b-度量空間中弱壓縮映射的強收斂定理

劉信東

(宜賓學院數學學院，四川宜賓644007)

b-度量空間中弱壓縮映射的強收斂定理

劉信東

(宜賓學院數學學院，四川宜賓644007)

定義了b-度量空間中弱壓縮映射，證明了由Picard迭代生成的序列強收斂到弱壓縮映射的一個不動點．改進和推廣了Fatma等人的研究結果．

b-度量空間；弱壓縮映射；Picard迭代；不動點

Banach壓縮映射原理自誕生以來，一直受到許多學者的親睞，他們為此付出了大量的心血，對定理作了各種推廣．最近，Fatma[1]將其推廣到錐度量空間中的弱壓縮映射，證明了該映射有不動點．作為度量空間的推廣，b-度量空間越來越受到學者的重視，對度量空間中壓縮映射作了大量的推廣[2-5]．

1 預備知識

定義1[2]設X是一個集合，s≥1是一給定實數. d:X×X→[)

0,∞是一個映射，如果對任意x,y,z∈X，有

(1)d(x,y)=0當且僅當x=y；

(2)d(x,y)=d(y,x)；

(3)d(x,y)≤s[] d(x,z)+d(z,y)．成立，則稱(X,d)是一個b-度量空間．

定義2(X,d)是一b-度量空間，T:X→X是一個映射．如果存在a∈[0,1)，b∈[0,∞)，使得對任意x,y∈X有

成立，則稱T是一個弱壓縮映射．特別地，當b=0時，稱T為壓縮映射．

設T是一個弱壓縮映射，本文的目的是考慮Picard迭代：證明該迭代生成的序列{xn}強收斂到T的不動點．改進和推廣了Fatma等的結論．

2 主要結果

定理1設(X,d)是一個完備的b-度量空間，T:X→X是一個弱壓縮映射.如果，則由Picard迭代所生成的序列{xn}是一個Cauchy列．

證明：對任意的n≥1，有

因此，對任意p≥1，有

定理2設(X,d)是一個完備的b-度量空間，T:X→X是一個弱壓縮映射.如果則T有不動點．

證明：設{xn}是由Picard迭代所生成的序列，由定理1知，{xn}是一個Cauchy列.由于(X,d)完備，則{xn}收斂．設xn→z,(n→∞)，下證z是T的不動點．

由于xn→z,(n→∞)，則對任意 ε＞0，存在N∈N+，使得n≥N，有于是

由ε的任意性知d(z,Tz)=0，則Tz=z，即z是T的不動點．

推論 設(X,d)是一個完備的b-度量空間，T:X→X是一個壓縮映射．如果，則T有不動點．

[1]Fatma A S.Fixed point theorems for weak contractions in cone metric spaces[J].Int Journal of Math Analysis,2010,7(48):2367-2372.

[2]Razani A,Bagherboum M.Convergence and stability of Jungck-type iterative procedures in convex b-metric spaces[J/OL].Fixed Point Theory and Applications 2013,2013:331.http://www.fixedpointtheoryandapplications.com/content/2013/1/331.

[3]Bakhtin I A.The contraction mapping principle in almost metric spaces [J].Funct Anal,Gos Ped Inst Unianowsk 1989,30,26-37.

[4]Czerwik S.Contraction mappings in b-metric spaces[J].Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostraviensis,1993,1:5-11.

[5]Czerwik S.Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces[J].Atti Semin Mat Fis Univ Modena Reggio Emilia,1998,46: 263-276.

【編校：許潔】

A Strong Convergence Theorem for Weak Constractive Mappings in B-Metric Spaces

LIU Xindong
(School of Mathematics,Yibin University,Yibin,Sichuan 644007,China)

In b-metric space,weak constraction was introduced.The sequence generated by picard iterative strongly converge to a fixed point of weak constraction.The result extends and improves the corresponding results announced by Fatma etc.

b-metric space;weak contractive mapping;picard iterative;fixed point

O177.91

A

1671-5365(2014)06-0016-02

2014-01-05修回：2014-01-20

宜賓學院青年基金資助項目(2007Q22)

劉信東(1975-)，男，講師，碩士，研究方向為泛函分析

時間：2014-03-28 17:12

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140328.1712.003.html