遷集的定義很容易求出普適開折G(x,λ,ε)=g+ε1x+ε2x2=x4-λ+ε1x+ε2x2的轉遷集。

分岔點集：B=φ(空集)

雙極限點集：D={ε1=0,ε2≤0}

轉遷集：Σ=B∪H∪D

轉遷集Σ將開折參數ε1-ε2平面分成幾個不同的區域，如圖3所示。在同一區域中，即使分岔參數變化，其分岔方程的分岔圖也將保持相同拓撲結構，這樣的分岔圖稱為保持的，而轉遷集上的分岔圖稱為非保持的。分岔圖如圖4所示。圖4中，七種分岔模式反應了該系統在正弦激勵作用下的全部信息。通過調節開折參數，可以使系統具有不同的動力學行為，而開折參數的控制，可通過調節系統的參數來實現。因而，研究系統參數與開折參數的關系可以為系統參數的選擇提供理論指導以達到所期望的動力學行為。

圖3 系統轉遷集Fig.3 Transition sets of bifurcation equation of system

圖4 系統分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of bifurcation equation of system

3 開折參數對系統參數的依賴性

以上的分析中，采用的開折參數并不是獨立的系統參數，而是系統參數的組合，得到的分岔模式并不是在每個具體系統中都會發生。下面，我們研究開折參數對原系統參數k、kd、ki、f、Ω的依賴關系，從而得到系統參數的變化對系統動力學行為的影響。畫出開折參數與系統參數的依賴關系圖如圖5所示。

圖5 開折參數與系統參數的關系Fig.5 Relations between the unfolding parameters and the system parameters

4 結 論

本文針對含PID控制器的遲滯非線性非自治閉環系統，用Backlash神經網絡模型表征系統遲滯非線性部分以解決一些遲滯模型不適用于常規方法進行動力學分析或計算過程繁雜的問題。將平均法應用于該類控制系統在簡諧激勵下的主共振的研究，得到系統的分岔方程。并將奇異性理論推廣應用到該類遲滯控制系統中進行分析，得到了系統的分岔圖。另外通過建立系統參數k、kd、ki、f、Ω與開折參數的關系，研究了系統參數對系統分岔特性的影響。研究表明，該系統的響應為四次折疊分岔，激勵幅值f、控制器比例系數k、微分系數kd對普適開折參數的影響較大，ki的改變對開折參數影響不大。激勵幅值較小時，激勵頻率Ω對開折參數的影響較小。而激勵幅值較大時，激勵頻率Ω對開折參數的影響較大。通過研究系統參數與開折參數之間的關系，我們可以發現這些系統參數的不同取值可以使系統出現不同的分岔特性，從而我們可以根據所期望的分岔特性選擇系統控制器參數和給定輸入參數。該研究成果對工程實際中的該類遲滯非線性控制系統的分岔與控制研究具有一定的指導作用和應用價值。

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Principal resonance and singularity of a hysteretic nonlinear control system with a PID controller

XIONG Rui, LIU Xiang-dong

(College of Automation, Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China)

A hysteretic closed-loop nonlinear control system with a PID controller was studied. A model based on Backlash neutral network was adopted to approach the hysteretic nonlinear part of the system, the dynamic model of the system was established. The principal resonance of the system under a simple harmonic excitation was studied. The bifurcation equation of the system was obtained with the averaging method, and then the system’s singularity was analyzed completely, the transition sets and bifurcation plots were gained. The effects of the system’s parameters on its unfolding and bifurcation parameters were discussed. The results provided a theoretical guidance for selecting the system’s parameters.

hysteresis; nonlinear control system; Backlash neutral network model; principal resonance; singularity theory

北京市自然科學基金資助項目(4122066)

2012-12-28 修改稿收到日期：2013-04-19

熊蕊 女，博士生，1989年7月生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.013