一類非線性分數階微分方程邊值問題正解的唯一性

古傳運，鄭鳳霞

(四川文理學院數學與財經學院，四川達州635000)

一類非線性分數階微分方程邊值問題正解的唯一性

古傳運，鄭鳳霞

(四川文理學院數學與財經學院，四川達州635000)

利用τ-φ-凹算子的不動點定理,研究了一類非線性分數階微分方程邊值問題正解的唯一性．主要結論不僅保證了正解的存在唯一性，而且能夠構造一迭代序列去逼近此解．

分數階微分方程；邊值問題；正解；唯一性；τ-φ-凹算子；不動點定理

分數階微分方程廣泛應用于現實生活的諸多領域,如物理、力學、工程、化學、生物學和經濟學等[1-3]．近年來，眾多專家學者利用錐上的不動點定理和Leray-Schauder理論等，深入研究了帶有各種邊值問題的非線性分數階微分方程正解的存在性和多重性，并取得了重要的研究成果[4-7]．

Xu等人[8]利用非線性leray-schauder選擇定理、錐上的不動點定理等研究了非線性分數階微分方程邊值問題

正解的存在性，其中Dα0+是標準的α＞0階Riemann-Liouville分數階導數．

受上述文獻的啟發，本文利用τ-φ-凹算子的不動點定理,研究如下非線性分數階微分方程邊值問題:

1 預備知識

定義1.1[2]對于定義在[0,∞)上的函數f(x),算式

稱為標準的α＞0階Riemann-Liouville分數階積分,等式的右端在[0,∞)有定義,其中Γ(α)表示Gamma函數．

定義1.2[2]對于定義在[0,∞)上的函數f(x),算式稱為標準的α＞0階Riemann-Liouville分數階導數,等式的右端在[0,∞)有定義,其中n=[α]+1,[α]表示數α的整數部分．

引理1.1[8]給定h∈C[0,1]且3＜α≤4．分數階微分方程

其中:

這里稱G(t,s)是分數階微分方程邊值問題(1.1)的Green函數,且

引理1.2[8]引理2.1中的Green函數G(t,s)具有如下性質:

其中M0=max{α-1,(α-2)2}．

下面再給出一些下文所要用到的序Banach空間中的一些基本概念和不動點定理,詳細討論可見文獻[9, 10]及其他文獻．

假設(E,‖?‖)是實Banach空間,P為E中的非空閉凸子集,θ為E中的零元素．如果P滿足(i)x∈P, λ≥0?λx∈P；(ii)x∈P,-x∈P?x=θ,則稱P為E中的一個錐．由P引出E中的半序關系如下: x,y∈E,x≤y當且僅當y-x∈P．若x≤y且x≠y，則記作x＜y．

記P0={x∈P|x為P的內點},如果P0非空,則稱錐P為體錐．若存在常數N＞0,使得對任意x,y∈E, θ≤x≤y,都有‖x‖≤N‖y‖,則稱錐P是正規的，其中N叫做錐P的正規常數．易知,對任意正規錐,正規常數N≥1．若x≤y,就有Ax≤Ay,則稱一個算子A:E→E是遞增的．

任意x,y∈E,若存在λ＞0和 μ＞0,使得λx≤y≤μx,則稱x～y．顯然～是一個等價關系．給定w＞θ(即w≥θ且w≠θ)，記Pw={x∈E|x～w},易知當?w∈P,有Pw?P且當w∈P0時,Pw=P0．

定義1.3[10]設P是實Banach空間E中的錐．A:P→P稱為τ-φ-凹算子,如果存在兩個定義在區間(a,b)上的正值函數τ(t),φ(t)使得τ:(a,b)→(0,1)是滿射, φ(t)＞τ(t),?t∈(a,b)和A(τ(t)x)≥φ(t)Ax,?t∈(a,b),x∈P．

引理1.3[10]設P是實Banach空間E中的正規錐．假設A:P→P是一個遞增的τ-φ-凹算子和存在w∈P且w≠θ使得Aw∈Pw．則有:

(i)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rv0≤u0＜v0, u0≤Au0≤Av0≤v0； (ii)算子方程Ax=x在Pw中存在唯一不動點x*；(iii)對任意初值x0∈Pw,構造一迭代序列xn=Axn-1,n=1,2,...,則當n→∞時‖xn-x*‖→0．

2 主要結果

利用引理1.3研究非線性分數階微分方程邊值問題(0.1),并得到關于其正解存在唯一性的新結果．

在本文中，所討論的空間是Banach空間C[0,1],且賦有標準范數‖x‖=sup{|| x(t):t∈[0,1]}．注意到這個空間可以賦予偏序,定義為

?x,y∈C[0,1],x≤y??t∈[0,1],x(t)≤y(t)令P={x∈C[0,1]|x(t)≥0,t∈[0,1]},顯然P是Banach空間C[0,1]中的正規錐且正規常數是1．

定理2.1假設：

(H1)f(t,u):[0,1]×[0,∞)→[0,∞)關于u是連續遞增函數且f(t,0)≡0；

(H2)存在兩個定義在區間(0,1)上的正值函數τ(t),φ(t)使得τ:(0,1)→(0,1)是滿射，φ(t)＞τ(t),?t∈(0,1)滿足f(t,τ(λ)u)≥φ(λ)Au,?λ∈(0,1),?t∈(0,1),?u∈P．則有:

(1)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rvo≤u0＜v0且

其中w(t)=tα-2(1-t)2,t∈[0,1]和G(t,s)即為式(2.2)．

(2)非線性分數階微分方程邊值問題(0.1)在Pw中存在唯一正解u*．

(3)對任意初值x0∈Pw,構造一迭代序列

從而當n→∞時有‖xn(t)-u*(t)‖→0．

證明：由引理1.1，問題(0.1)與下列的一個積分方程等價:

定義算子A:P→E為

容易證明u是問題(0.1)的解當且僅當u=Au．因為f(t,u(t))≥0,所 以 有Au(t)≥0,t∈(0,1),從 而A:P→P．下面驗證算子A滿足引理1.3的所有條件．

首先證明Aw∈Pw,其中w(t)=tα-2(1-t)2,t∈[0,1]．

由條件(H1)和引理1.2,對于?t∈[0,1],則有

從條件(H1)可知

因為f(t,0)≡0,?t∈[0,1]，所以

從而

因此l1w(t)≤Aw(t)≤l2w(t),t∈[0,1]；故Aw∈Pw．

其次,從條件(H1)(H2)可知,對?λ∈(0,1)和u∈P,有

即對于?λ∈(0,1),u∈P,有A(τ(λ)u)≥φ(λ)Au．所以算子A是一個遞增的τ-φ-凹算子．

最后，利用引理1.3可得:

(1)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rvo≤u0＜v0且

其中w(t)=t(1-t),t∈[0,1]和G(t,s)即為式(1.2)．

(2)非線性分數階微分方程邊值問題(0.1)在Pw中存在唯一正解u*．

(3)對任意初值x0∈Pw,構造一迭代序列

從而當n→∞時有

[1]Miller K S,Ross B.An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations[M].New York:John Wiley,1993.

[2]Samko S G,Kilbas A A,Marichev O I.Fractional integral and derivatives:theory and applications[M].Switzerland:Gordon and Breach, 1993.

[3]Podlubny I.Fractional differential equations,mathematics in science and engineering[M].New York:Academic Press,1999.

[4]Zhao Y,Sun S,Han Z.The existence of multiple positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations [J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2011(16):2086-2097.

[5]Liang S,Zhang J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem [J].Comput Math Appl,2011(62):1333-1340.

[6]Yang X,Wei Z,Dong W.Existence of positive solutions for the boundary value problem of nonlinear fractional differential equations[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2012(17):85-92.

[7]Ding X,Feng Y,Bu R.Existence,nonexistence and multiplicity of positive solutions for nonlinear fractional differential equations[J].J Appl Math Comput,2012(40):371-381.

[8]Xu X,Jiang D,Yuan C.Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional differential equation[J].Nonlinear Analysis,2009(71):4676-4688.

[9]Guo D.Fixed points of mixed monotone operators with application[J]. Appl Anal,1988(34):215-224.

[10]Zhai C B,Cao X M,Fixed point theorems for τ-φ-concave operators and applications[J].Computers and Mathematics with Applications, 2010(59):532-538.

【編校：許潔】

The Uniqueness of Positive Solution for a Class of Nonlinear Fractional Differential Equation Boundary Value Problem

GU Chuanyun,ZHENG Fengxia
(School of Mathematics and Finance-Economics,Sichuan University of Arts and Science,Dazhou,Sichuan 635000,China)

The uniqueness of positive solution for nonlinear fractional differential equation boundary value problem was concerned using the fixed point theorem forτ-φ-concave operator.The results can guarantee the uniqueness of positive solution, and can also be applied to construct an iterative scheme for approximating the solution.

fractional differential equation;boundary value problem;positive solution;uniqueness;τ-φ-concave operator; fixed point theorem

O175.8

A

1671-5365(2014)06-0013-03

2013-09-22修回：2013-10-25

四川文理學院校級科研項目(2012Z004Z)

古傳運(1982-),男,助教,碩士,研究方向為應用數學

時間：2013-10-30 15:06

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20131030.1506.013.html