一類無理數的算術定理證明及性質

李紅梅

(四川文理學院數學與財經系，四川達州635000)

一類無理數的算術定理證明及性質

李紅梅

(四川文理學院數學與財經系，四川達州635000)

利用算術基本定理證明了一類無理數，即有限個互異素數的積的正分數次冪是無理數.

素數；分數次冪；無理數

無理數是較難理解的一類數，在中學經常采用計算器作為一個云梯[1]，或采用連分數的表達模型以幫助學生理解，如13的研究性學習[2]，如13這種帶根號無理數的嚴格證明.已有證明，若n為正整數，且n不是完全平方數，則n是無理數[3].若p1,…,ps是s個不同質數，則p1…ps是無理數[4].事實上，利用算術基本定理可證明有限個互異素數的積的正分數次冪是無理數.

算術基本定理：設a＞1，那么必有

其中pj(1≤j≤s)是素數，且不計次序的意義下，表示式(1)是唯一的.將(1)中相同素數合并，即得

其中p1＜p2＜…ps(這里的pj和式(1)中的不表示相同的素數).式(2)稱為是a的標準素因數分解式[5].

引理：設p為素數，a,t為正整數，若p|at，則| p a.

證明：若不然，設p|/a，則 ?k∈Z,0＜r＜p，使a=kp+r.于是

定理1設p為素數，s為大于1的正整數，r為小于s的整數，則為無理數.

(4)式左端為整數，從而p|ns，由引理知p|n.因而，使n=kp，代入(4)有，于是

由于r,s∈Z,r＜s，有s-r-1≥0.從而(5)式右端為整數，故p|ms，由引理知p|m.因而m,n有公因數p，這與m,n互素的假設矛盾.故命題成立.

推論1設p為素數，s為大于1的正整數，則sp為無理數.

定理2設p1,p2,…,pr為兩兩互異的素數，t1,t2,…,tr為正整數，s為大于1的正整數，t1,t2,…,tr均小于s，則為無理數.

于是

由于t1∈Z+，于是(7)式左端為整數.從而p1|ns，由引理知p1|n.于是 ?k∈Z，使n=kp1，代入(7)式有

由于t2∈Z+，于是(8)式左端為整數，從而為互異素數，則p2p1，從而故.由引理知于是，使k=k1p2,所以.將次操作重復進行r次，，使，代入(6)式有可得使這表明m,n有公因數這與m,n互素的假設矛盾.故為無理數.

推論2設p1,p2,…,pr為兩兩互異的素數，s為大于1的正整數，則為無理數.

性質1設p,q,r為兩兩互異的素數，n∈Z+,n＞1，則不能構成算術級數中的任意三項.

于是

兩邊分別取對數，有

[1]曹一鳴.讓技術成為學數學用數學的“云梯”[J].中國電化教育,2010 (5):78-80.

[2]吳立寶,趙思林.13的研究性學習[J].中學數學教學參考,2013(4): 67-69.

[3]邢家省,蘇克勤.有理數逼近實數的表示方式及應用[J].河南科學, 2007,25(5):710-713.

[4]蕭文強.2是無理數的六個證明[J].高等數學研究,1998(9):45-46.

[5]潘承洞,潘承彪.初等數論[M].第三版.北京:北京大學出版社,48-49.

【編校：許潔】

A Proof Based on the Theorem of Arithmetic and Properties of a Kind of Irrational

LI Hongmei
(Department of Mathematic and Finance-Economics,Sichuan University of Arts and Science,Dazhou,Sichuan 635000, China)

A kind of irrational was proved by using the fundamental theorem of arithmetic,namely the fractional power of the product of limited number of different primes is an irrational number.

prime;fractional power;irrational

O156.1

A

1671-5365(2014)06-0018-02

2014-03-03修回：2014-03-27

四川文理學院教育教學改革研究項目“基于課改理念的數學專業選修課程建設與教學研究”(2013JY45)

李紅梅(1979-)，女，講師，碩士，研究方向為數學課程與教學論與數學分析

時間：2014-03-28 13:55

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140328.1355.002.html