一類向量優化問題的弱有效解的Kuhn-Tucker充分條件

蔣婭

(西華師范大學數學與信息學院，四川南充637002)

一類向量優化問題的弱有效解的Kuhn-Tucker充分條件

蔣婭

(西華師范大學數學與信息學院，四川南充637002)

在Banach空間中，利用幾類廣義不變凸的概念，獲得了一類向量優化問題的弱有效解的Kuhn-Tucker型充分條件，改進和推廣了已有文獻中的一些相應結果．

弱有效解；最優性充分條件；廣義ρ-不變凸；廣義ρ-偽不變凸；廣義ρ-擬不變凸

最優化理論包含許多重要的內容，其中對于向量優化問題的各種解的最優性條件的研究是許多學者感興趣的課題．1999年李澤民[1]在線性拓撲空間中討論了集值問題的弱有效解的最優性條件，并在實線性空間中討論了集值問題的弱有效解的最優性條件[2]；他以Frechet導數為工具，導出了向量集值問題的K-T型一階充要條件以及二階充分條件，討論了半無窮向量最優化問題的最優性條件[3]，推廣了陳光亞[4]的結果．本文在Banach空間中，利用幾類廣義不變凸的概念，討論了一類向量優化問題的弱有效解，獲得了弱有效解的Kuhn-Tucker型充分條件，改進和推廣了已有文獻中的一些相應結果．

1 基本概念及引理

設X是Banach空間,Y是局部凸的Hausdorff空間,具有內部非空的正錐Y+,且Y+≠Y,0∈Y+．Y+0表示Y+的內部,在Y中建立序關系：y≥y′?y-y′∈Y+, y≤y′?y′≥y；y＞y′?y-y′∈intY+,y＜y′?y′＞y．Y的拓撲對偶用Y?表示，正錐Y+的對偶錐Y+?={y?∈Y:＜y,y?＞≥0，?y∈Y+}，其中＜y,y?＞表示連續線性泛函y?在點y的值．

其中f:X→Y,g:X→Z,h:X→W均為Frechet可微函數．Z和W均為Banach空間，Y、Z、W都具有拓撲內部非空的正錐Y+,Z+,W+，并且W+還是點錐.K表示(VOP)的可行集，即：K={} x∈X:[g(x)≤0,h(x)=0]．

定義1[5]稱BZ_5_1844_2534_1878_2573為(VOP)的弱有效解，如果不存在x∈K使得：f(x)＜f(BZ_5_1844_2534_1878_2573)．

設φ：X→Y，在BZ_5_1844_2534_1878_2573∈X處F可微，對于給定的函數η,θ:X×X→X，ρ∈Y，可以定義以下幾種廣義凸性函數．

定義2[5]稱φ(關于Y+)在BZ_5_1844_2534_1878_2573是廣義ρ-不變凸的，如果

考慮無窮維最優化問題：

定義3[5]稱φ(關于Y+)在是廣義ρ－偽不變凸的，如果

定義4[5]稱φ(關于Y+)在BZ_5_1844_2534_1878_2573是廣義 ρ－擬不變凸的，如果

2 最優性充分條件

如果對(VOP)中的等式約束函數h(x)不附加任何的限制，則有如下定理：

又設f,g,關于相同的η,θ在BZ_5_1844_2534_1878_2573處分別為廣義 ρ-不變凸的，廣義σ-不變凸的，且

又利用f,g,的廣義凸性知：

用λ、u依次作用于(8)式和(9)式得：

由條件(3)可知，(12)式與(1)式矛盾．

注：由于f在BZ_5_1844_2534_1878_2573處廣義ρ-不變凸?f在BZ_5_1844_2534_1878_2573處廣義ρ-偽不變凸?f在BZ_5_1844_2534_1878_2573處廣義ρ-擬不變凸．所以將以上定理中的廣義不變凸的條件相應地改成廣義偽不變凸或廣義擬不變凸，結論依然成立．

如果對(VOP)中的等式約束函數h(x)和不等式約束函數g(x)均不附加任何的限制，則有如下定理：

定理2.2設BZ_5_1844_2534_1878_2573∈K，若

將(10)式和(11)式相加并結合到(6)(7)兩式得：，使得λf′(x)=0成立，f關于相同的η,θ在BZ_5_1844_2534_1878_2573處分別為廣義ρ-不變凸的，且＜λ,ρ＞≥0，則BZ_5_1844_2534_1878_2573為(VOP)的弱有效解．

證明：假設BZ_5_1844_2534_1878_2573不是(VOP)的弱有效解，則?x∈K,使得(4)式成立．

用λ作用于(8)式知(10)式成立．

結合(6)式及(10)式有：

定理2.3設BZ_5_1844_2534_1878_2573∈K，若使得λf′(x)=0成立，λf關于相同的η,θ在處分別為廣義ρ-不變凸的，且ρ≥0，則BZ_5_1844_2534_1878_2573為(VOP)的弱有效解．

證明：同定理1的證明知(4)式及(6)式成立．

又有λf的廣義凸性條件知：

結合(6)式及(14)式有：

而λf′(x)=0及＜λ,ρ＞≥0與(13)式矛盾．

而λf′(x)=0及ρ≥0與(15)式矛盾．

[1]Li Z M.A theorem of alternative and its application to the optimization of set-valued maps[J].Journal of Optimization Theory and Application, 1999,100(2):365-375.

[2]Li Z M.The optimality conditions for vector optimization of set-valued maps[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1999,273: 413-424.

[3]李澤民.半無窮向量最優化問題的最優性條件[J].系統科學與數學, 1994,14(4):375-380.

[4]陳光亞.Banach空間中向量極值問題的Lagrange定理及Kuhn-Tucker條件[J].系統科學與數學,1983,3(1):62-70.

[5]盧力,黃正海.Banach空間中向量最優化問題的充分條件[J].武漢城市建設學院學報,1996,13(2):69-75.

[6]蔣婭.錐約束向量最優化問題的弱有效解的一些充分條件[J].宜賓學院學報,2008(12):16-17.

[7]蔣婭.無窮維向量優化問題的弱Pareto最優解的充分條件[J].樂山師范學院學報,2009(5):14-15.

[8]蔣婭.一類集值映射向量優化問題的最優性條件[J].四川理工學院學報:自然科學版,2009(6):32-34.

【編校：許潔】

Kuhn-Tucker Optimality of Weakly Efficient Solutions for a Kind of Vector Optimization Problems

JIANG Ya
(College of Mathematics and Information,China West Normal University,Nanchong,Sichuan 637002,China)

Using some concepts of generalized convexity in Banach spaces,the Kuhn-Tucker sufficient condition of weakly efficient solutions for a kind of vector optimization problems was obtained.The results improve and extend some of the existing results in the literature.

weakly efficient solutions;sufficient optimality conditions;generalρ-inconvexity;generalρ-pseudo-inconvexity; ρ-quasi-inconvexity

O224

A

1671-5365(2014)06-0001-02

2013-11-10修回：2013-11-29

教育部科學技術重點項目(211163)；西華師范大學校基金青年項目(11A030)

蔣婭(1982-),女,講師,碩士,研究方向為優化理論及應用

時間：2013-12-13 10:05

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20131213.0836.003.html