無網格點插值法工程應用概述

張軍菲 王昭娜

(1.中建三局集團有限公司工程總承包公司，湖北 武漢 430070； 2.安陽工學院土木與建筑工程學院，河南 安陽 455000)

無網格點插值法工程應用概述

張軍菲1王昭娜2*

(1.中建三局集團有限公司工程總承包公司，湖北 武漢 430070； 2.安陽工學院土木與建筑工程學院，河南 安陽 455000)

重點介紹了點插值法(PIM)的基本原理及程序實現過程，并比較了PIM與有限元法(FEM)和無網格伽遼金法(EFGM)之間的異同，結果表明：PIM法集合了FEM法和EFGM法的優點，便于工程應用。

無網格，點插值法，形函數，delta函數

0 引言

有限元法自20世紀50年代提出以來，已成為工程分析與計算的最重要工具之一。其顯著特點之一是用預先定義的網格，將一個無限自由度的連續體離散成有限自由度的單元集合，從而獲得一個復雜問題的近似解。但因為運用了網格，造成有限元法在算解某些工程問題時變得越加困難。所以，無網格法的思想被提出，并得到迅速壯大。

最先無網格法的一種是光滑質點水動力學法。1994年美國的Belytschko教授在修正模糊單元法的基礎上提出了自由單元法[1]。當前，無網格法已應用到巖土工程、大變形問題、穿透問題等。當然無網格法也存在計算量大，效率低等很多缺點。因此，Liu[2]提出了點插值法(PIM)。PIM法集合了有限元法(FEM)和無網格伽遼金法(EFGM)的優點。

本文將簡要介紹點插值法(PIM)的基本原理及其實現的流程，并基于插值過程和主要位移邊界條件的實現等兩方面來比較PIM法與FEM法和EFGM法的基本特征，從而闡明PIM法在原理和工程應用方面的優勢。

1 PIM法基本原理及實現過程

1.1 PIM法基本原理

在域Ω中，點xQ附近的點的數值u的近似函數為：

(1)

其中，pi(x)為任意階的基函數，可通過Pascal三角取得；n為基函數的項數；a(xQ)為系數矩陣。

插值函數Ф(x)定義為：

(2)

其中，插值函數Фi(x)滿足：

Фi(x)=1,i=j,j=1,2,…,n

(3)

Фi(x)=0,i≠j,j=1,2,…,n

(4)

(5)

因為插值函數Ф(x)具備delta函數特性，進而使PIM在主要位移邊界條件上容易呈現。

1.2 PIM法實現經過

PIM的流程圖可簡單表述如下：

1)把域Ω分成有限個子域(cell)。

2)每個cell都反復a步～e步：a.獲取cell里的某個高斯點xQ；b.確定xQ的影響域并找到xQ的全部相鄰點；c.計算Фi(xQ)和Фi,j(xQ)；d.代入前面PIM的方程；e.解出結果以及序列存儲；f.反復a步～e步，直到遍歷cell里全部的高斯點。

3)反復步驟2)，直到遍歷域Ω里全部的cell。

2 PIM法與FEM法、EFGM法的對比

2.1 插值過程的對比

1)PIM法和FEM法的對比。

PIM法插值過程建立在一系列隨機分布節點的基礎之上。FEM法與PIM法的插值過程相同，兩樣插值函數都具備delta函數的特性，都是過點插值，在邊界條件的施加上更加簡便。

此外，PIM法在取樣點上的插值過程是由該節點的影響域變徑來確定的，它會覆蓋作為另外取樣點的影響域。但是，FEM法的網格之間沒有相互覆蓋的部分，單元和單元之間是由單元邊界上的公共節點來聯系的。

2)PIM法和EFGM法的對比。

對比于PIM法，EFGM法的插值過程同樣是建立在一組隨便分布的節點基礎上。然而，EFGM法基的項數m不同于域內節點數n，即m≠n。

所以，EFGM法的形函數比PIM法的形函數要繁瑣許多，對不一樣的問題還應該選擇不一樣的權函數。從某種意義上說，PIM法是EFGM法的特殊情況，原因是當基的個數m同于域內節點數n時，兩者是統一的。

2.2 實現主要位移邊界條件

1)PIM法和FEM法的對比。

PIM法和FEM法的形函數都具有delta函數特性，全部主要邊界條件都容易實現。

2)PIM法與EFGM法的對比。

EFGM法是一種不過點擬合的非線性插值過程，其形函數不擁有delta函數特性，精確并有效的施加本質邊界條件是困難的，通常采用Lagrange乘子法來消除這種困難。在運用Lagrange乘子法時，系數矩陣是一個滿秩矩陣，要比PIM法形成的矩陣大很多，尤其是在邊界條件很多時，這樣就使得EFGM法很不經濟。

3 結語

點插值法(PIM)是一種重要的無網格方法，它集合了有限元法(FEM)和無網格伽遼金法(EFGM)的優點。具備無網格法不需要建立網格、精度高、后處理方便和收斂快等優點，同時插值函數具備delta函數特性，克服了傳統無網格法計算與選擇形函數繁瑣耗時、主要位移邊界條件難以實現等缺點。

[1] Belytschko T,Lu Y Y,Gu L.Element-free Galerkin methods[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,1994,37(2):229-256.

[2] Liu G R.Mesh Free Methods[M].Florida USA:CRC Press,2003.

Summary of engineering application of meshfree Point Interpolation Method

ZHANG Jun-fei1WANG Zhao-na2*

(1.GeneralConstructionCompanyofCCTEBGroupCo.，Ltd，Wuhan430070，China；2.DepartmentofCivilandArchitectureEngineering,AnyangInstituteofTechnology，Anyang455000,China)

This paper mainly introduced the fundamental principle and the process of program of Point Interpolation Method(PIM). Therefore, the differences between PIM and the Finite Element Method(FEM), and the differences between PIM and the Element-Free Galerkin Method(EFGM) are compared. The results indicated that PIM collected the advantages of FEM and EFGM, which would contribute to the engineering application.

meshfree， Point Interpolation Method， shape function， delta function

1009-6825(2014)34-0086-02

2014-09-20

張軍菲(1984- )，男，二級建造師

王昭娜(1985- )，女，助教

O313

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