2.5維C/SiC復合材料板彈性參數識別方法研究

陸 韜， 姜 東， 吳邵慶， 費慶國

(1. 東南大學 工程力學系,南京 210096;2. 江蘇省工程力學分析重點實驗室,南京 210096)

2.5維C/SiC復合材料板彈性參數識別方法研究

陸 韜1,2， 姜 東1,2， 吳邵慶1,2， 費慶國1,2

(1. 東南大學 工程力學系,南京 210096;2. 江蘇省工程力學分析重點實驗室,南京 210096)

以大型商業有限元軟件NASTRAN為計算平臺，提出了基于模態試驗結果的2.5維C/SiC復合材料板彈性參數識別方法。基于復合材料板的模態試驗結果，采用模型修正的思想構造優化問題，其中目標函數定義為實測模態頻率與計算頻率之差的平方和，將以剛度平均法獲得的復合材料彈性參數的理論預測值作為優化問題的初值，充分利用了材料參數的先驗信息，然后對材料參數進行靈敏度分析，通過迭代求解識別出復合材料板的彈性參數。識別后，C/SiC復合材料板第1-4階模態頻率的復現精度明顯提高，并能保證第5-8階模態頻率的預示精度。研究結果表明，方法能準確識別2.5維編織C/SiC復合材料的彈性參數，并為復合材料等效建模以及進一步動態特性研究提供參考。

C/SiC復合材料；彈性參數識別；剛度平均法；模型修正

新型2.5維編織C/SiC復合材料具有比重小、比強度和比模量大等優點，克服了2維編織復合材料層間性能差和3維編織復合材料制作工藝復雜、成本高、生產周期長等缺點，具有較好的綜合性能，在航空航天、交通、建筑等領域得到了廣泛的應用[1]，對其等效彈性參數的研究是力學分析的基礎。

對2.5維編織復合材料等效彈性參數的研究主要有理論分析、有限元計算和靜力試驗等手段。Dalmaz等[2]從理論分析角度出發，基于Esheby模型預測了材料的等效彈性模量。董偉鋒等[3-4]分別采用剛度平均法和有限元法預測了2.5維編織復合材料的彈性性能及其隨編織參數的變化規律。鄭君等[5]基于經紗矩形截面，緯紗雙凸透鏡截面假設，分析了2.5維編織復合材料的細觀結構，建立了該復合材料的單胞幾何模型。孔春元等[6]預測了微觀尺度和單胞尺度模型下2.5維編織C/SiC復合材料的剛度。李雙蓓等[7]開展了基于有限元法的正交各向異性復合材料結構的建模及彈性參數識別。然而，理論分析方法與有限元建模預測方法需要基于一定的假設，有待于試驗數據驗證；靜力試驗能獲得復合材料板面內彈性模量，而面外彈性模量和剪切模量較難通過試驗測量直接得到。為了得到經過試驗數據驗證的準確的等效彈性參數，考慮間接方法，利用試驗數據來識別初始有限元模型，以獲得較為準確可信的復合材料彈性參數。復合材料板的模態試驗結果精度較高，對材料的損傷較小，利用復合材料板的模態試驗結果識別其彈性參數具有較好的實用價值。

利用模態試驗結果通過靈敏度方法識別材料彈性參數時，參數初值的選取會影響最終識別結果的精度[7]，本文基于對2.5維編織C/SiC復合材料細觀結構的理論研究，采用剛度平均法獲得近似的彈性參數，作為基于模態試驗數據進行材料彈性參數識別的初值，利用該初值進行復合材料板有限元模型的模態分析，進而根據板的模態試驗結果，采用基于靈敏度分析的模型修正方法，識別2.5維編織C/SiC復合材料板的等效彈性參數。

1 理論基礎

1.1 2.5維C/SiC復合材料彈性參數等效理論

根據經紗與緯紗排列方式的不同，2.5維編織復合材料分為層與層淺交彎聯和層與層淺交直聯兩種結構形式，淺交直聯復合材料細觀幾何如圖1所示，紅色方框內為其單胞模型。

從細觀結構出發分析復合材料的力學性能，單胞內紗線的幾何形狀應滿足如下假設[5]：

(1) 緯紗的截面為雙凸透鏡形狀，且沿長度方向是均勻的，截面形狀保持不變；

(2) 經紗的截面為矩形，編織軌跡可以由圓弧和與(圓圈表示緯紗，曲線表示經紗)

其相切的直線連接而成；以正弦曲線形狀穩定、均勻排列，且變形率一致。

圖1 淺交直聯復合材料細觀幾何形狀(圓圈表示緯紗，曲線表示經紗)Fig.1 Mesoscopic geometry of straight-joint composites

圖2 分析模型的局部坐標系示意圖Fig.2 Diagram of local coordinates of analytical model

將纖維束看作橫觀各向同性材料，選取2.5維編織復合材料的Y-Z截面進行分析，圖2為分析模型的坐標示意圖。基于細觀幾何假設，緯紗纖維束方向垂直于Y-Z平面沿X軸，其材料的主方向與整體坐標系的方向正交，經紗纖維束在Y-Z平面內沿正弦曲線分布，θ為經紗切線表征角，取其纖維束長度方向為3方向，則1-2面為各向同性面。

將經紗纖維束的柔度矩陣沿經紗編織曲線積分，求其線平均值可得經紗的平均柔度矩陣[3]，纖維束的剛度矩陣可由柔度矩陣求逆得出。根據單元體內各組成紗線的空間取向，通過轉軸矩陣將紗線局部坐標系(O-123)下的剛度矩陣轉換到材料整體坐標系(O-123)下：

(i=j,w)

(1)

下標j、w分別表示經紗和緯紗，C′為局部坐標系下的剛度矩陣，T為應力轉換矩陣。

假設復合材料孔洞只存在于基體中，Vj、Vw、Vk分別為經、緯紗線和孔洞的體積分數，Vm=1-Vj-Vw-Vk為基體的體積分數。由紗線和基體的剛度矩陣及各自的體積分數按照剛度平均法[8- 9]可求得復合材料的總體剛度矩陣為

C=VjCj+VwCw+VmCm

(2)

Cj、Cw、Cm分別為經紗、緯紗和基體在整體坐標系下的剛度矩陣。

2.5維編織復合材料假設為正交各向異性材料，用工程彈性常數表示的正交各向異性材料的剛度矩陣系數Cij為

(3)

剛度矩陣求逆得到柔度矩陣，由柔度矩陣系數Sij可以求得復合材料的彈性參數為

(4)

理論預測中纖維束幾何形狀的簡化，纖維孔隙率的近似等不確定性因素導致分析得到的彈性參數必然存在誤差，而模態試驗結果可以較為準確的反映結構的動態特性，因而可以根據模態試驗結果對復合材料的彈性參數進別。

1.2 基于靈敏度方法的彈性參數識別

以剛度平均法獲得的彈性參數作為初值，建立復合材料結構的有限元模型，采用模型修正的思想，將彈性參數識別歸結為如下的優化問題[10-12]：

(5)

其中εf={fE}-{fA(p)}，p代表設計參數，εf為復合材料結構動態特性的試驗值{fE}與分析值{fA}的殘差，稱為殘差項，VLB,VUB是彈性參數p的取值范圍變化的上下限。Wε是加權矩陣，在一般情況下取Wε=[diag(fE)]-2。

假設彈性參數的真值為p，采用剛度平均法獲得的初值為p0，則復合材料結構的特征值和振型矩陣Λ,Φ根據一階泰勒公式在p0點展開為

(6)

其中?*/?pj代表矩陣*對第j個彈性參數的偏導，Δpj是彈性參數的修正量，N為彈性參數個數。

將式(6)的兩個方程寫成矩陣形式有：

SΔp=R

(7)

其中S是由特征值和模態振型對彈性參數的偏導構成的雅可比矩陣，一般稱為靈敏度矩陣。Δp為彈性參數修正值向量，R是試驗和計算動態特性的殘差向量。

以上彈性參數識別方法可以表示為圖3，對試驗和計算得到的模態振型進行匹配，進行參數的靈敏度分析，選取合適的修正參數并迭代求解參數的修正量直至收斂，最終得到復合材料精確的彈性參數。

圖3 復合材料彈性參數識別流程圖Fig.3 Elastic parameter identification flowchart of the composites

2 2.5維C/SiC復合材料板的彈性參數識別

2.1 彈性參數等效分析

根據表1給出的2.5維編織復合材料中纖維和基體的性能參數，采用剛度平均法求得復合材料的彈性參數，如表2中所示。在有限元分析軟件MSC/PATRAN中建立該2.5維編織C/SiC復合材料板的有限元模型，并進行自由邊界條件下的模態分析，圖4為復合材料板的前四階振型圖。

表1 2.5維編織復合材料中纖維和基體的性能參數

圖4 復合材料板的前四階振型圖Fig.4 The first four modes of the composite plate

E11/GPaE22/GPaE33/GPaG12/GPaG23/GPaG31/GPaμ12μ23μ1393．67100．9479．5030．1428．5327．850．20．250．25

2.2 模態置信度分析

開展上述2.5維編織C/SiC復合材料板的模態試驗，邊界條件為自由-自由，采用錘擊法施加激勵力，施力方向和加速度傳感器安裝方向均垂直于板面，采用動態信號數據采集與分析儀獲得板的各階模態頻率和振型，利用模態置信度(Modal Assurance Criterion，MAC)對基于有限元模型的模態分析結果與試驗結果進行了相關性分析。模態置信度也稱為振型相關系數，通常采用以下定義：

(8)

MACij代表試驗模型第i階振型與有限元模型第j階振型之間的相關系數；Φ表示振型；上標e、a分別表示試驗模型與有限元模型；i、j表示振型階數；T代表共軛轉置。當MAC值為1時，表示兩個振型完全相關，為0則表示不相關。圖5為試驗與計算的前四階模態置信度結果，可以看出各階模態置信度均大于0.9，表明試驗和計算前四階模態振型匹配結果較好。

圖5 試驗與計算前四階模態置信度Fig.5 MAC between the analytical model and experimental data

2.3 彈性參數靈敏度分析

首先由MSC/NASTRAN計算得到各階模態頻率對正交各向異性材料剛度系數的靈敏度，再根據公式(3)，由剛度系數對相應的彈性參數求偏導，即剛度系數對材料彈性參數的靈敏度如式(9)所示：

(9)

將模態頻率對剛度系數的靈敏度列向量和剛度系數對彈性參數的靈敏度列向量對應元素相乘，可求得模態頻率對材料彈性參數的靈敏度矩陣，進一步求得前八階計算模態頻率對正交各向異性復合材料9個獨立彈性參數的相對靈敏度如圖6中所示：

圖6 前八階模態頻率對彈性參數的相對靈敏度Fig.6 The relative sensitivity of the first eight modal frequencies to elastic parameters

由圖6中的結果可以看出，復合材料板的面內彈性模量E11、E22以及剪切模量G12對各階模態頻率相對靈敏度較高。因此選擇這三個彈性參數作為待識別的設計參數。

2.4 基于靈敏度方法的彈性參數識別

選取前四階計算和試驗模態進行彈性參數識別，以E11、E22、G12為待識別參數，利用在Matlab中編寫的程序實現識別過程中的迭代優化計算。三個彈性參數和前四階計算模態頻率相對于初值隨迭代次數的變化率分別如圖7和圖8中所示，彈性參數值和模態頻率值在迭代25次后趨于收斂，且相對于初值的變化率絕對值分別在5%和2%以內，可見根據平均剛度法計算得到的材料參數初值能夠粗略反映材料的彈性特征，經過試驗模態數據識別后更加精確。

圖7 彈性參數收斂曲線Fig.7 Convergence curves of elastic parameters

彈性參數值E11E22G12識別前/GPa識別后/GPa變化率/%93．6791．33-2．50100．9499．21-1．7130．1429．00-3．78

圖8 前四階模態頻率收斂曲線Fig.8 Convergence curves of the first four modal frequencies

設計彈性參數E11、E22、G12理論預測值及識別后的值見表3。

為了驗證彈性參數識別結果的準確性，將識別后的彈性參數值代入有限元模型重新進行模態分析，考察前8階模態振型的模態置信度，1-4階模態頻率的復現精度，以及5-8階模態頻率的預示精度[13]。由圖9可知，識別后的計算與試驗模態振型匹配較好，各階模態置信度均在0.9以上，由表4可得，1-4階模態頻率的復現誤差平均值由2.24%減小到0.75%，5-8階模態頻率的預示誤差平均值由2.45%減小到1.71%。以上結果說明識別后復合材料彈性參數更加準確。

圖9 識別后試驗與計算前八階模態置信度Fig.9 Correlation between the identified model and experimental data

模態階次12345678試驗頻率/Hz98．71158．48181．02271．98426．41473．61505．42531．87計算修正前/Hz100．40164．86183．73276．55442．43483．07501．24548．94頻率誤差/%1．714．041．511．683．762．00-0．833．21修正后/Hz98．56162．54181．72272．08436．32475．43502．17541．91誤差/%-0．152．450．380．032．320．38-0．641．88

3 結 論

本文采用剛度平均法獲得2.5維編織C/SiC復合材料的彈性參數，作為初始有限元模型的建模參數，根據初始有限元模型的模態分析結果以及復合材料板的模態試驗結果，采用基于靈敏度方法的模型修正技術準確的識別了復合材料板彈性參數，識別得到的彈性參數能更好的反映結構的真實動態特性。相比于單純的理論計算或者靜力試驗，應用本文中的方法能夠識別對復合材料動態特性靈敏度較高的彈性參數，包括靜力試驗較難直接測得的面內剪切模量，能準確求得2.5維編織C/SiC復合材料準確的彈性性能，為2.5維編織C/SiC復合材料的精確等效建模以及進一步的動態特性研究提供了較好的參考價值。

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Elastic parameter identification of a 2.5D C/SiC composite plate

LU Tao1,2, JIANG Dong1,2, WU Shao-qing1,2, FEI Qing-guo1,2

(1. Department of Engineering Mechanics, Southeast University, Nanjing 210096, China;2. Jiangsu Provincial Key Laboratory of Engineering Mechanics, Nanjing 210096, China)

By using the large commercial finite element software NASTRAN, a method for elastic parameters identification of a 2.5D C/SiC composite plate based on modal test data was proposed here. An optimization problem was formulated with the model updating technique, its objective function was defined as the sum of squares of the discrepancies between measured and calculated modal frequencies, the initial values of the elastic parameters were obtained by adopting the stiffness averaging method making full use of the prior information of the material parameters. Finally, the accurate elastic parameters of the composite plate were identified through a iteration process by using the sensitivity analysis method. The accuracy of the first 1-4 modal frequencies of the C/SiC composite plate was significantly improved after identification, and the predictive accuracy of the 5-8 modal frequencies could also be guaranteed. Results showed that the proposed method can accurately identify the elastic parameters of the 2.5D C/SiC composite plate, and it can provide an effective reference for dynamic design and equivalently modeling of composite materials.

C/SiC composite material; elastic parameter identification; stiffness averaging method; model updating

國家自然科學基金(10902024)；教育部新世紀優秀人才支持計劃(NCET-11-0086)；江蘇省自然科學基金(BK2010397)；航空科學基金(20090869009)

2013-04-09 修改稿收到日期：2013-05-15

陸韜 男，碩士生，1989年10月生

費慶國 男，博士生導師，1977年生

TB332

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.008