有界線性算子的Drazin逆的擾動

武淑霞

(四川民族學院數學系，四川康定626001)

有界線性算子的Drazin逆的擾動

武淑霞

(四川民族學院數學系，四川康定626001)

給出了Drazin可逆算子在一個擾動下仍Drazin可逆的充分條件及Drazin逆的表達式，并根據給出的表達式，探討了相關的誤差估計界．

Drazin逆；算子矩陣；擾動；范數

設H是一個無限維Hilbert空間，B(H)表示H中所有有界線性算子的全體．對于算子A∈B(H)，R(A)、N(A)、σ(A)分別表示A的值域、核空間與譜．

對于算子A∈B(H)，若存在AD∈B(H)滿足以下三個方程

則稱AD為算子A的Drazin逆，其中k=ind(A)稱為A的指標．對于算子A∈B(H)，若其Drazin逆存在，則A的Drazin逆AD是唯一的．

設S為B(H)上的可逆算子，若A∈B(H)Drazin可逆，則S-1AS仍Drazin可逆且(S-1AS)D=S-1ADS．

設算子A∈B(H)Drazin可逆且ind(A)=k，則在空間分解H=R(Ak)⊕R(Ak)⊥下，存在可逆算子P，使得

其中A1為可逆算子，A2是指標為k的冪零算子，且有

將A的擾動算子E∈B(H)按照(1)分塊為

楊凱凡等[1]給出了算子A在E的擾動下，其擾動算子的Drazin可逆性與表達式，但在計算的過程中沒有考慮到指標的變動，因此結果沒有化簡完全．本文討論了算子A的擾動的Drazin可逆性，并給出了指標化簡完全的擾動算子的表達式及相關的誤差界．

在本文中，符號‖?‖表示算子A的譜范數．記Aπ=I-ADA為A的對應于特征值0的特征投影．簡記AnD=(An)D=(AD)n，n≥1．若A是(1)中的形式，那么‖AAD‖=‖Aπ‖=1．設||A||＜1，則I±A可逆且

下面給出文中要用到的幾個引理．

引理1[2-3]設H,L是兩個Hilbert空間，A∈B(H)與B∈B(L)是Drazin可逆的，其指標分別為ind(A)=r，s=ind(B)且C∈B(L,H)，令，則M是Drazin可逆的且

引理2[4-5]設A,E∈B(H)是Drazin可逆的，且AE=0．

①若A是指標為r的冪零算子，則(A+E)D=；

② 若E是指標為s的冪零算子，則(A+E)D=

下面論述本文的主要結果．

定理1設A,E∈B(H)，A是Drazin可逆的且ind(A)=k，B=A+E，‖ADE‖＜1，則

若ADEAπEAD=0與ADEAπBAπ=0，則B是Drazin可逆的且

其中s=ind(AπBAπ)．

證明：因為ind(A)=k，算子A與E的矩陣形式分別為(1)、(3)，因此B的矩陣形式為

其中A1為可逆算子，A2為冪零算子且指標為k．

由 ‖ADE‖＜1得I+ADE可 逆 且I+ADE=，由此得I+A-11E11可逆，即A1+E11可逆且由引理1有-1

類似地可證AAD(BAAD)D=AD(I+EAD)-1與

由(1)～(3)與ADEAπEAD=0可得E12E21=0．同理，由ADEAπBAπ=0可得E12(A2+E22)=0．令

計算可知RQ=0與R2=0，由引理2式(1)有

又由引理1有

其中

且s=ind(A2+E22)=ind(AπBAπ)．所以對任意的k≥s，

由(8)可得(AπB)π(AπB)kAπ=0．那么

將上式代入(10)中，由

與(6)有

由此可推出

因此由(9)與(I+ADE)-1ADE=I-(I+ADE)-1可得

定理2設算子A,E滿足定理1的條件，則

證明：因為(I+ADE)-1=I-ADE(I+ADE)-1，由(7)得

那么

且由(5)有

由(6)與(11)有

又有

因此

所以綜合以上各式，得

又因1=‖AAD‖≤‖A‖?‖AD‖，所以由上式可得(12)．

若E=AADEAAD，即EAπ=AπE=0成立，滿足定理1中的條件，由(1)～(3)式易得以下推論，并且以下推論在文[6]中已經證明對矩陣的情況是成立的．

推論1設A,E∈B(H)且ADrazin可逆，B=A+E.若E=AADEAAD，‖ADE‖＜1，則B是Drazin可逆的且

推論2設A,E∈B(H)且ADrazin可逆，B=A+E.若E=AADEAAD，‖AD‖?‖E‖＜1成立，則B是Drazin可逆的且

[1]楊凱凡,杜鴻科.擾動算子的Drazin可逆性及其Drazin逆的表達[J].數學學報,2010,53(6):1187-1192.

[2]Meyer C D,Rose N J.The index and the Drazin inverse of block triangular matrices[J].SIAM J Appl Math,1977,33:1-7.

[3]Djordjevic D S,Stanimirovic P S.On the generalized Drazin inverse and generalized resolvent[J].Czechoslovak Math J,2001,51(126):617-634. [4]Hartwig R E,Wang G,Wei Y.Some additive results on Drazin inverse [J].Linear Algebra Appl,2001,322:207-217.

[5]Djordjevic D S,Wei Y.Additive results for the generalized Drazin inverse[J].J Austral Math Soc,2002,73:115-125.

[6]Wei Y,Wang G.The perturbation theory for the Drazin inverse and its applications[J].Linear Algebra Appl,1997,258:179-186.

【編校：許潔】

The Perturbation of the Drazin Inverse of Bounded Linear Operators

WU Shuxia
(Department of Mathematics,Sichuan University for Nationalities,Kangding,Sichuan 626001,China)

The sufficient conditions and expression for the Drazin inverse of the perturbed were derived.And the bound of the relative error was given based on the expression.

Drazin inverse;operator matrix;perturbation;norm

O177.6

A

1671-5365(2014)06-0010-03

2013-11-26修回：2013-12-26

四川民族學院科研項目(12XYZB007)

武淑霞(1985-)，女，助教，碩士，研究方向為矩陣(算子)的廣義逆理論

時間：2013-12-30 11:58

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20131230.1158.004.html