探究高考中的三角函數

邸紅梅

摘要：三角函數是高中數學重要的基本初等函數之一，在高考中所占分數比重較大，是高中教學的重點、難點，同時也是高考的熱點。三角函數部分主要包括三角函數的定義、同角三角函數的基本關系、三角函數的誘導公式、三角函數的圖像與性質，以及解三角形及其在生活中的應用。

關鍵詞：三角函數；高考；解題方法中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）12-0289-02根據 《2013年福建省數學高考考試說明》指出，在學習三角函數時，已經學習了函數的單調性、周期性和奇偶性，從而進一步刻畫了函數的概念與性質的掌握和認知。因此，高考中不僅要考查以三角函數定義、同角三角函數基本關系及誘導公式為工具的化簡求值問題，也要突出考察三角函數的圖像與性質，更重要的是以三角公式為素材，重點考察數學的思想方法。

三角函數是高中數學基本初等函數之一，對研究三角形和建模周期現象、物理學和許多其他問題來講，都是至關重要的基礎知識。前面在函數的學習中，已經為三角函數奠定了牢固的基礎。而三角函數的有關性質及應用，也使得函數的內容和意義得到了升華和延伸。而高中生往往面對三角函數內容只會單純的背誦公式，遇到問題時又手忙腳亂，不知如何下手，既找不到問題的解決辦法，也茫然不知在眾多的公式中該選擇哪個。而在高考中，三角函數部分的設計往往是基礎題一到兩個，解答題一題，總分在20分左右，占據龐大比例，因此有必要有針對性地分析探究幾種三角函數問題類型及解決方案。

1.考查三角函數的基本概念與基本公式問題

常考查利用三角函數的定義、三角函數的誘導公式、同角三角函數的基本關系、兩角和（差）公式及倍角公式進行化簡、求值。

例1： 已知sin(π6－α)＝13，則cos(2π3＋2α)等于 ()

A.-79B.－13C.13D.79

答案A

解析∵(π3＋α)＋(π6－α)＝π2，

∴sin(π6－α)＝sin[π2－(π3＋α)]＝cos(π3＋α)＝13.

則cos(2π3＋2α)＝2cos2(π3＋α)－1＝－79.

點評：利用同角三角函數及誘導公式、二倍角來解決問題，在解題過程中一定注意對三角函數的符號的選擇，不同的象限，取值不同。引導學生獨立完成計算，取值等易錯點。對于復雜的化簡過程，引導學生不能盲目的套用公式，要依據已知條件，努力構造所需要的結果的形式，化簡或整理過程要由負到正，由異到同，由高到低，由繁化簡，盡量由題目的本身條件出發，尋找解答結論的突破口。這類題目源于基礎，又高于基礎，有一定的考查難度和解題思路的要求。

2.考查三角函數的圖像問題

學習中學數學的核心內容是基礎理論,而函數的圖像是構成基礎理論的一個重要部分.而 "數形結合思想"在高中數學中有著極其重要的地位，所謂的數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過屬性互相轉化來解決有關問題，可以以形解數，也可以以數定形，把直觀圖形與抽象的數學文字語言相結合。這一解題方法貫穿整個高中數學學習過程，并應用在生活實際中。

因此能夠掌握并充分利用好函數圖像是學習理論知識的一個重要環節.首先，要能夠正確畫出并合理應用函數圖像,這樣能在很大程度上能幫助我們理解、鞏固所學的理論知識.其次，要借助于圖像,能使所研究的問題簡單化、清晰化、直觀化.所以在教學中,一定要加強學生作圖、識圖、用圖的本領。使學生從根本上明確函數圖像的重要地位,并在實踐中加以應用.

例3、(2012?高考四川卷) 函數f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω>0)在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形

(Ⅰ)求ω的值及函數f(x)的值域；

(Ⅱ)若f(x0)＝835，且x0∈(－103，23)，求f(x0＋1)的值．

解：(Ⅰ)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋3sinωx＝23sin(ωx＋π3)．

又正三角形ABC的高為23，從而BC＝4.

所以函數f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.

函數f(x)的值域為[－23，23]．

(Ⅱ)因為f(x0)＝835，由(Ⅰ)有

f(x0)＝23sin(πx04＋π3)＝835，

即sin(πx04＋π3)＝45.

由x0∈－(103，23)，知πx04＋π3∈(－π2，π2)，

所以cos(πx04＋π3)＝1－(45)2＝35.

故f(x0＋1)＝23sin(πx04＋π4＋π3)＝23sin[(πx04＋π3)＋π4]

＝23[sin(πx04＋π3)cosπ4＋cos(πx04＋π3)sinπ4]

＝23(45×22＋35×22)＝765.

點評：本題完整的結合了三角函數誘導公式、三角函數圖像、三角函數性質的有關內容，首先觀察圖形特征，各種長度取值對問題的影響，從而通過三角形的邊長解決三角函數的周期，求出函數的解析式。

方法總結：針對y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考慮：

①k的確定：根據圖象的最低點和最高點，即k＝最高點＋最低點2；

②A的確定：根據圖象的最低點和最高點，即A＝最高點－最低點2

③ω的確定：根據圖象，先求出周期T，然后由T＝2πω(ω>0)來確定ω；

④φ的確定：由函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k最開始與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為－φω(即令ωx＋φ＝0，x＝－φω)確定φ.

引導學生解決圖像問題要多觀察，多動腦，結合三角函數的圖形特征及其性質，解決三角函數中數形結合的問題。

3.考查三角函數的性質問題

例4、 (2012?高考湖北卷)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，23cosωx)，設函數f(x)＝a?b＋λ(x∈R)的圖象關于直線x＝π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈(12，1).

(Ⅰ) 求函數f(x)的最小正周期；

(Ⅱ) 若y＝f(x)的圖象經過點(π4，0)，求函數f(x)在區間[0，3π5]上的取值范圍．

解：(Ⅰ)因為f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx?cosωx＋λ

＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ.

由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對稱軸，

可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．

又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以f(x)的最小正周期是6π5.

(Ⅱ)由y＝f(x)的圖象過點(π4，0)， 得f(π4)＝0，

即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.

故f(x)＝2sin(53x－π6)－2，

由0≤x≤3π5，有－π6≤53x－π6≤5π6，

所以－12≤sin(53x－π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x－π6)－2≤2－2，

故函數f(x)在(0，3π5)上的取值范圍為[－1－2，2－2]

點評：(1)求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解．

(2)求解三角函數的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目：

①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數，可先設sin x＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)；