用博弈論知識分析"石頭剪刀布"游戲

石盟盟

摘要：本文是用數(shù)學知識（博弈論）去分析"石頭剪刀布"游戲，得出兩個結果：(1)第一次出招時可以隨意出剪刀、石頭或者布獲勝的概率都為1/3；(2)在假設游戲參與者一般不可能連續(xù)兩次出相同招式的情況下，給出游戲參與者怎么做才能更大概率的獲勝這一方法。本文充分體現(xiàn)了數(shù)學知識在生活中的應用。

關鍵詞：博弈論;零和博弈;混合戰(zhàn)略中圖分類號：G648文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）12-0294-01平時，大家有時會玩"石頭剪子布"的游戲。 游戲規(guī)則是用握緊的拳頭表示石頭，用伸直的中指和食指表示剪刀，用張開的手掌表示布。最后勝負的規(guī)則為：石頭勝剪刀；剪刀勝布；布勝石頭。如果雙方出相同的手勢，表示平局。以下我們用博弈論的知識分析 "石頭剪刀布"游戲的技巧。

事實上，我們沒有辦法猜出對手第一招怎么出，否則就不叫游戲了。在這種情形下第一招應該怎么出，下面表（一）我們給出"石頭剪刀布"游戲的戰(zhàn)略式描述。

1.模型建立及求解

表1"石頭剪刀布"游戲的戰(zhàn)略式描述

參與人2

參與人1石頭剪刀布石頭0，01，-1-1,1剪刀-1,10,01,-1布1,-1-1,10,0無論是參與人1還是參與人2都會以某一概率出石頭，出剪刀或者出布，因此此戰(zhàn)略為混合戰(zhàn)略，又易見此為零和博弈。

下面定理1我們將給出混合戰(zhàn)略Nash均衡的規(guī)劃求解法：

定理1[1]：對于所給的零和博弈，若博弈的值v大于0，那么博弈的Nash均衡是下面對偶線性規(guī)劃問題的解

和

其中，Nash均衡支付

Nash均衡戰(zhàn)略

上述定理1只適用于v>0的情形，而對于v≤0的情形，可以作一些修改。

命題1[2]:如果支付矩陣的每個元素都大于0，那么博弈的值大于0，即v>0。

命題2[1]:如果支付矩陣是由的每個元素都加上一個常數(shù)C得到，即，那么支付矩陣U和U*所對應的零和博弈的Nash均衡戰(zhàn)略相同，博弈的值相差C。

上面博弈的支付矩陣為

在這個矩陣中由于。我們構造支付矩陣，其中。令C=1，則我們構造的支付矩陣為

根據(jù)上面的定理1，我們用規(guī)劃求解法求解Nash均衡，構造規(guī)劃問題如下：

和

通過求解對偶問題，得到，參與人1的支付，參與人2的支付。因此參與人1的混合戰(zhàn)略，參與人2的混合戰(zhàn)略原博弈的值。所以，博弈存在一個混合戰(zhàn)略的Nash均衡。

3.結論

由上可見在出第一招時，參與人1，參與人2以1/3概率出石頭，剪刀或布即可，不用考慮太多。

我們的博弈技巧在于第二招。和局的情況下雙方第一招出的肯定是相同的。假設雙方都出石頭，按照一般人不會連出同一招的假定，留給對手可出的第二招有布和剪刀，易見我們只要出剪刀便可保證不敗，如果對手第二招也出剪刀，按照一般人不連出同一招的假定，則留給對手第三招可以出的有石頭和布，因此第三招我們出布便可保證不敗。如此循環(huán)下去，我們贏的概率將非常大。參考文獻：

[1]《博弈論教程》，羅云峰主編，清華大學出版社；（第53到55頁）

[2] 《博弈論及其應用》，肖條軍著，上海三聯(lián)書店；（第45頁到第55頁）