可測空間上復值可測函數列的統計收斂與經典收斂關系

李清霞

（泉州幼兒高等師范專科學校初等教育系，福建泉州362000）

可測空間上復值可測函數列的統計收斂與經典收斂關系

李清霞

（泉州幼兒高等師范專科學校初等教育系，福建泉州362000）

證明了可測空間(X,μ)上統計收斂的復值可測函數列一定存在某一子列幾乎處處收斂；反之，若復值可測函數列幾乎處處收斂必定能推出其是統計收斂的，也必定是依測度收斂的.

統計收斂；幾乎處處收斂；測度收斂；復值可測函數列

統計收斂概念由Fast在1951年引入[1]，至今已經成為二十世紀以來數學領域研究的熱點之一，利用泛函分析、凸分析、測度論等數學工具，統計收斂逐漸形成了一個龐大的理論體系，并為量子物理等提供一個理論基礎.統計收斂是一般收斂的擴展形式，統計收斂及其各種推廣形式已經成為人們研究的熱點.

設A是自然數集N的一個子集，A#表示A的基數，An是A中不超過n的所有元素組成的集合.對于給定的實數列xn，令

且

1988年，Maddox[2]將統計收斂的概念推廣到局部凸空間中：設X是局部凸的T2空間，其拓撲是由X上連續半范數族Q所生成.對給定的X中序列{xn}，如果對任意的ε＞0，q∈Q，都有

稱{xn}統計收斂于x∈X.

后來，Maddox又引入了模函數的概念[3]：設f為給定的模函數，如果存在x∈X，對任意的q∈Q，都有

則稱{xn}∈w(f)；并證明了模函數下的收斂等價于統計收斂.

1989年，Connor[4]引入了A-統計收斂的概念：序列{xn}A-統計收斂于x∈X，如果?ε＞0

其中，A=(aij)是一個無窮矩陣，滿足

J.A.Fridy和C.Orhan于1993年提出了缺項（Lacunary）統計收斂的定義；1994年，S.Pehlivan引入了一致收斂，L.Leindler和E.Savas引入了幾乎統計收斂、幾乎λ-統計收斂等概念.后來還出現了雙序列統計收斂、μ-稠密收斂、β-統計收斂等其他形式的統計收斂.2000年，J.Connor、M.Ganichev和V.Kadets在Banach空間中類似地給出統計收斂與弱統計收斂的定義.同年，P.Kostyrko、T.Salat等引入理想收斂的概念.此收斂為統計收斂最為一般的收斂形式.

經過半個多世紀的發展，統計收斂已經在許多數學領域內得到廣泛地運用，在測度理論[5]、矩陣求和[6]、級數[7]、Banach空間理論[4]、概率論[8]、局部凸空間[9-10]、Fourior分析[11]等都留下統計收斂的足跡，可以說統計收斂已經形成了一個龐大的理論體系，可見統計收斂已經成為二十世紀以來數學研究的熱門領域之一.本文將統計收斂從實數值函數列的收斂問題拓展到復值可測函數列.

1 可測空間中的復值可測函數列的統計收斂定義

定義1.1稱可測空間X中的復值可測函數列fn(x)統計收斂到f(x)∈X，若對任意的ε＞0，有

其中An(ε)={k∈N:‖fn-f‖≥ε,k≤n}，A#表示A的基數，A(ε)={k∈N:‖fn-f‖≥ε}，記作fn→Sf.

例如：設A={1,2p,3p,4p,…}，其中p≥2，fn(x)=則序列{f(x)}統計收斂到f(x)=0.n

定理1.2若可測空間X中復值可測函數列{fn(x)}統計收斂到f(x)∈X，則對任意的ε＞0，有

推論1.3可測空間X中的復值可測函數列{fn(x)}統計收斂到f(x)∈X，當且僅當對任意的ε＞0，有μ(A(ε))=0.

定理1.4[4]設X為Banach空間，則X為有限維的當且僅當X中每個弱統計0序列都有一個有界的子列.

2 復值可測函數列的統計收斂與經典收斂的關系

先回顧一下經典收斂中的幾種收斂在可測空間中的定義.

定義2.1設fk與f是度量空間() X,μ上的復值可測函數，若對任意的ε＞0，有

則稱fk在X上依測度收斂于f，記作fk→μf.

定義2.2設fk與f是度量空間(X,μ)上的復值可測函數，若存在X中的點集Z，有

及則稱fk按測度幾乎處處收斂于f，記作

定理2.3設fn與f是度量空間(X,μ)上的復值可測函數，若fn→μf，則一定存在fn的某子列

證明：對所有的k=1,2,…，選單調遞增序列{nk}，使得

定義集合

顯然

對所有m=1,2,…，由上式可得

則收斂，則

因此，fn,k幾乎處處收斂.

定理2.4設fn與f是度量空間(X,μ)上的復值可測函數，若

證明：對任意的ε＞0，可知

由此可得

定理2.5設fn與f是度量空間(X,μ)上的復值可測函數，若fnμ→-a.e.f，則fn→Sf.

證明：設{nk}={k∈N:‖fk(x)-f(x)‖≤ε,k≤n}，則

假設μ({nk})≠1，必有μ(N{nk})≠0，則存在

使得fm,kμ→-a.e.f.

取μ({mk})=0，將N分成m份，每份中挑一個，然

μ-a.e.后每個中又有k個，使得fm,k→f，顯然k?s=n，其中s∈N，則有μ({mk})=1，矛盾.

由此可得μ({mk})=1，即fn→Sf.

定理2.6設fn與f是度量空間(X,μ)上的復值可測函數，若fn→Sf，則一定存在fn的某子列fn,kμ→-a.e.f.

證明：設

設

顯然

取

當δ=2-k,w∈X Xε,δ時，fn,k幾乎處處收斂f，即

以上證明了可測空間(X,μ)上統計收斂的復值可測函數列一定存在某一子列幾乎處處收斂；依測度收斂的復值可測函數列一定存在某一子列幾乎處處收斂；反之，若復值可測函數列幾乎處處收斂必定能推出其是統計收斂的，也必定是依測度收斂的.

[1]Fast H.Sur le convergence statistical[J].Colloq Math,1951,2,241-244.

[2]Maddox I J.Statistical convergence in a locally convex space[J].Math Proc Cambridge Philos Soc,1988,104,141-145.

[3]Maddox I J.Sequence spaces defined by a modulus[J].Math Proc Camb Philos Soc,1986,100,161-166.

[4]Connor J.A characterization of banach spaces with separable duals via weak statistical convergence[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2000,244(1):251-261.

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[7]Zygmund A.Trigonometric Series[M].2nd Edition.Cambridge:Camb Univ Press,1979.

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[9]Rath D.A note on the completeness of the spaces of bounded sequences with values in a Hausdorff locally convex topological vector space[J].J Anal,2000,8,27-30.

[10]Maddox I J.Statistical convergence in a locally convex space[J].Math Proc Cambridge Philos Soc,1988,104(1):141-145.

[11]Mo?ricz F.Statistical convergence of Walsh-Fouries series[J].Acta Math Acad Paedagog Nyha?zi,2004,20(2):165-168.

【編校：許潔】

The Relation of Statistical Convergence and Classical Convergence of Complex-valued Measurable Functions on Measurable Space

LI Qingxia
(Department of Primary Education,Quanzhou Preschool Education College,Quanzhou,Fujian 362000,China)

The fact that there is one subsequence which is almost convergence of complex-valued measurable functions which are statistical convergence on measurable space(X,μ)was proved.There is one subsequence which is almost convergence of complex-valued measurable functions which is measure convergence.Contrarily,complex-valued measurable functions which were almost convergence must be statistical convergence and measure convergence.

statistical convergence;almost convergence;measure convergence;complex-valued measurable functions

O189.13

A

1671-5365(2014)06-0023-03

2013-12-17修回：2014-04-08

李清霞(1980-)，女，講師，本科，研究方向為泛函分析

時間：2014-04-16 16:51

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140416.1651.010.html